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2003年北京市中学生数学竞赛(高一)


中等数学

2003年北京市中学生数学竞赛(高一)
初赛
一、选择题(每小题6分,共36分) 1。为非零实数,z为实数.记命题M:x∈ {一o,。f,记命题Ⅳ:/x2:n有解.则吖是Ⅳ的 (


4.如果#1与x2是方程√*+4+ ̄,9—3x=5

的两个不等的实根,那么,x;+《的值为—


5.△A船中.么仰c=擀,ZAc日=42。,在边

BC上取一点D,使得肋恰等于△佃c外接圆的半

径则么丑4c=——度.
6数列{a。}中,nI;1,o。+l=4a。+4 ̄/‰+1,

(A)充分非必要条件

(B)必要非充分条件


n=1,2,….则该数列的通项公式为——.
7.n是正整数,.“n)=sm警.则


(c)充分且必要条件
(D)既非充分又非必要条件



2.[口]表示不超过。的最大整数,则函数y=

{一【{j—I sin zf的最大值是(
(A)一娶
(B)喜
(c)1

,(1 991)+“1 992)+…+“2 8.一个三角形的三条边成等比数列.那么,公比

003)=——.

). (D)不存在

q的取值范围是——,
复赛
一、填空题(每小题8分,共40分)

3.已知,(x)是定义在实数集上的函数,且

,(*+5)=一-厂(z),当x∈(5,10)时,_厂(z)=÷.则
“2∞3)的值等于( ).

z2Y+w2=880.则*2+y2=~.
点,直线鲋交第一圆于 点c,交第二圆于点O,

1.已知*、Y是正整数,且满足州+*+Y=71

2.如图1,两圃交于A、B两点,S为两圆外

(A)一百1
). 数值是( (A)一1

(B){(c)吉(D)一吉
(B)0
).

4,满足不等茜9。一2×3。一3≥o的z的最小实 (C)1 (O)3

直线船交第一圆于点
E,交第二圆于点F.已 知CE=n,DF=6,四边
D 图1

5.在△朋G中,已知船=5,AG《3,髓≥7.则
么CAB的最小值为(

形^删的面积与四边 彤栅D的面积相等.
则彻=——一.
3.定义在正整数集合上的函数 r3z一1.#为奇数。

(A)号

(B)警

(c)荨
(B)O<。《3

(D)詈
).


6,如果满足II*2—4x一5I一6I=n的实数z恰 有6个值.则实数n的取值范围是(
(A)一6≤Ⅱ≤0

,¨卢1鲁,

∞为偶数
z=‰,

(c)3(n<6 (D)6《口<9 二、填空题(每小题8分.共64分)

令x。=12,“+。=,(‰),n∈N,则集台{xI

n∈N}中的元素共有——个.
4已知各项均为正数的等比数列{6。}和一个等 差数列{%},满足63—6一=9,6,一b3=36,且61= n。,62=o,记该等比数列前6项的和等于&.该等

1.正方形佃cD中,村是边肌的中点,』v是边
cD的中点.则siru:!

的值是——

2.记IIlin{n,b,c}为。、6、c中的最小值.若*、Y

是任意正实数。则Ⅳ=衄jn{*,专,y+{)的最大值
是——.

差数列前12项的和等于A。:,则G6+A.:=——.


M={一2,0,1},N={1,2,3,4,5}.映射,._】If

一_】v,使得对任意z∈肼,都有x+“z)+砜*)是奇 数.则这样的不同映射共有一——个.
二、(15分)如果a、6、c是正数,求证:

3.已知函数“z)=若焉.记
以1)+,(2)十…+,【1啪0)=m,

“{)+“号)+…+“矗丽)=n.
则m+n的值是——.
万方数据  

了面了+矿■丽+7■孺
Ⅱ3

b3

c3

≥盟竽

2004年第3期 三、(15分)如图2,动点P在以d胃=1为弦,且 当x=“时,Y=0所以,Y无最大值
3.A. P

台弓形角为譬的弓形弧
(含端点)上.设/LP=z, BP=Y,试确定^=3x+ 2r的最大值和最小值.


因为“x+10)=一,(x+5)=,(*),所以,
f(2

003)=,(200×10+3)=“3)=-f(8)=~专

图2

4.C.

四、(15分)已知半径分别为R、r的两个圃外切 于点P,点P到这两圆的一条外公切线的距离等于

设35=j,原不等式变形为,一2j~3≥O. 解得t∈(一一,一1]U[3.+一). 因为t是正数,所以,3‘=t≥3.故Ⅳ≥1. 因此,满足9。一2×3。一3≥o的最小实数值是1
5.B.

a求证:击+_}=专.
五、(15分)设有两两不等的n个正整数吼,吼,

或一1,i:I,2,…,n)的整数中,存在生掣个不
同的整数,要么同时为奇数,要么同时为偶数.

