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山东省临沂市2013届高三数学1月月考试题 文 新人教A版


山东省临沂市郯城一中 2013 届高三数学 1 月月考试题 文 新人教 A 版
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.函数 f ? x ? ? A. ? ??,1?

3x ? lg ? 2 x ?1? 的定义域为 1? x
B. ? 0,1? C. ? 0,1? D. ? 0, ?? ?

/>2.已知点 P ? tan ? ,cos ? ? 在第三象限,则角 ? 的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.一个简单几何体的主视图,左视图如图所示,则其俯视图不可能为 ①长方形;②直角三角形;③圆;④椭圆.其中正确的是 A.①
0.7

B.②
6

C.③

D.④

4.三个数 6 ,0.7 ,log0.76 的大小顺序是 A.0.7 <log0.76<6 <6
0.7 6 0.7

B.0.7 <6 <log0.76

6

0.7

C.log0.76<6 <0.7

0.7

6

D.log0.76<0.7

6

5.若 a ? 1, b ? A.45° 6.已知

?? ?

?? ?

? ? ? ? ? 2, 且a ? a ? b ,则向量 a, b 的夹角为

?

?

B.60°

C.120°

D.135°

cos 2 x 1 ? , 0 <x< ? ,则 tan x 为 ?? 5 ? 2 cos ? x ? ? 4? ?
B. ?

A. ?

4 3

3 4

C.2

D. ?2

2 2 2 7.在 ?ABC 中,解 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a ? c ? b tan B ? 3ac ,则角 B

?

?

的值是 A.

? 6

B.

? 2? 或 3 3

C.

? 5? 或 6 6
2

D.

? 3
2

8. 对于常数 m , n ,“ mn ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 的曲线是椭圆”的( A.充分不必要条件 要条件 9.定义运算
ab cd



B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必

? ad ? bc ,函数 f ? x ? ?

x ?1 ?x

2 x ?3

图象的顶点坐标是 ? m, n ? ,且 k、m、n、r

成等差数列,则 k+r 的值为
-1-

A.-5

B.14

C.-9

D.-14 (2)若

10. 对 于 直 线 m , n 和 平 面 ? , ? , ? . 则 ( 1 ) 若 m / / ,m? n则 n ? ? , ?

m ? ? , m? n,则 n/ ? /
(3)若 ? ? ? , ? ? ? , 则? / /? 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 (4) m ? ? ,m // nn ? ,? 则 ?? 若 , ? . 其中真命题

11.设在函数 y ? x sin x ? cos x 的图象上的点 ? x0 , y0 ? 处的切线斜率为 k,若 k ? g ? x0 ? ,则 函数 k ? g ? x0 ? , x0 ???? , ? ? 的图像大致为

12.已知 f ? x ? ? ?

? x 2 ? 2, x ? 0 ?3 x ? 2, x ? 0

, 若 f ? x ? ? ax在x ? ? ?1,1? 上恒成立,则实数 a 的取值范围是
C. ?0,1? D. ? ?1,0?

A. ? ?? ?1? ? ?0, ???

B. ? ?1,0?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.在正三棱锥 S-ABC 中,侧面 SAB、侧面 SAC、侧面 SBC 两两垂直,且侧棱 SA ? 2 3 ,则正 三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积为____________. 14.在等比数列 ?an ?中, an >0,且 a1 ? a2 ????? a7 ? a8 ? 16, 则a4 ? a5 的最小值为________.

?y ?1 ? 15.若实数 x, 满足 ? y ? 2 x ? 1, y 如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ?2 , 则实数 m=_________。 ?x ? y ? m ?
16.函数 f ? x ? ? 2sin ??x ? ? ? 的图像,其部分图像如图所示, 则 f ? 0 ? ? _________.

-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos x ?
2

1 2

(I)求函数 f ? x ? 的对称中心和单调区间; ( II ) 已 知 ?ABC 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a , b , 3 , 且 f ?C ? ? 1 , 若 向 量

?? ? m ? ?1, s i n ? 与 n? ? 2 , s iB 共线,求 a、b 的值. A n ?

18. (本小题满分 12 分) 对某批电子元件进行寿命追踪调查,抽取一个容量为 200 的样本,情况如下: 寿命 (h) 100~200 个数 20 200~300 30 300~400 80 400~500 40 500~600 30

(1) 列出频率分布表; (2) 画出频率分布直方图和频率分布折线图; (3) 估计电子元件寿命在 100h~400h以内的概率; (4) 估计这批电子元件的平均寿命 (5)从这 200 个样本中再分层抽取 20 个电子元件,前两组各被抽取多少个?这两组抽取的 电子元件 混合均匀后再抽两个,这两个落在同一小组的概率是多少?

