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瑞泉中学2013级文科实验年级考练12


瑞泉中学 2013 级文科实验年级考练(12)

数学试题(文科) 瑞泉中学 张振荣 2012.11.19
一、选择题(每小题5分,共50分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案 的序号填涂在答题卡上) 1.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式不成立的是(
1 1

) D. 0.3 ? 0.3

a b

A. a ? b ? 2 ab

B. a 2 ? b 2

C. ln a ? ln b

2.等差数列 {an } 中, a2 ? 1 , a4 ? 5 ,则 {an } 的前 5 项和 S 5 =( A. 7 B. 15
b ?b



C. 20

D. 25 ( )

3.若 a ? 1, b ? 0, 且 a ? a A.

? 2 2 ,则 ab ? a ?b 的值等于
C.2 ) y

6

B. 2 或-2

D.-2

4. 函数 y ? log a (| x | ?1), (a ? 1) 的图像大致是( y y

y

O

x

O

x

-1 O

1 x

-1 O

1

x

A.

B.

C.

D.

5.在直角坐标平面内,已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 3(a ? 0 且 a ? 1) 的图像恒过定点

P ,若角 ? 的终边过点 P ,则 cos2 ? ? sin 2? 的值等于(
A. ?

) D. ?

1 2

B.

1 2

C.

7 10

7 10

6.已知函数 f ( x) ? ? 的取值范围为 A. (0, ??)

? x , x ? 1, ?
| x| ?2 , x ? 1. ?

若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有 3 个不同的实根,则实数 k ( )

B. ?1, ?? ?
1

C. (0, 2)

D. ?1, 2?

7.已知 | OA |? 1, | OB |? k , ?AOB ?

2 ? ,点C 在 ?AOB 内, OC ?OA ? 0 ,若 3
) C. 3 D. 4

OC ? 2mOA ? mOB (m ? 0) ,则 k ? (
A. 1 8. 已知函数 f ? x ? ? ? ( ) B. (-3,1) B。 2

?2, x ? 0, 2 则满足不等式 f ? 3 ? x ? ? f ? 2 x ? 的 x 的取值范围为 ?? x ? 2, x ? 0,

A. (?3,? 3)

C. [-3,0)

D. (-3,0)

9.若实数 t 满足 f (t ) ? ?t ,则称 t 是函数 f ( x)的一个次不动点.设函数 f ( x)? lnx 与函数
g( x)? e x (其中 e 为自然对数的底数)的所有次不动点之和为 m ,则(

) D. m ? 1

A. m ? 0

B. m ? 0

C. 0 ? m ? 1

?x ? 0 ? ( n ? N * ) 表示的平面区域为 Dn , an 表示区域 Dn 中整点的个 10.设不等式组 ? y ? 0 ? y ? ? nx ? 4n ?
数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点),则 A. 1012 B. 2012

1 (a 2 ? a 4 ? a6 ? ?a 2012 ) ( 2012
C. 3021 D. 4001

)

二、填空题(每题 5 分,共 25 分。把答案填在题中横线上)

? x?2 ? 11. 已知实数 x, y 满足的约束条件 ? y ? 2 则 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为_____. ?x ? y ? 6 ?
12. 已知三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象如图所示, 则
f ?(?3) ? f ?(1)



13.已知

cos 2?

sin(? ? ) 4

?

?

2 ,则 cos ? ? sin ? 等于__________ 2

14. 在直角坐标系中,O 是坐标原点,P ( x1 , y1 ), P ( x2 , y2 ) 是第一象限的两个点,若 1, x1 , 1 2 4 而 8 则 x2 , 依次成等差数列, 1,y1 ,y2 , 依次成等比数列, ?OPP2 的面积是__________。 1 15.下列几个命题:
2

3 ? x ? 1 的解集为 {x | x ? ?2, 或x ? 2}; x ?1 1 4 ② 已知 a, b 均为正数,且 ? ? 1 ,则 a ? b 的最小值为 9; a b 13 ③ 已知 m 2 ? n 2 ? 4, x 2 ? y 2 ? 9 ,则 mx ? ny 的最大值为 ; 2
① 不等式
x y

第 15 题图

④ 已知 x, y 均为正数,且 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则 3 ? 27 ? 1 的最小值为 7; 其中正确的有 . (以序号作答)

三、解答题(共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题 10 分) 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | (a ? R) (1)当 a=4 时,求不等式 f ( x) ? 5 的解集 (2)若 f ( x) ? 4 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围。

17. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? m),且f (0), f (2), f (6) 成等差数列. (1)求 f (30) 的值; (2)若 a,b,c 是两两不相等的正数,且 a,b,c 成等比数列,试 判断 f (a) ? f (c) 与 2 f (b) 的大小关系,并证明你的结论.

18.(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? 的最大值为 1 (1)求 m 的值,并求 f (x) 的单调递增区间;

?

) ? sin(2 x ? ) ? 3 cos 2 x ? m ,若 f ( x) 3 3

?

(2)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边 a 、 b 、 c ,若 f ( B) ? 3 ?1,且 3a ? b ? c , 试判断三角形的形状.

3

19. (本小题 12 分)
? 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , an ? an ?1 ? n , n ? 2, n ? N .

?

?

