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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 2.4

时间:2015-07-13


第四节 指数与指数函数

【知识梳理】

1.必会知识

教材回扣

填一填

(1)指数扩充及其运算性质: ①分数指数幂的概念: 给定正实数a,对于任意给定的整数m,n(m,n互素),存在唯一的正实数
m m b,使得_____,把b叫作a的 次幂,记作b= a n

,它就是分数指数幂. n

bn=am

②正分数指数幂与负分数指数幂:
a (ⅰ)正分数指数幂的根式形式: a =______(a>0).
1
m n

n

m

(ⅱ)正数的负分数指数幂的意义: a

?

m n

=_____(a>0,m,n∈N a +,且n>1).

m n

0 的负分数指数幂_________. 没有意义 (ⅲ)0的正分数指数幂等于__,0

③指数运算的性质:

若a>0,b>0,对任意实数m,n,指数运算有以下性质:
am+n (ⅰ)am·an=____; amn (ⅱ)(am)n=___; a mb m (ⅲ)(ab)m=____.

(2)指数函数的图像与性质:

概念

函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数, 其中x为自变量
0<a<1 a>1

图像

概念

函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数, 其中x为自变量 上方 过定点______ (0,1) 在x轴_____,

图像特征

当x逐渐增大时,图像逐 渐下降

当x逐渐增大时,图 像逐渐上升

概念
定义域 值域 性 质

函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数, 其中x为自变量 R (0,+∞)

单调性

减少的

增加的
y=1 当x=0时,____ 0<y<1 当 当x<0时,______; y>1 x>0时,____

函数值 变化 当x<0时,____; y>1 当x>0 规律 0<y<1 时,______

2.必备结论

教材提炼

记一记

同底数幂相除,指数相减.

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:换元法、图像平移法.

(2)数学思想:数形结合思想、分类讨论思想.

(3)记忆口诀:指数函数记忆口诀 多个图形像束花,(0,1)这点把它扎.

撇增捺减无例外,底互倒时y轴夹.
y=1为判底线,交点纵标看小大.

重视数形结合法,横轴上面图像察.

【小题快练】

1.思考辨析

静心思考
)

判一判

(1)2a·2b=2ab. (

(2)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数. (3)若am<an(a>0且a≠1),则m<n. (4)函数y=2-x在R上为单调减函数. ( ( ) )

(

)

【解析】(1)错误,2a·2b=2a+b≠2ab. (2)正确,两个函数均不符合指数函数的定义. (3)错误,当a>1时,m<n,而当0<a<1时,m>n. (4)正确,y=2-x= ( 1 ) x ,根据指数函数的性质可知函数在R上为减函数.
2

答案:(1)〓 (2)√

(3)〓

(4)√

2.教材改编

链接教材

练一练
2

(1)(必修1P77B组T3改编)若 ( 1 )3x ?1 >2-x+2,则x的取值范围是
2

.

【解析】因为 ( 1 )3x ?1 >2-x+2,即2-3x-1>2-x+2?-3x-1>-x+2?2x<-3?x< - 3. 答案:x<- 3
2 2

(2)(必修1P69B组T4改编)若 x ? x 【解析】由 x ? x
1 2 1 ? 2

1 2

?

1 2

=3,则 x 2 ? x ?2 ? 2 =
x ?x ?3

3 2

?

3 2

.

=3,得x+x-1+2=9,所以x+x-1=7,

所以x2+x-2+2=49,x2+x-2=47. 因为 x ? x
3 2

3 2

?

3 2

? (x ? x ) ? 3(x ? x ) =27-9=18,

1 2

?

1 2 3

1 2

?

1 2

所以 x 2 ? x ?2 ? 2 ? 18 ? 2 ? 2 .
x ? x ?3 答案: 2 5 47 ? 3 5

?

3 2

3.真题小试

感悟考题

试一试

(1)(2014·陕西高考)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调 递增函数是 A.f=x3 C.f= x
1 2

(

) B.f(x)=3x D.f(x)= ( 1 ) x
2

【解析】选B.根据函数满足“f(x+y)=f(x)f(y)”可以推出该函数为 指数函数,又函数为单调递增函数,所以底数大于1,从而确定函数为 f(x)=3x.

