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高考经典:椭圆与双曲线的经典性质归纳


椭圆与双曲线的性质--(必背的经典结论)

1. 2.

A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.



点 P 处的切线 PT 平分焦点△PF1F2 在点 P 处的外角. PT 平分焦点△PF1F2 在点 P 处的外角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H

点的轨迹 是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.

x2 y 2 11. AB 是椭圆 2 ? 2 ? 1 的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点,则 a b 2 b2 x b kOM ? k AB ? ? 2 ,即 K AB ? ? 2 0 。 a a y0
12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 a 2 b2

3. 4. 5.

以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以 PF1 或 P F2 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b
13. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆

6.

7.

8.

x2 y 2 ? ?1 上 , 则 过 P 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆 0 的 椭 圆 的 切 线 方 程 是 a 2 b2 x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、 a b xx y y P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一 a b ? 2 点 ?F . 1 PF2 ? ? ,则椭圆的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 ? b tan 2 x2 y 2 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦半径公式: a b | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ;( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).
设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连 结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

x2 y 2 ? ? 1 内 , 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 a 2 b2

x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . a 2 b2 a b

双曲线
1. 2. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹 是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 4. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切: P 在左支) 5. 若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 切线方程是

9.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)上,则过 P 0 的双曲线的 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,
第 1 页

6.

7.

8.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线 a 2 b2 xx y y 的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲 a b 线 上 任 意 一 点 ?F 1 PF2 ? ? , 则 双 曲 线 的 焦 点 三 角 形 的 面 积 为 ? S?F1PF2 ? b 2 co t . 2 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c,0) , F2 (c,0) a b 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF 1 |? ex0 ? a , | MF 2 |? ex0 ? a .
若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、 Q 两点, A 为双曲线长轴上一 个顶点, 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、 N 两点, 则 MF⊥NF.

13. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的 a 2 b2 x2 y 2 x x y y 轨迹方程是 2 ? 2 ? 02 ? 02 . a b a b

椭圆与双曲线的性质--(会推导的经典结论) 椭
1. 椭圆



2.

9.

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴 a 2 b2 x2 y 2 平行的直线交椭圆于 P1、 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互 a b b2 x0 补的直线交椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? 2 (常数). a y0
若 P 为椭圆

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实 轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是双曲线

3.

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦 a 2 b2
a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

点, ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则 4. 设椭圆

x2 y 2 ? ?1 (a>0,b>0) 的不平行于对称轴的弦, M ( x0 , y0 ) a 2 b2 b 2x b2 为 AB 的中点,则 K OM ? K AB ? 2 ,即 K AB ? 2 0 。 a y0 a

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点) a 2 b2

x2 y 2 12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中 a b x0 x y0 y x0 2 y0 2 点弦的方程是 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a b a b
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为 椭 圆 上 任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 ?F1PF2 ? ? ,

?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? ,则有

sin ? c ? ? e. sin ? ? sin ? a

5.

若椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L, a 2 b2

11. 设 P 点是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 a 2 b2
2b2 .(2) 1 ? cos ?

则当 2 ? 1 ≤e<1 时,可在椭圆上求一点 P, 使得 PF1 是 P 到对应准线距 离 d 与 PF2 的比例中项. 6.

为 其 焦 点 记 ?F 1 || PF2 |? 1 PF2 ? ? , 则 (1) | PF

x y P 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一 a b
定点, 则 2a? | AF2 |?| PA | ? | PF 1 |? 2a? | AF 1 | ,当且仅当 A, F 2 , P 三点共 线时,等号成立.

2

2

2 x2 y 2 12. 设 A、B 是椭圆 2 ? 2 ? 1( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一 a b 点, ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是椭圆的半焦距离
心 率 , 则 有 (1)

S?PF1F2 ? b 2 tan

?

.

PA ?

7.

( x ? x0 )2 ( y ? y0 ) 2 ? ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要 a2 b2 条件是 A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 .
椭圆

2ab 2cos ? .(2) tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) 2 2 2 a - c cos ?

S?PAB

2a 2 b 2 ? 2 cot ? . b ? a2

8.

x y ? 2 ? 1(a>b>0) ,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点, 2 a b 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ;(2)|OP|2+|OQ|2 的最\ 且 OP ? OQ .(1) 2 2 | OP | | OQ | a b
已知椭圆

2

2

x2 y 2 13. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭 a b
圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A 、 B 两点 , 点 C 在右准线 l 上,且

9.

4a 2 b 2 a 2b 2 2 2 ,最大值为 a +b ; ( 3 ) 的最小值是 . S ?OPQ a 2 ? b2 a 2 ? b2 x2 y 2 过椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆于 M,N 两点, a b | PF | e ? . 弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 | MN | 2
小值为

BC ? y 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交 点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连 线必与焦半径互相垂直.

x2 y 2 10. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB a b a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 ? . a a
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16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为 常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为

c?a ? ? c?a ? ? ? t a n co t (或 ? tan co t ). c?a 2 2 c?a 2 2
4. 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长 a 2 b2

轴端点)为双曲线上任意一点,在△ PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , 内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? ,则有

sin ? c ? ?e. ?(sin ? ? sin ? ) a

5.

若双曲线

双曲线
1.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左 a 2 b2

x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) , a b
与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程

准线为 L,则当 1<e≤ 2 ? 1 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为双曲线

2.

x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2 x2 y 2 过双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾 a b
是 斜 角 互 补 的 直 线 交 双 曲 线 于 B,C 两 点 , 则 直 线 BC 有 定 向 且

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为 a 2 b2

双曲线内一定点, 则 | AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF 1 | ,当且仅当 A,F1,P 三点 共线且 P 和 A,F1 在 y 轴同侧时,等号成立. 7.

kBC
3.

b2 x ? ? 2 0 (常数). a y0

x2 y 2 若 P 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的 a b
任 一 点 ,F1, F
2

8.

是焦点,

?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? , 则

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点 a 2 b2 2 2 2 2 2 的充要条件是 A a ? B b ? C . x2 y 2 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (b>a >0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲 a b 线上两动点,且 OP ? OQ .
双曲线

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4a 2 b 2 1 1 1 1 2 2 ? ? ? ;(2) |OP| +|OQ| 的最小值为 2 (1) ; | OP |2 | OQ |2 a 2 b2 b ? a2 a 2b 2 (3) S?OPQ 的最小值是 2 . b ? a2 x2 y 2 9. 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的 a b | PF | e 右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 ? . | MN | 2
10. 已知双曲线

过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相交于 A、 B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? y 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交, 则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点, 则该点与 焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径 之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称 为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成 定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

x y ? 2 ? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上同一支上的 2 a b 任意两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则

2

2

a 2 ? b2 a 2 ? b2 x0 ? 或 x0 ? ? . a a x2 y 2 11. 设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一 a b 2b2 点,F1、F2 为其焦点记 ?F .(2) 1 || PF2 |? 1 PF2 ? ? ,则(1) | PF 1 ? cos ? ? S ?PF1F2 ? b 2 cot . 2 x2 y 2 12. 设 A、B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双 a b 曲线上的一点, ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是
双曲线的半焦距离心率,则有(1)
2

PA ?

2ab 2 cos ? . c 2 cos 2 ? - a 2

(2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S?PAB ? 13. 已知双曲线

2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , a 2 b2
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