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一道物理竞赛题的数学分析


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2 0 0 4年第 1 4 , 1 6 期 

数 学 通 讯 

2 3  

★   ★v  

★  

李辉红  
( 武汉市新洲区第二中学 , 湖北 4 3 0 4 1 3 )  

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第二十届全国中学生物理竞赛预赛试题  第三题: 在野 外施 工 中, 需要 使质 量 优 =   4 . 2 0 k g 的铝合金构件升温. 除了保温瓶中尚   存有温度 t :9 0 . 0 ℃的 1 . 2 0 k g的热水外 , 无  其他热源. 试提出一个操作方案 , 能利用这些  热水使构件从 温度 t 0:1 0 . 0 ℃ 升 温 到  6 6 . 0 ℃以上( 含6 6 . 0 ℃) , 并通过计算验证你  的方案. 已知铝合金的比热容 C =0 . 8 8   X   1 0  
—  

变 形 为 

£ n  I (嗍   N o c   m o   ) c   t n - 1 - t ) . ‘  


{ t  一t } 表示首项 为 t 0 一t , 公 比为 


c ml   十 C n   D 1  

的等比数列, 因此 

==

(   。 — —   ) (   ;  

) ” +   .  
卜9 0 . 0 .  

将C , 优, C 0 ,  0 , t , t 0 的数据代入, 则第  
次热交换后构件的温度 :  

J ? ( k g ? ℃) ~, 水 的 比热容 C 0 =4 . 2 0   X   1 0   J ? ( k g ? ℃) ~, 不计向周围环境散失的热量.   仔细阅读了此题 的参考答案后 , 感觉其 
证明过程中物理事实清楚 , 但是数学理论的  说服力不强, 计算量较大 ; 此题若先从数学方  面推导一下, 则计算量要小一些, 且更能加深 
对此题的理解 .  

( 一 s o . 0 ) (  
式 

若热交换的次数等于热水的份数 , 即   = N, 构件温度升到 t   ≥6 6 . 0 C, 则有不等 

解 将保温瓶中  0 =1 . 2 0 k g 的热水分  成 N 等份, 则每份质量为— T r /   0每次将一等份 


( \   0   . 8 8   + 1   . 2 O   ) J   ≤ 0 . 3 0 . ‘  
分别取  为 1 , 2 , 3 , …, 知当   ≥5 时不  等式成立. 说 明只要我们将热水至少分成五  等份( 包括五等份) 以上与构件进行热交换 ,  
就可使构件升温到 6 6 . 0 C以上( 含6 6 . 0 C) .  
解后的一点思考 :  

』  

的水与构件充分接触达到热平衡后倒 出, 另 

倒人一等份的热水……, 如此反复, 可满足题 
目要求.  

根据能量守恒定律 , 每次热水放出的热 

量等于构件吸收的热量, 则第  次热水与构 
件热交换时满足:  
mo ( c  ( £  一£   一 1 ) 一c o £ 一£   ) ,   N


由  ( 一 8 0 . 0 ) (  

卜 

9 0 . 0 的数学意义表明, 将热水分成的份数 N   越多, 进行热交换的次数  越多, 构件的温  度上升也就越高 , 甚至可以升高到 9 0 . 0 C.  

整理得 
( 收稿 日期 : 2 0 0 4 —0 4 — 0 6 )  
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N  +c 0  0   +cm  N  +c 0  0 b   n一 —  , 1 ’  
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