(2)(2015·上饶模拟)函数f(x)= A.(-3,0] C.(-∞,-3)∪(-3,0]

1 ? 2x ?

1 的定义域为 x ?3

(

)

B.(-3,1] D.(-∞,-3)∪(-3,1]

?1 ? 2x ? 0, 【解析】选A.由题意,自变量x应满足 ? ? x ? 3 ? 0, x ? 0, 解得 ? 所以-3<x≤0. ? ? x ? ?3,

(3)(2015·景德镇模拟)已知f(x)=ax(a>0,a≠1)过点(2,9),则其反函 数的解析式为 A.g(x)= ( 1 ) x
3

(

) B.g(x)=3x D.g(x)= log 1 x
3

C.g(x)=log3x

【解析】选C.因为f(2)=9,所以a2=9,解得a=3, 故f(x)=3x,所以其反函数为g(x)=log3x.

考点1

指数幂的化简与求值
a 3b 2 3 ab 2 (a>0,b>0)=
1 1 ? 4 3 2 1 3

【典例1】(1)化简:
2

(a b ) a b

1 4

.

1 ? 27 ? 3 (2)计算: ( ? ) ? ? 0.002 ? 2 ? 10 8

?

5 ?2

? ??
?1

3? 2 .

?

0

【解题提示】(1)将根式化为分数指数幂,然后利用幂的运算性质进行 计算. (2)将负的分数指数幂化为正分数指数幂,然后利用幂的运算性质进行 计算.

? ?1? 1? ? 2? 【规范解答】(1)原式= (a b a 1b 1) ? a 2 6 3 b 3 3 ? ab ?1. ? 2 3 3 ab a b -1

1 3 2 3

2 1 3 2

3 1

1

1

1

答案:ab

27 ? 3 1 ?1 10 (2)原式= ( ? ) ? ( ) 2? ?1 8 500 5?2
1 8 3 ? ( ? ) ? 500 2 ? 10 5 ? 2 ? 1 27 4 167 ? ? 10 5 ? 10 5 ? 20 ? 1 ? ? . 9 9 2

2

?

?

【规律方法】指数幂的运算规律

(1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.

(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数
的,先化成假分数.

(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂
的运算性质来解答.

提醒:运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有
负指数,形式力求统一.

【变式训练】化简下列各式(其中各字母均为正数):
7 2 ?1?1.5 ? ( ? )0 ? 80.25 ? 4 2 ? ( 3 2 ? 3)6 ? ( ) 3 . 6 3
? 1 3 2

? 2?

(a b )
6

2 3

?1

?

1 2

a
5

?

1 2

b

1 3

ab

.

1 1 1 2 3 【解析】(1)原式= ( ) 3 ?1 ? ? 2 ? 4 ? 2 4 ? (2 3 ? 3 2 )6 ? ( 2 ) 3 ? 2 ? 4 ? 27 ? 110. 3 3

1

1

1

(2)原式= a b a b ? a ? 3 ? 2 ? 6 b 2 ? 3 ? 6 ? 1 . 1 5 a a 6 b6

?

1 3

1 2

?

1 2

1 3

1 1 1

1 1 5

【加固训练】1.化简 4 16x8 y4 (x<0,y<0)得 A.2x2y B.2xy
8 4

(

)

C.4x2y
8 1 4 4

D.-2x2y

【解析】选D. 4 16x y ? ?16x y
? [2 ? ?x ?
4 8

?

? ?y?

4

] ?2

1 4

4

1 4

? ?x ?

8

1 4

? ?y ?

4

1 4

=2(-x)2(-y)=-2x2y.

1 ? 1 2.化简: ( ) 2 4

?
? 0.1?

4ab
?1

?1

?
3 2

3

?a
3 2 3 2

3

b
?

1 ?3 2

=

.

?

【解析】原式= 2 4 a b 答案: 8
5

3 2

10a b

?

3 2

8 ? . 5

考点2

指数函数图像的应用
a

【典例2】(1)(2015·惠州模拟)函数y=ax- 1 (a>0,且a≠1)的图像可
能是 ( )

(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是

.