…,n。.则在形如t,啦+t2Ⅱ2+…+£。‰(其中c,取I

《伽=等譬簪≤丽32+25-72
由余弦定理得

参考答案
初赛
一、1.B 设n为正数,当x=一n时,*∈{一o,o},村 真.但√(一。)2=。≠一n,Ⅳ不真.所以,M不是Ⅳ 的充分条件. 若Ⅳ真. ̄/≈2=o,显然应有n为非负数.但n 不为0,所以。为正数.于是,z=n∈{一n,。f,故肛 真.因此,Ⅳ是Ⅳ的必要条件. 综上分析,肼是Ⅳ的必要非充分条件.
2.D.

2一面而0’~丽2一了’
15 f 15 1 C.

由于余弦函数在区间(0,E)是减函数,所以,

Z伽≥冬.


作出函数y;II x2—4x一5l一6l的草图,看直 线r=。与该图像的交点个数,确定实数。的取值 范围是3<。<6.

如图4,设正方形边长为

2,连结MN,则sz^釉∞=4,







s£Ⅲ2 smN=1,sⅫN



0.5.所以.SⅢ=4一l一1一
o.5=1.5.又AM=AN=45.
A 口

因为o《睾一【{J<l,o≤l如*l≤1, Y={~【{J一‰xI《1—0=1,

sⅢ=÷AM。ANsin么MAN,

图4

所以y=睾一[专]一I
F面说明不能达到1

sin

zl的最大值可能是1.

得碰删;瓜2xi再.5=吾.
2.√2.

因Y是以“为周期的周期函数,故其须考虑x ∈(0,w1时函数的变化.在z∈(o,Ⅱ]上.当x∈(0,H)

f● 【
时<

*一”

●_I















从图3可见,当 z≤x1时,y≤O,当z

∈(x。,“)时,詈>
sin

x,且喜单调增


目3



兰-slⅡi*<1~siⅡz

依题设专≥__lf,*≥吖,y+{≥肼,则 ,《击,÷≤去,Ms,+{≤杀.
于是,d尹≤2,村每压.

当x=压,y=老时,了1=,/2,,+i1=压1+花1
=压.所以,M=压,M的最大值是拒.
3.2 998.5

易知%≠一I.由于

sin*单凋减,则Y= 曼一mn#单词增;

“;,+“{):警+;{:,,“。,:导,

万方数据  

中等数学

所以,m+n=3x999+{=2 998.5.

综上所述卫专』c c丛笋


4?14素?
原方程两边平方并整理得 厂i砑?V 9-'9-3x=z+6, 再两边平方得
9x+36—3x2—12x=f+12x+36,

复赛
一、1.146. 设Ⅱ=*+Y,b=xy,xy+*+y
z2Y+xy2=xy(*十Y)=oh=880.


D+b



71,

所以,Ⅱ、b是t2—71t+880=0的两个根. 解得n=g+Y,b=xy分别等于16和55. 若^+Y=55,xy=16.显然无正整数解.所以, 只有*+Y=16,xy=55.

台并可得4∞2+15x=0,即x(4x+15)=0.

解得%=0,*:=一萼.
检验知均为原方程的根.所以,

因此,*2+,=(≈+y)2—2xy=146. ./,+b2

z;+*;=o+餮=14击.
5.54*.

。吖—丁‘
易知么SCE;么SBA=ZSDF.所以,

设0是△A8c的外接圆圆心,易知/BAC= 1020是钝角.所以,0在

△SCE∽△SR4∽△SDF.

△ABC的外部.连结删交
边BC于D..下面证明皿 与D重台. 由图5可见, 么AOB=84。, 么OAB=480, ZBD一0=36。+48。=84。. 么DAC=1020一480=54。.
6.竽一一2n+1+1.
图5

设A曰=z,s△黜=So,s口m脑删=5日m脚肿=s,则

掣:12,
品 so+2S
z2一D2

一扩’
62

① w R …

—耳■2孑’

由①得妾=£亏£,由②得鬈=!季尘,故
62一n2

所以,BD.=80,即甄与0重合.因此,

—:『_。■浮一‘

解得x=√掣.
3.7.

瓜+1=2(^+1).
‰=磐”一2”1+1.
7.一1.

由已知条件得/i==2/i+1.所以,

由xt=12得如=6,进而奶=3,托=8。如=4, ‰=2,^7=I,粕=2,X9=1,…。以下均为2,1,2,1, …的循环.所以.‰共取7个不同的值.即集合{zl* =R,n∈N}中共有7个元素.
4.324.

因此.{/瓦=+1}是首项为2、公比为2的等比

数列.v厂i+1=2“,即v,i=2。一1.从而,

设公比为q(q>0),则
f 6l口2一b1=9,


易知一1 991)=一1,,(1 992)=o.“1 993)=1, “l 994)=0,…,,(2 003)=一1.所以, ,(1 991)+,(1 992)+…+“2 003)=一1.

