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2015-2016学年高中数学 2.2.1等差数列的概念与同项公式课件 新人教A版必修5


2. 2

等差数列

2.2.1 式

等差数列的概念与通项公

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1.通过实例,理解等差数列的概念. 2.探索并掌握等差数列的通项公式. 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能用有关 知识解决相应的问题. 4.体会等差数列与一次函数的关系.

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题型1 等差数列的通项公式
例 1 等差数列{an}中,已知 a9=3,a18=12,求 a36,an. 解析:由 a9=3 得:a1+8d=3, 由 a18=12 得:a1+17d=12. 解方程组得:d=1,a1=-5. ∴a36=-5+35=30, an=-5+(n-1)=n-6,n∈N*. 点评:先根据两个独立的条件解出两个量 a1 和 d,进而再写出 an 的表达式.
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1.已知等差数列{an}中,a15=33,a61=217,试判断 153 是不是 这个数列中的项.如果是,是第几项? 解析:方法一 设等差数列的首项为 a1,公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. ∵a15=33,a61=217,
? ? ?33=a1+14d, ?a1=-23, ∴? 解得? ?217=a1+60d, ?d=4, ? ?
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∴an=-23+(n-1)×4=4n-27. 令 an=153,则 4n-27=153,得 n=45∈N*, ∴153 是所给数列的第 45 项.

方法二 ∵{an}不是常数列, ∴{an}的通项公式是关于 n 的一次函数.假设 153 是该数列的第 n 项,则(15,33)、(61,217)、(n,153)三点共线. 217-33 153-33 ∴ = ,解得 n=45∈N*, 61-15 n-15 ∴153 是所给数列的第 45 项.
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题型2 等差中项的应用
例 2 在-1 与 7 之间顺次插入三个数 a,b,c 使这五个数成 等差数列,求此数列. 解析:方法一 ∵-1,a,b,c,7 成等差数列, ∴b 是-1 与 7 的等差中项, -1+7 ∴b= =3. 2 又 a 是-1 与 3 的等差中项, -1+3 ∴a= =1. 2 又 c 是 3 与 7 的等差中项, 3+7 ∴c= =5. 2
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∴所求数列为-1,1,3,5,7. 方法二 设 a1=-1,a5=7, ∴7=-1+(5-1)d?d=2,an=-1+(n-1)· 2=2n-3, ∴所求数列为-1,1,3,5,7. a+b 点评:若 a、A、b 成等差数列,即 A= ,则 A 就是 a 与 b 2 1 的等差中项;若 A= (a+b)时,则 a、A、b 成等差数列,这是判定 2 三个数成等差数列的条件.
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2.某办公室共有 6 个人,其年龄成等差数列,已知年龄最大的 为 52 岁,而 6 个人的年龄和为 237 岁,求年龄最小的为多少岁? 解析:设等差数列的 a1=52,公差为 d,则 d<0, ∴a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)+(a1+5d)=237, ∴52×6+15d=237,∴d=-5, ∴a1+5d=52-5×5=27, ∴年龄最小的为 27 岁.
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题型3 等差数列的判定
2an 例 3 已知数列{an},满足 a1=2,an+1= . an+2
?1? (1)数列?a ?是否为等差数列?说明理由; ? n?

(2)求 an. 1 分析:先将递推公式变形,推导 - 为常数. an+1 an
?1? 解析:(1)数列?a ?是等差数列,理由如下: ? n?

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1

2an ∵a1=2,an+1= , an+2

an+2 1 1 ∴ = = + , an+1 2an 2 an 1 1 1 1 ∴ - = . an+1 an 2
?1? 1 1 1 ? ? 即 a 是首项为 = ,公差为 d= 的等差数列. a1 2 2 ? n?

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1 1 n (2)由上述可知 = +(n-1)d= , an a1 2 2 ∴an= . n

点评:根据等差数列的定义可知,一个数列是否为等差数列,要 看任意相邻两项的差是否为同一常数.即要判断一个数列为等差数 列,需证明 an+1-an=d(d 为常数)对 n∈N*恒成立;若要判断一个数 列不是等差数列,只需举出一个反例即可.
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3.在数列{an}中,若 a1=1,an+1=an+2(n≥1),则该数列的通 项 an=________.
栏 目 解析: 由 an+1=an+2(n≥1)可得数列{an}是公差为 2 的等差数列,链 接

又 a1=1,所以 an=2n-1(n∈N*). 答案:2n-1(n∈N*)


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