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河北省唐山市2012届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理 新人教A版


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河北省唐山市 2011—2012 学年度高三年级第二次模拟考试 数学(理)试题
说明: 一、本试卷共 4 页,包括三道大题,24 道小题,共 150 分,其中 1.~(21)小题为必做 题,(22)~(24)小题为选做题. 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”

的规定答题. 三、做选择题时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如 需改动,用橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案, 四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回, 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的标准差;

s?

1 [(x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ?( xn ? x) 2 ],其中x 为样本平均数; n

柱体体积公式: V ? Sh, 其中S为底面面积、h 为高;

1 Sh, 其中 S为底面面积 , h 为高; 3 4 3 2 球的表面积、体积公式: S ? 4?R , V ? ?R , 其中 R 为球的半径。 3
锥体体积公式: V ? 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求. 1.已知

z =2+i,则复数 z 的共轭复数为 1? i
B.-3+i C.3+i D.3-i

A.-3-i

1 6 2 2. ( x ? ) 的展开式中的常数项为 x
A.-15 B.15 C.-20 D.20 a b 3.己知命题 p:“a>b”是“2 >2 ”的充要条件;q: ?x ∈R,lx+l l≤x,则 A. ? p ? q 为真命题 B.p ? ? q 为假命题 C.p ? q 为真命题 D. p ? q 为真命题 4.已知 ? 是第三象限的角,且 tan ? =2,则 sin( ? + A. ?

? )= 4

3 10 10

B.

3 10 10

C. ?

10 10

D.

10 10

? x ? y ? 1, ? 5.设变量 x、y 满足 ? x ? y ? 0, 则目标函数 z=2x+y 的最小值为 ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?
1

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A.6 6.把函数 y=sin(2xA.x=0 B.4

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C.2 D.

? ? )的图象向左平移 个单位后,所得函数图象的一条对称轴为 6 6 ? ? ? B.x= C.x=— D.x= 12 6 2

3 2

7.执行如图所示的算法,若输出的结果 y≥2,则输入的 x 满足

A.x≤一 l 或 x≥4 B.x≤-l C.-1≤x≤4 D.x≥4 8.已知某几何体的三视图如图所示,则其体积为 A.1 B.

4 3

C.

5 3

D.2

9.奇函数 f(x) 、偶函数 g(x)的图象分别如图 1、2 所示,方程 f(g(x))=0、g(f(x) ) =0 的实根个数分别为 a、b,则 a+b= A.14 B.10 C.7 D.3

10.直线 l 与双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ?) 交于 A、B 两点,M 是线段 AB 的中 点,若 a 2 b2

l 与 OM (O 是原点)的斜率的乘积等于 1,则此双曲线的离心率为
A. 2 B. 3 C.2 D. 3

2

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11.曲线 y=

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x ?1 与其在点(0,一 1)处的切线及直线 x=1 所围成的封闭图形的面积为 x ?1

A.1-ln2 B.2-2n2 C. ln2 D.2ln2-1 12.把一个皮球放入如图所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球 的表面与 8 根铁丝都有接触点,则皮球的半径为 A.l0 3 cm C.10 2 cm B.10 cm D.30cm

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.函数 y=

1 10 x ? 2
2

的定义域为



14 . 向 圆 (x 一 2 ) + ( y— 3 ) =4 内 随 机 掷 一 点 , 则 该 点 落 在 x 轴 下 方 的 概 率 为 。 2 15.过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 作直线交抛物线于 A、B 两点,若|AF| =2|BF|=6,则 p= 。 16.在△ABC 中, ( AB ? 3AC) ? CB, 则角 A 的最大值为 。

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足:

1 2 ? ? a1 a2

?

n 3 2n ? (3 ? 1), n ? N * . an 8

(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 bn ? log 3

an 1 1 ,求 ? ? n b1b2 b2 b3

?

