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8-3 第3课时 空间点、线、面间位置关系


高考调研 · 新课标高考总复习

第八章 · 第3课时

课 前 自 助 餐 授 人 以 渔

第3课时

空间点、线、面间位置关系

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2011· 考纲下载
1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解作为推理依据的公理 和定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命

题.

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请注意!
平面的基本性质是立体几何的基础,而两条异面直线所成的角和距离是

高考热点,在新课标高考卷中频频出现.

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课前自助餐
课本导读
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1.平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线就在此平面 内.

? ?

公理2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有一条通过该点 的公共直线.

? ? ?

2.用集合语言描述点、线、面间的关系 (1)点与平面的位置关系: 点A在平面α 内记作A∈α ,点A不在平面α 内记作A?α .

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? ? ? ?

(2)点与线的位置关系: 点A在直线l上记作A∈l,点A不在直线l上,记作A?l. (3)线面的位置关系:直线l在平面α内记作l?α,直线l不在平面α内记作l?α. (4)平面α与平面β相交于直线a,记作α∩β=a.

?
? ?

(5)直线l与平面α相交于点A,记作l∩α=A.
(6)直线a与直线b相交于点A,记作a∩b=A. 3.直线与直线的位置关系

?

(1)位置关系的分类

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(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′所成的锐角或 直角叫做异面直线 a,b 所成的角(或夹角). π ②范围:(0, ]. 2

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教材回归
1.下面三条直线一定共面的是( A.a、b、c两两平行 C.a∥b,c与a、b均相交 答案 C ) ) B.a、b、c两两相交 D.a、b、c两两垂直

2.已知m、n为异面直线,m?平面α ,n?平面β ,α ∩β =l,则l( A.与m、n都相交

B.与m、n至少一条相交
C.与m、n都不相交 D.至多与m、n中的一条相交

答案

B

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? ? ? ? ? ? ?

解析

若l与m、n都不相交,则l∥m,l∥n,

∴m∥n与已知矛盾,故C、D不正确.

A中与m、n都相交,也不一定,如l∥m,n与l相交于一点.
3.给出下列四个命题,其中正确命题的个数是( ①如果线段AB在平面α 内,那么直线AB在平面α 内; ②两个不同的平面相交于不在同一直线上的三个点A、B、C; ③若三条直线a,b,c互相平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直 线共面; )

? ? ? ?

④若三条直线两两相交,则这三条直线共面. A.1 C.3 答案 D.4 B
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B.2

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?
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解析

①③正确.

4.(2010·江西卷) 如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:

?
? ?

①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;
②过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直; ③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;

?
?

④过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行.
其中真命题是( )

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? ? ? ?

A.②③④ C.①②④ 答案 解析 C

B.①③④ D.①②③

将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1 旋转任意非零的角度,所得的平

面与直线AB,B1C1都相交,故③错误,排除ABD,选C.

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5.(09· 上海)如图,若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,则异面
直线BD1与AD所成角的正切值是______.

答案

5

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授人以渔
题型一
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

平面的性质

例1

下列命题:

①空间不同三点确定一个平面; ②有三个公共点的两个平面必重合; ③空间两两相交的三条直线确定一个平面; ④三角形是平面图形; ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形; ⑥垂直于同一直线的两直线平行; ⑦一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交; ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形. 其中正确的命题是________.
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?

【解析】

由公理3知,不共线的三点才能确定一个平面,所以知命题①

错,②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时),② 错.③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点, 则这三线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面.⑤中 平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形,而四边形有可能是空间四 边形,如图(1)所示.

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?

在正方体ABCD—A′B′C′D′中,直线BB′⊥AB,BB′⊥CB,但AB与CB不平 行,∴⑥错.AB∥CD,BB′∩AB=B,但BB′与CD不相交,∴⑦错.如图(2) 所示,AB=CD,BC=AD,四边形ABCD不是平行四边形,故⑧也错.

?