【bI q4一“q2=36,

8.掣c qc掣.
设三边按递增顺序排列为a,aq,aq2,其中a> 0,口≥1.则d+aq>at/z,即92一q一1<0.解得

e一{。b:t。q2。,-。。bl一=。9.,,:,。.
口>0,则q=2.此时bl-3.



将①代人②得口2=4.故口=2或g=一2.由于

1一压 1+朽 T‘q‘T’

所以,岛:掣:丛}三笋=-89.
%:。.+lid:掣.

设d是等差数列{‰}的公差,则依题设条件有

由口≥1知口的取值范围是l≤q<!尝.
设三边按递减顺序排列为n,aq,oq2,其中口> 0,0<q<1.则唧2+aq>口,即口2+口一1>0.解得

{::i≥:。.由此得。=导.所以,

掣<口<1.

1llllg.忙堕学=(3+i39)x6=135.

万方数据  

2004年第3期 于是,&+/112=189+135=324.
5.45、

四、如图6,设半 径为R的00与半径 为,的00。外切于点 P,AB是两圆的一条 外公切线,PC上AB于 点C.连结OP、0,P, 则0、P、0.共线.延
囝6

由于映射厂.肘一Ⅳ的自变量取自朋={一2,0, l},,(*)的值取自N={1,2,3,4,5f,问题是研究对 任意x∈jIf,都有£+^x)+矿(x)是奇数的不同映 射的个数

而#+“*)+砜x)=z+矾x)+1+“z)一I
=(g+1)[1+“z)]一1. 当x=1时,*+1是偶数,可知无论f(*)取Ⅳ

长BO.交00.于点D,则BD是00。的直径.连结

卸、PD.因为倒//肋,所以./AOP=/PO,D.因
为△AOP、△PO,D都是等腰三角形,则有么OPA= 么0.PD.所以,A、P、D三点共线.

中哪个值,都有z+“*)+州*)是奇数.所以,“z)
有5种对应取值法. 当x=一2时,由于*+1是奇数,要*+“月)+

砜z)为奇数,必须且只须1+,(z)为偶数,也就是
“*)为奇数.所以,“x)有3种对应取值法. 同理,z=0时,“z)也有3种对应取值法. 因此,所求的不同映射共有3×3x 5=45个. 二、因为矿+口6+矿≥3柚,所以, ∥ 口3+d2占+曲2一(Q2

因为PC//DB,所以,茄=器=丢.
又困△AOPCO△1)0,P,则有

历5而27j殍面。j再了哥面2j而‘
AP OP R AP R AP R

b+∥) 7了孺2———了了磊了矿—一

因此,j击=丢;警=专.
敲击+÷=寺?
① ② ③ 五、不妨设aI<啦<…<%,则d=一aI一啦一 …一%是形如厶口t+如啦+…+屯%的整数中的

同理,驴南≥6一号』,
再古再≥c~字.
①+②+③,得 矿


=n一篝端≥n一掣.

最小数,。+2a1=m~口2一-一‰也是形如tI哪十
t2啦+…+£。“的整数.~般地,口+2。l+2毗也是 形如t1啦+120a+…+£。o。的整数.依此类推,则
c3

7■珊+矿■丽+7i丽
≥(。+¨。)一丛生喜_:型要坐.
三、在△APB中,由余弦定理得

井。——————了F_————一

口(口+2al<8+2啦(…<Ⅱ+2口. <口+2a.+2al<…<n+2~+2如一l

‘———————=再-————一
。——————1节—————一
ol+口2+…+口n.

(口+2‰+2a.一J+2‰<…(n+2‰+2砧一l+2‰一{

‘—————————::异●———————一

≯+y2—2jcye∞等=1,
即x2+,+掣=1.
由k=3x+2y知 ①

<…<口+2d^+…+203+2a1<d+2‰+…+2q+24j

L————————1F————————一 <n+2%+2‰~I+…+2啦+24l

=口+2(dl+啦+…+%)


将@代人(!)得7x2—4h+∥㈣4
所以,△=(4k)2—4x7(酽一4)≥O.



上式中的每一个整数都是形如t,Ⅱ1十t2啦+… +l。4.(其中I。取1或一1,i=1,2,…,n)的整数中 的不同的数,它们共有 1+n+(n一1)+(n一2)+…+2+1

因为*是正实数,故此方程必有实根.

解得矿≤萼.故&《塾笋.
又k=3x+2,2 4+2(x+y)≥#+2≥2,所以

:l+掣:立掣

个彼此不同的数.

2≤^≤墼望.

当x=警时,^=学;
当点P与点A重合时,^=2.

易见,当。是偶数时,这!—±:咝个不同的整 数都是偶数;当。是奇数时,这芷±毒咝个不同的
整数都是奇数. (周春荔整理)

因此,所求的最大值为!乓型,最小值为2.
万方数据  

2003年北京市中学生数学竞赛(高一)
刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 中等数学 HIGH-SCHOOL MATHEMATICS 2004(3)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx200403011.aspx


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