【解题提示】(1)分a>1及0<a<1两种情况讨论函数y=ax- 1 的单调性,
a

再结合选择支求解.
(2)作出曲线|y|=2x+1与直线y=b的图像,数形结合求解. 【规范解答】(1)选D.当a>1时,y=ax- 1 为增函数,且在y轴上的截距为
a

0<1- 1 <1,排除A,B. 当0<a<1时,y=ax- 1 为减函数,且在y轴上的截距为1- 1 <0,故选D.
a a a

【一题多解】解答本题,你知道几种解法? 解答本题,还有以下解法: 方法一:当0<a<1时,函数y=ax- 1 是减函数,且其图像可视为是由函数 y=ax的图像向下平移 1 个单位长度得到的,结合各选项知选D.
a a

方法二:因为函数y=ax- 1 (a>0,且a≠1)的图像必过点(-1,0),所以选D.
a

(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图像如图所示,

由图像可得:如果|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是
b∈[-1,1]. 答案:[-1,1]

【互动探究】若将本例(2)中“|y|=2x+1”改为“y=|2x-1|”,且与直

线y=b有两个公共点,求b的取值范围.
【解析】曲线y=|2x-1|与直线y=b的图像如图所示,由图像可得,如果 曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围是(0,1).

【规律方法】指数函数图像的画法及应用

(1)画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像,应抓住三个关键点:(1,a),
(0,1),(-1, 1 ).
a

(2)与指数函数有关的函数图像的研究,往往利用相应指数函数的图像, 通过平移、对称变换得到其图像. (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图 像数形结合求解.

【变式训练】1.(2015·安庆模拟)已知函数f(x)=(x-a)·(x-b)(其

中a>b),若f(x)的图像如图所示,则函数g(x)=ax+b的图像是

(

)

【解析】选A.由已知并结合图像可知0<a<1,b<-1.对于函数g(x)=ax+b,

它一定是单调递减的,排除C,D.且当x=0时g(0)=a0+b=1+b<0,即图像与
y轴交点在负半轴上,排除B,选A.

2.方程2x=2-x解的个数是

个.

【解析】方程的解可看作函数y=2x和y=2-x的图像交点的横坐标,分别
作出这两个函数图像(如图). 由图像得只有一个交点,因此该方程只有一个解. 答案:1

【加固训练】1.已知实数a,b满足等式 ( 1 )a ? ( 1 ) b ,下列五个关系式:
2 3

①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b. 其中不可能成立的关系式有 A.1个 B.2个 ( ) D.4个

C.3个

【解析】选B.函数y1= ( 1 ) x 与y2= ( 1 ) x 的图像如图所示.
2 3

由 ( 1 )a ? ( 1 ) b 得,a<b<0或0<b<a或a=b=0.
2 3

故①②⑤可能成立,③④不可能成立.故选B.

2.若函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图像经过第二、三、四象限,则a,b

的取值范围分别是

.

【解析】因为函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图像经过第二、三、四象 限,所以 ? ?
0 ? a ? 1, ?1 ? b ? 1 ? 0, 0 ? a ? 1, 即? ? ?b ? 0.

答案:(0,1),(-≦,0)

考点3

指数函数的性质及应用

知·考情
指数函数的性质主要是其单调性,备受高考命题专家的青睐.高考 常以选择题或填空题的形式出现,考查幂值大小比较、解简单不等式、 判断指数函数单调性以及求指数函数的最值等问题,难度偏小,属中低 档题.

明·角度

命题角度1:比较指数式的大小
【典例3】(2015·天津模拟)设y1=40.9,y2=80.48,y3= ( 1 ) ?1.5 ,则(
2

)

A.y3>y1>y2 C.y1>y2>y3

B.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2

【解题提示】利用指数幂的运算性质,分别将y1,y2,y3化为同底数的

幂,再利用单调性比较大小.
【规范解答】选D.y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44, y3= ( 1 ) ?1.5 =21.5.因为1.8>1.5>1.44,且y=2x在R上单调递增,所以
2

y1>y3>y2.

命题角度2:与函数的奇偶性、单调性的综合

【典例4】(2015·合肥模拟)已知f(x)=
(1)判断f(x)的奇偶性. (2)讨论f(x)的单调性.

a x-a-x)(a>0,且a≠1). (a a2 ?1

【解题提示】(1)根据函数奇偶性的定义判断.(2)分a>1及0<a<1对函 数f(x)的单调性进行讨论.

【规范解答】(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.