【答案】



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探究1

对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结

合图形,理解其本质,准确把握其内涵,特别是定理、公理中的限制条件, 如公理3中“不共线的三点”,“不共线”是很重要的条件.另外,对于 平面几何中的一些正确命题,包括一些定理推论,在空间几何中应当重新 认定,有些命题因为空间中位置关系的变化,可能变为错误命题,学习中

要养成分类讨论的习惯,再就是结合较熟悉的立体几何图形或现实生活中
的实物进行辨析,也可利用手中的笔、书本等进行演示,验证.

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思考题1
点.问:

如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1、B1C1的中

? ?

(1)AM和CN是否是异面直线?说明理由. (2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.

?

【思路点拨】

(1)易证MN∥AC,所以AM与CN不是异面直线.(2)由图易判 课

断D1B和CC1是异面直线,证明时常用反证法.

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? ? ? ?

【解】

(1)不是异面直线.理由:连结MN、A1C1、AC.

∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点,∴MN∥A1C1. 又∵A1A綊C1C, ∴A1ACC1为平行四边形.

?
? ?

∴A1C1∥AC,得到MN∥AC,
∴A、M、N、C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线. (2)是异面直线.理由:

?
? ?

∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,
∴B、C、C1、D1不共面. 假设D1B与CC1不是异面直线,

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?
? ?

则存在平面α ,使D1B?平面α ,CC1?平面α ,
∴D1、B、C、C1∈α , ∴与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾.

?

∴假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.

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? ?

题型二 例2

共面问题

下列各图是正方体和正四面体, P 、 Q 、 R 、 S 分别是所在棱的中点,这 )

四个点不共面的图形是(

【答案】

D
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【解析】

①在A中易证PS∥QR,

∴P、Q、R、S四点共面 ②在C中易证PQ∥SR, ∴P、Q、R、S四点共面 ③在D中,∵QR?平面ABC,

PS∩面ABC =P且P?QR,
∴直线PS与QR为异面直线 ∴P、Q、R、S四点不共面

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? ?

④在B中P、Q、R、S四点共面,证明如下: 取BC中点N,可证PS、NR交于直线B1C1上一点,∴P、N、R、S四点共面, 设为α

? ?

可证PS∥QN,∴P、Q、N、S四点共面,设为β ∵α 、β 都经过P、N、S三点,∴α 与β 重合,∴P、Q、R、S四点共面.

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?

探究2

(1)公理3及其推论是立体几何最基本、最重要的定理,它的主要作用

是确定平面.
? ? ?

(2)本题给出了判断四点是否共面的基本方法. ①判断四点连结是否有平行直线或相交直线; ②由部分元素确定平面,然后证明这些平面重合.

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思考题 2

(08· 四川,文)如图,平面 ABEF⊥平面

ABCD, 四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形, ∠BAD 1 1 =∠FAB=90° ,BC 綊 AD,BE 綊 FA,G、H 分别为 2 2 FA、FD 的中点.

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(Ⅰ)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (Ⅱ)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? 【解析】 (Ⅰ)由题设知,FG=GA,FH=HD,

1 所以 GH 綊 AD. 2 1 又 BC 綊 AD,故 GH 綊 BC. 2 所以四边形 BCHG 是平行四边形. (Ⅱ)C、D、F、E 四点共面.理由如下:
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1 由BE綊 AF, G是FA的中点知,BE綊GF,所以EF∥BG. 2 由(Ⅰ)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC、FH共面,又点 D在直线FH上,所以C、D、F、E四点共面.

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题型三 例3

共点、共线问题

如图所示,空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满

足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于H, 连结EH. (1)求AH∶HD; (2)求证:EH、FG、BD三线共点. 【分析】 证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题,其基本理论

是把直线看作两平面的交线,点看作是两平面的公共点,由公理3得证.

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【解析】 ∴EF∥AC.

(1)解

AE CF ∵ = =2, EB FB

∴EF∥面ACD.而EF?平面EFGH, 且面EFGH∩面ACD=GH, ∴EF∥GH.而EF∥AC, ∴AC∥GH. AH CG ∴ = =3,即AH∶HD=3∶1. HD GD

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(2)证明

EF 1 GH 1 ∵EF∥GH,且 = , = , AC 3 AC 4

∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形. 令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH?平面ABD, P∈FG,FG?平面BCD,面ABD∩面BCD=BD, ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.