1 . bn bn ?1

18. (本小题满分 12 分) 某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的 8 场比赛中得分统计的茎叶图如下:

(I)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小; (II)以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过 15 分的频率作为概率,假设甲、乙两 名队员在同一场比赛中得分多少互不影响, 预测在本赛季剩余的 2 场比赛中甲、 乙两名 队员得分均超过 15 分次数 X 的分布列和均值.

3

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19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PC⊥底面 ABCD, ABCD 是直角梯形, AB⊥AD, AB∥CD, AB= 2AD =2CD =2.E 是 PB 的中点. (I)求证:平面 EAC⊥平面 PBC; (II)若二面角 P-A C-E 的余弦值为

6 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值. 3

20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,长为 2 ? 1 的线段的两端点 C、D 分别在 x 轴、y 轴上滑动,

CP ? 2 PD .记点 P 的轨迹为曲线 E.
(I)求曲线 E 的方程; ( II)经过点(0,1)作直线 l 与曲线 E 相交于 A、B 两点, OM ? OA ? OB, 当点 M 在曲线 E 上时,求 cos ? OA, OB ? 的值.

21. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ?

1 2 x ? a 2 ln x, a ? 0 . 2

(I)求函数 f(x)的最小值; ( II) (i)设 0 ? t ? a, 证明 : f (a ? t ) ? f (a ? t ); (ii)若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且 x1 ? x2 , 证明: x1 ? x2 ? 2a.

4

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请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 在△ABC 中, BC 边上的点 D 满足 BD=2DC, 以 BD 为直径作圆 O 恰与 CA 相切于点 A, 过点 B 作 BE⊥CA 于点 E,BE 交圆 D 于点 F. (I)求∠ABC 的度数: ( II)求证:BD=4EF.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点, 极轴为 z 轴的正半轴, 两种坐标系的长度单 位相同,己知圆 C1 的极坐标方程为 p=4(cos ? +sin ? ,P 是 C1 上一动点,点 Q 在射线 OP 上 且满足 OQ=

1 OP,点 Q 的轨迹为 C2。 2

(I)求曲线 C2 的极坐标方程,并化为直角坐标方程; ( II)已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? t cos ? , (t 为参数,0≤ ? < ? ) ,l 与曲线 ? y ? t sin ?

C2 有且只有一个公共点,求 ? 的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f(x)=|x|+2|x-a|(a>0) . (I)当 a=l 时,解不等式 f(x)≤4; ( II)若 f(x)≥4 恒成立,求实数 a 的取值范围

5

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唐山市 2011—2012 学年度高三年级第二次模拟考试 理科数学参考答案 一、选择题: A 卷:AABCB B 卷:CBDAC 二、填空题: CDDCB BACBA (14) CB DB 1 3 - 6 4? (15)4 (16) ? 6

(13)(lg 2,+∞)

三、解答题: (17)解: 1 3 2 (Ⅰ) = (3 -1)=3, a1 8 当 n≥2 时, n 1 2 n 1 2 n-1 ∵ =( + +?+ )-( + +?+ )

?1 分

an

a1 a2

an

a1 a2

an-1

3 2n 3 2n-2 2n-1 = (3 -1)- (3 -1)=3 , 8 8 当 n=1, =3

?5 分

所以 an= 2n-1. 3 (Ⅱ)bn=log3 =-(2n-1), 1 =

n an n

2n-1

也成立, ?6 分 ?7 分

an n

1 1 1 1 = ( - ), bnbn+1 (2n-1)(2n+1) 2 2n-1 2n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ + +?+ = [(1- )+( - )+?+( - )] ?10 分 b1b2 b2b3 bnbn+1 2 3 3 5 2n-1 2n+1 1 1 n = (1- )= . ?12 分 2 2n+1 2n+1 (18)解: -甲= 1 (7+9+11+13+13+16+23+28)=15, (Ⅰ)x 8 1 x乙= (7+8+10+15+17+19+21+23)=15, 8 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 s甲 = [(-8) +(-6) +(-4) +(-2) +(-2) +1 +8 +13 ]=44.75, 8 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 s乙 = [(-8) +(-7) +(-5) +0 +2 +4 +6 +8 ]=32.25. 8 甲、乙两名队员的得分均值相等;甲的方差较大(乙的方差较小) . ?4 分 3 (Ⅱ)根据统计结果,在一场比赛中,甲、乙得分超过 15 分的概率分别为 p1= ,p2 8 1 3 = ,两人得分均超过 15 分的概率分别为 p1p2= , 2 16 k 3 13 2-k k 3 依题意,X~B (2, ),P (X=k)=C2( ) ( ) ,k=0,1,2, ?7 分 16 16 16 X 的分布列为 X 0 1 2
6