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . an

20. (本小题 13 分) 设函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 , a, b ? R ( 1 ) 若 函 数 f (x) 在 x ? 1 处 与 直 线 y ? ?

1 相 切 。 ① 求 实 数 a, b 的 值 ; ② 求 函 数 2

1 f ( x)在[ , e] 上的最大值; e
(2) b ? 0 时, 当 若不等式 f ( x) ? m ? x 对所有的 a ? [0, 的取值范围.

3 ], x ? 1, e 2 都成立, 求实数 m 2

? ?

21. (本小题 14 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 a 的值;

1 ? ax x e 在 x ? 0 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0. 1? x

(2)若 f ( x) ? 1, 求 x 的取值范围。

4

考练 12 (文科)数学答案
一、 ABCBA DDDBC 二、11、20 三、 16

12、

1 7

13、 ?

1 2

14、5

15、②



17. 2 log2 (2 ? m) ? log2 m ? log2 (6 ? m),即(m ? 2) 2 ? m(m ? 6)(m ? 0)

? 得m ? 2 ……………………………4 分? f (30) ? log2 (30 ? 2) ? 5 …………6 分
(2) 2 f (b) ? 2 log2 (b ? 2) ? log2 (b ? 2) , f (a) ? f (c) ? log2 (a ? 2)(c ? 2),
2

又b 2 ? ac, ? (a ? 2)(c ? 2) ? (b ? 2) 2 ? ac ? 2(a ? c) ? 4 ? b 2 ? 4b ? 4 ? 2(a ? c) ? 4b …9 分

? a ? c ? 2 ac ? 2b(a ? c) ? 2(a ? c) ? 4b ? 0
? log2 (a ? 2)(c ? 2) ? log2 (b ? 2) 2 ,即f (a) ? f (c) ? 2 f (b) ………………14 分
18.解:(1) f ( x) ? 1

s i n x ? 3 c o 2x ? m 2 s

? 2sin(2 x ? ) ? m ………………………………3分 3

?

f ( x)max ? 2 ? m, 所以 m ? 1 ,………………………………4分
令?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? (k ? Z ) 得到
5

单调增区间为 (k? ?

5? ? , k? ? )k ? Z ………………………………6分 12 12

(2) 因为 f ( B) ? 3 ?1,则 2sin(2 B ?

?

3

) ?1 ? 3 ?1 , B ?

?

又 3a ? b ? c ,则 3 sin A ? sin B ? sin C , 3 sin A ?

? ? ? 1 sin( A ? ) ? , A ? ,所以 C ? ,故 ?ABC 为直角三角形……………………12 分 3 2 6 2 19、.解: (Ⅰ) an ? an?1 ? n ? n ? 2, n ? N *?
n ? n ? 1? , ? n ? N *? 2 n(n ? 1) 当 n ? 1 时满足上式,? an ? 。 2 1 2 1 ? ?1 (Ⅱ) bn ? ? ? 2? ? ? an n ? n ? 1? ? n n ?1 ? ? Sn ? b1 ? b2 ? ?? bn ? 1? 2 ? 3 ??? n ?

1 5? ? sin( ? A) ……10 分 2 6

6

…………8分

an ? a1 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ??? ? an ? an?1 ?

…………………6 分 …………………9 分

?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ? 2 ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? n n ? 1 ?? ?? 2 ? ? 2 3 ?
1 ? 2n ? ? 2 ?1 ? ?? ? n ?1 ? n ?1
20 解: (1)① f '( x ) ? …………………12

a 1 ? 2bx ∵函数 f ( x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 相切 x 2

?a ? 1 ? f '(1) ? a ? 2b ? 0 ? ? 解得 ? 1 ?? 1 , ?b ? 2 ? f (1) ? ?b ? ? 2 ? ?
② f ( x) ? ln x ? 当

1 2 1 1 ? x2 x , f '( x) ? ? x ? 2 x x

1 1 ? x ? e 时,令 f '( x) ? 0 得 ? x ? 1 ; e e

令 f '( x) ? 0 ,得 1 ? x ? e ? f ( x)在? ,1? 上单调递增,在[1,e]上单调递减, e

?1 ? ? ?

? f ( x) max ? f (1) ? ?

1 2

…………6 分

( 2 ) 当 b=0 时 , f ( x) ?

a l n 若 不 等 式 f ( x) ? m ? x 对 所 有 的 x

? 3? a ? ?0, ? , x ? ?1, e2 ? 都成立, ? ? 2?
6

则 a ln x ? m ? x 对所有的 a ? ?0, ? , x ? 1, e2 ? 都成立, ? 2
2 即 m ? a ln x ? x, 对所有的 a ? [0, ], x ? 1, e 都成立,
2 令 h(a) ? a ln x ? x, 则h(a) 为一次函数, m ? h(a)min ? x ? 1, e ? ,? ln x ? 0, ?

? 3? ? ?
3 2

?

?

?

?

3 ? h(a)在a ? [0, ] 上单调递增? h(a)min ? h(0) ? ? x , 2
? m ? ? x 对所有的 x ? 1, e 2 ? 都成立。 ?
2 ?1 ? x ? e2 ,??e2 ? ? x ? ?1, ? m ? (? x)min ? ?e

?

21

7


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