探究3

所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点.

(1)证明三线共点的依据是公理3. (2)证明三线共点的思路是:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过

该点,把问题化归到证明点在直线上的问题.实际上,点共线、线共点的问
题都可以化归为点在直线上的问题来处理.

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思考题3

如图所示,已知空间四边形ABCD中,E、H分

别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD上的点,且 CF CG 2 = = , CB CD 3 (1)求证:三条直线EF,GH,AC交于一点. AE CF AH CG (2)若在本题中, = =2, = =3,其他条件不 EB FB HD GD 变.求证:EH、FG、BD三线共点.

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【解】

(1)∵E,H分别是AB,AD的中点,∴由中位 1 BD. 2

线定理可知,EH 綊

CF CG 2 又∵ = = , CB CD 3 2 ∴在△CBD中,FG∥BD,且FG= BD. 3 ∴由公理4知,EH∥FG,且EH<FG. ∴四边形EFGH是梯形,EH、FG为上、下两底. ∴两腰EF、GH所在直线必相交于一点P. ∵P∈直线EF,EF?平面ABC, ∴P∈平面ABC.同理可得P∈平面ADC,

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∴P在平面ABC和平面ADC的交线上. 又∵面ABC∩面ADC=AC,∴P∈直线AC. 故EF、GH、AC三直线交于一点. AE CF (2)因为 = =2,所以EF∥AC. EB FB AH CG 又 = =3,∴HG∥AC, HD GD ∴EF∥HG,且EF>HG.

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? ? ? ? ?

所以四边形EFGH为梯形. 设EH与FG交于点P, 则P∈平面ABD,P∈平面BCD, 所以P在两平面的交线BD上, 所以EH、FG、BD三线共点.

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题型四 例4

异面直线所成的角

(2010·全国卷Ⅰ,文)直三棱柱ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB= )

AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于(
? ? ?

A.30° C.60° 【解析】 D.90°

B.45°

延长CA至点M,使AM=CA,则A1M∥C1A,∠MA1B或其补角为异面直

线BA1 与AC1 所成的角,连接BM,易知△BMA1 为等边三角形,因此,异面直线 BA1与AC1所成的角为60°,选C.
?

【答案】

C

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探究4 高考中对异面直线所成角的考查,一般出现在综合题的某一步,其 步骤为: ①平移:选择适当的点,线段的中点或端点,平移异面直线中的一条或两条 成为相交直线. ②证明:证明所作的角是异面直线所成的角. ③寻找:在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,并解之. ④取舍:因为异面直线所成角θ 的取值范围是0°<θ ≤90°,所以所作的 角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角.

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思考题4

在空间四边形ABCD中,AB=CD且其所成的角是60°,点M,

N分别是BC,AD的中点.求直线AB与MN所成的角的大小.
?

【分析】

本题首先要考虑将题目中的直线AB与CD所成的角是60°

反映在图形上,故要考虑添加辅助线,通常取中点将其中的直线进 行平移,从而得解.

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【解析】

1 1 取BD中点E,连接NE、EM,则EN 綊 AB,EM 綊 CD, 2 2

故△EMN为等腰三角形,由条件∠MEN=60°且∠ENM即为AB与 MN所成的角, ∴△EMN为等边三角形且∠ENM=60°

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本课总结
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1.平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础,必须彻底理解并牢 固掌握.

?

2.要求逐步掌握立体几何中的三种语言:文字语言、符号语言、图形语 言及这三种语言之间的相互转化.

?

3.掌握公理的主要用途,并会应用平面的基本性质,解决点共面、线共 面、点共线、线共点等问题.

?

4.求异面直线所成角的基本法则是:“作平行线,构成三角形”,作平 行线的目的是为了将异面直线所成的角转化为一个平面内的角.构成三 角形的目的是通过三角形求角.

?

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课时作业(37)

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【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:8-3 空间点、线、面间位置关系

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