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P X 的均值 E (X)=2× =
3 16 3 . 8

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169 256 78 256 9 256 ?10 分 ?12 分

(19)解: (Ⅰ)∵PC⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴AC⊥PC, ∵AB=2,AD=CD=2,∴AC=BC= 2, 2 2 2 ∴AC +BC =AB ,∴AC⊥BC, 又 BC∩PC=C,∴AC⊥平面 PBC, ∵AC?平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBC. (Ⅱ)如图,以 C 为原点,→ DA 、→ CD 、→ CP 分别为

?4 分
z P

x 轴、y 轴、z 轴正向,建立空间直角坐标系, 则 C (0,0,0),A (1,1,0),B (1,-1,0). 设 P (0,0,a)(a>0) , 1 1 a 则 E ( ,- , ), ?6 分
2 → CA =(1,1,0),→ CP =(0,0,a), 1 1 a → CE =( ,- , ), 2 2 2 取 m=(1,-1,0),则 m·→ CA =m·→ CP =0,m 为面 PAC 的法向量. 2 2

E

x A y D C B

设 n=(x,y,z)为面 EAC 的法向量,则 n·→ CA =n·→ CE =0, ?x+y=0, 即? 取 x=a,y=-a,z=-2,则 n=(a,-a,-2), ?x-y+az=0, |m·n| a 6 依题意,|cos ?m,n?|= = 2 = ,则 a=2. ?10 分 |m||n| a +2 3 于是 n=(2,-2,-2),→ PA =(1,1,-2). 设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 θ , |→ PA ·n| __________ 2 → 则 sin θ =|cos ? PA ,n?|= → = , | PA ||n| 3 即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 2 . 3 ?12 分

(20)解: (Ⅰ)设 C (m,0),D (0,n),P (x,y). 由→ CP = 2→ PD ,得(x-m,y)= 2(-x,n-y),
?x-m=- 2x, ? ? 2+1 ∴? 得? y, ?y= 2(n-y), ?n= ?

?m=( 2+1)x,
?2 分

?

2

由|→ CD |= 2+1,得 m2+n2=( 2+1)2, 2 ( 2+1) 2 2 2 ∴( 2+1) x + y =( 2+1)2, 2 整理,得曲线 E 的方程为 x + =1. ?5 分 2 (Ⅱ)设 A (x ,y ),B (x ,y ),由→ OM =→ OA +→ OB ,知点 M 坐标为(x +x ,y +y ).
1 1 2 2 1 2 1 2 2

y2

设直线 l 的方程为 y=kx+1,代入曲线 E 方程,得(k +2)x +2kx-1=0,
7

2

2

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则 x1+x2=-
2

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?7 分

2k 1 ,x1x2=- 2 . k +2 k +2 4 y1+y2=k(x1+x2)+2= 2 , k +2 2 (y1+y2) 2 由点 M 在曲线 E 上,知(x1+x2) + =1, 2 2 4k 8 2 即 2 2+ 2 2=1,解得 k =2. (k +2) (k +2)
2

?9 分 3 , 4

这时 x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k )x1x2+k(x2+x2)+1=- (x1+y1)(x2+y2)=(2-x1)(2-x2)=4-2(x1+x2)+(x1x2) 33 2 2 =4-2[(x1+x2) -2x1x2]+(x1x2) = , 16 cos ?→ OA ,→ OB ?= (21)解:
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x1x2+y1y2 33 =- . 2 2 2 11 (x +y1)(x2+y2)
2 1 2