又因为f(-x)=

a (a-x-ax)=-f(x), a2 ?1

所以f(x)为奇函数.

(2)当a>1时,a2-1>0,y=ax为增函数,y=a-x为减函数,

从而y=ax-a-x为增函数.所以f(x)为增函数.
当0<a<1时,a2-1<0,y=ax为减函数,y=a-x为增函数, 从而y=ax-a-x为减函数.所以f(x)为增函数. 故当a>0且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增.

悟·技法

(1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1).
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函 数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.

(3)求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义

域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、
单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断 , 最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决. 提醒:在研究指数型函数单调性时,当底数与“1”的大小关系不明确 时,要分类讨论.

通·一类

1.(2015·太原模拟)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),
则{x|f(x-2)>0}= ( A.{x|x<-2或x>4} C.{x|x<0或x>6} ) B.{x|x<0或x>4} D.{x|x<-2或x>2}

【解析】选B.f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=f(-x)=2-x-4.
x ? 2 ? 所以f(x)= ? ? 4, x ? 0, 当f(x-2)>0时, ?x ? ? 2 ? 4, x ? 0, x ? 2 ? 0, ? x ? 2 ? 0, 有? 或 解得x>4或x<0. ? ? x ?2 ? x ?2 ? 4 ? 0, ?2 ?2 ? 4 ? 0,

?1 , x ? 0, ? ? x 2.(2015·马鞍山模拟)若函数f(x)= ? 则不等式 ?( 1 ) x , x ? 0, 1 1 ? ? 3 ) ? ? f ? x ? ? 的解集为 ( 3 3

A.[-1,2)∪[3,+∞) C.[ 3 ,+∞)
2

B.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.(1, 3 ]∪[3,+∞)

?1 , x ? 0, ? ? 【解析】选B.函数f(x)= ? x ?( 1 ) x , x ? 0, ? 所示. ? 3

和函数g(x)=〒 1 的图像如图
3

从图像上可以看出不等式的解集是两个无限区间.当x<0时,是区间 (-≦,-3],当x≥0时,是区间[1,+≦),故不等式- ≤f(x)≤ 为(-≦,-3]∪[1,+≦).
1 3 1 的解集 3

3.(2015·巢湖模拟)已知a=21.2,b= ( 1 ) ?0.8 ,c=2log52,则a,b,c的大小
2

关系为 A.c<b<a

(

) B.c<a<b C.b<a<c
2

D.b<c<a

【解析】选A.因为a=21.2,b= ( 1 ) ?0.8 =20.8,所以a>b>1. 又c=2log52=log54<1,所以a>b>c.

4.(2015·成都模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,

f(x)=1-2-x,则不等式f(x)<- 1 的解集是
2

(

)

A.(-∞,-1) C.(1,+∞)

B.(-∞,-1] D.[1,+∞)

【解析】选A.当x>0时,f(x)=1-2-x>0,

又f(x)是R上的奇函数,
所以f(x)<- 1 的解集和f(x)> 1 (x>0)的解集关于原点对称,由1-2-x>
1 得2-x< 1 =2-1,即x>1,则f(x)<- 1 的解集是(-≦,-1). 2 2 2 2 2

自我纠错5

指数函数的参数问题

【典例】(2015·苏州模拟)若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的 最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m) x 在[0,+∞)上是增函数, 则a=_______.

【解题过程】

【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?

提示:对条件“g(x)在[0,+≦)上是增函数”不会使用,求得结果后未
进行检验得到两个答案.

【规避策略】

1.对指数函数的底数a分类讨论
指数函数的底数不确定时,单调性不明确,从而无法确定其最值,故应 分a>1和0<a<1两种情况讨论. 2.熟练掌握复合函数单调性 根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一,熟练掌握基 本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础.

【自我矫正】g(x)在[0,+≦)上为增函数,则1-4m>0,即m< 1 .若a>1,
1 则函数f(x)在[-1,2]上是增加的,最小值为 =m,最大值为a2=4,解得 a 1 a=2,m= 1 ,与m< 矛盾;当0<a<1时,函数f(x)在[-1,2]上是减少的,最 4 2 小值为a2=m,最大值为a-1=4,解得a= 1 ,m= 1 .所以a= 1 . 16 4 4 答案: 1 4 4


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