19.(本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD,AB//DC,△ PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8, AB ? 2DC ? 4 5 . (1)设 M 是 PC 上的一点,求证:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积.

-3-

20.(本小题满分 12 分) 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 中 , a1=1 , Sn 是 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 对 任 意 n ? N , 有
?

2Sn ? 2 pan2 ? pa ? p p R. ? ?? n
(1)求常数 P 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)记 bn ?

4Sn n 2 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn. n?3

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? (1)若 a ?

1 2 ax ? ? 2a ? 1? x ? 2 ln x (a>0). 2

1 ,求 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上的最小值; 2 1 (2)若 a ? ,求函数 f ? x ? 的单调区间; 2 1 (3)当 <a<1 时,函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 上是否有零点,若有,求出零点,若没有,请 2
说明理由;

22.已知椭圆 积为 4

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 2 a b 2

(1) 求椭圆的方程; (2) 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B , 已知点 A 的坐标为 ? a, 0 ) 点 Q(0, y0 ) ( , 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA? QB ? 4 ,求 y0 的值.

??? ??? ? ?

-4-

参 考 答 案 CBCDA ABBCA AB

17.

18.解:(1) 样本频率分布表: 分组 (寿命) 频 数 100~200 200~300 300~400 400~500 500~600 合计 20 30 80 40 30 200 频率 0.1 0.15 0.40 0.20 0.15 1

(2)

频率 组距

0.004 0.003 0.002 0.001 100 200 300 400 500 600 直方图和折线图 寿命

(3) 从频率分布表和频率分布图可以看出,寿命在 100h~400h的电子元件出现的频率为 0.1+0.15+0.40=0.65,所以我们估计电子元件寿命在 100h~400h的概率为 0.65. (4) 取各组的中值,可近似估计总体的平均值为

100 ? 200 200 ? 300 300 ? 400 400 ? 500 ? 0.10 ? ? 0.15 ? ? 0.40 ? ? 0.20 2 2 2 2 500 ? 600 ? ? 0.15 ? 15 ? 37.5 ? 140 ? 90 ? 82.5 ? 365 . 2
估计这批电子元件的平均寿命为 365 小时

-5-

-6-

21.

22.(1)由 e ?

c 3 2 2 2 2 2 ? ,得 3a ? 4c ,再由 c ? a ? b ,得 a ? 2b a 2

-7-

由题意可知,

1 ? 2a ? 2b ? 4, 即ab ? 2 2

解方程组 ?

?a ? 2b x2 ? y 2 ? 1。 得 a=2,b=1,所以椭圆的方程为 4 ?ab ? 2

(2)解:由(1)可知 A(-2,0) 。设 B 点的坐标为(x1,,y1),直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方 程为 y=k(x+2),

? y ? k ( x ? 2) ? 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 2 ? ? y ?1 ? 4
由方程组消去 y 整理,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? (16k 2 ? 4) ? 0 由 ?2 x1 ?

16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 4k , 得 x1 ? , 从而y1 ? , 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2 8k 2 2k , ) 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

设线段 AB 是中点为 M,则 M 的坐标为 (? 以下分两种情况:

(1)当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0) 。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是

QA ? (?2, ? y0 ), QB ? (2, ? y0)由QA? =4,得y0 = ? 2 2 QB
( 2 ) 当 k ? 0 时 , 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 ( 后 边 的 Y 改 为 小 写 )

?

?

?

?

Y?

2k 1 8k 2 ? (x ? ) 1 ? 4k 2 k 1 ? 4k 2

令 x=0,解得 y0 ?
?

6k 1 ? 4k 2
?

由 QA ? (?2, ? y0 ), QB ? ( x1 , y1 ? y0)

QA? ? ?2 x1 ? y0 ( y1 ? y0)= QB

?

?

?2(2 ? 8k 2 ) 6k 4k 6k ? ( ? ) 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4 k 2

=

4(16k 4 ? 15k 2 ? 1) ?4 (1 ? 4k 2 )2
2

整理得 7k ? 2, 故k ? ? 综上 y0 = ? 2 2或y0 = ?

14 2 14 所以y0 = ? 7 5 2 14 5

-8-


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