?12 分

a (x+a)(x-a) (Ⅰ)f ?(x)=x- = .

x x 当 x∈(0,a)时,f ?(x)<0,f (x)单调递减; 当 x∈(a,+∞)时,f ?(x)>0,f (x)单调递增.
当 x=a 时,f (x)取得极小值也是最小值 f (a)= 1 2 2 a -a ln a. 2

?1 分

?4 分

(Ⅱ) (ⅰ)设 g (t)=f (a+t)-f (a-t),则 当 0<t<a 时,
2 a2 a2 2at g ?(t)=f ?(a+t)+f ?(a-t)=a+t- +a-t- = 2 <0, ?6 分 a+t a-t t -a2 所以 g (t)在(0,a)单调递减,g (t)<g (0)=0,即 f (a+t)-f (a-t)<0, 故 f (a+t)<f (a-t). ?8 分 (ⅱ)由(Ⅰ) ,f (x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增, 不失一般性,设 0<x1<a<x2, 因 0<a-x1<a,则由(ⅰ) ,得 f (2a-x1)=f (a+(a-x1))<f (a-(a-x1))=f (x1)=f (x2), ?

11 分 又 2a-x1,x2∈(a,+∞), 故 2a-x1<x2,即 x1+x2>2a. (22)解: (Ⅰ)连结 OA、AD. ∵AC 是圆 O 的切线,OA=OB, ∴OA⊥AC,∠OAB=∠OBA=∠DAC, 又 AD 是 Rt△OAC 斜边上的中线, ∴AD=OD=DC=OA, ∴△AOD 是等边三角形,∴∠AOD=60?, 1 故∠ABC= ∠AOD=30?. ?5 分 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, 在 Rt△AEB 中,∠EAB=∠ADB=60?, 1 1 3 3 ∴EA= AB= × BD= BD, 2 2 2 4 ?12 分

?2 分
E F A

B

O

D

C

8

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EB=

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3 3 3 3 AB= × BD= BD, ?7 分 2 2 2 4 2 由切割线定理,得 EA =EF×EB, 3 2 3 ∴ BD =EF× BD, 16 4 ∴BD=4EF. (23)解: (Ⅰ)设点 P、Q 的极坐标分别为(ρ 0,θ )、(ρ ,θ ),则 1 1 ρ = ρ 0= ·4(cos θ +sin θ )=2(cos θ +sin θ ), 2 2 点 Q 轨迹 C2 的极坐标方程为 ρ =2(cos θ +sin θ ), 2 两边同乘以 ρ ,得 ρ =2(ρ cos θ +ρ sin θ ), C2 的直角坐标方程为 x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2. (Ⅱ)将 l 的代入曲线 C2 的直角坐标方程,得 2 2 2 (tcos φ +1) +(tsin φ -1) =2,即 t +2(cos φ -sin φ )t=0, 分 t1=0,t2=sin φ -cos φ , 由直线 l 与曲线 C2 有且只有一个公共点,得 sin φ -cos φ =0, ? 因为 0≤φ <?,所以 φ = . 4 (24)解: ?2-3x,x<0, ? (Ⅰ)f (x)=|x|+2|x-1|=?2-x, 0≤x≤1, ? ?3x-2,x>1. 2 当 x<0 时,由 2-3x≤4,得- ≤x<0; 3 当 0≤x≤1 时,1≤2-x≤2; 当 x>1 时,由 3x-2≤4,得 1<x≤2. 2 综上,不等式 f (x)≤4 的解集为[- ,2]. 3 2 a - 3 x ,x<0, ? ? (Ⅱ)f (x)=|x|+2|x-a|=?2a-x,0≤x≤a, ?3x-2a,x>a. ? 可见,f (x)在(-∞,a]单调递减,在(a,+∞)单调递增. 当 x=a 时,f (x)取最小值 a. 所以,a 取值范围为[4,+∞).

?10 分

?3 分 ?5 分 ?7

?10 分

?2 分

?5 分 ?7 分

?10 分

9


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