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江苏省青阳高级中学2013届高三数学综合训练(一)(含答案)

时间:2013-03-20


江苏省青阳高级中学 2013 届高三数学综合训练(一)
一、填空题
2 1.若复数 z ? m ? 5m ? 6 ? ? m ? 3? i 是纯虚数,则实数 m ?

?

?

. .

2. 已知集合 A ? y y ? log 2 (2 ? x ) , B ? x x ? x

? 2 ? 0 ,则 A ? B =
2 2

?

?

?

?

3.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? 2 n ,则 a10 ?

4.为了解一片大约一万株树木的生长情况,随机 测量了其中 100 株树木的底部周长(单位:㎝) 0.0 . 根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图, 4 那么在这片树木中,底部周长小于 110 ㎝的株 0.0 树大约是 . 2 5.若符号[x]表示不大于实数 x 的最大整数,例[-1,2]=-3, O 0.0 2 [7]=7,[x -1]=3,则 x 的取值范围是 . 1 6.设 m ? {2,5,8,9}, n ? {1,3,4,7},方程

. 频率/组距

80 90 100 110 120 130 周长(㎝)

x

2

m

y ?

2

n

? 1表示焦点在 x
个. Read x If x ? 0 Then

轴上的 椭圆,则满足以上条件的椭圆共有

7. 设函数 f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0. ? ? ? ? ) ,若 f ( x) ? f ' ( x) 是 奇函数,则 ? ? .

y ?1? x
Else

8. 已知向量 a, b 满足 | a |? 1, | b |? 2, | a | ? | b |? 2 则 等于 | a |? | b | = . 9.右边是根据所输入的 x 值计算 y 值的一个算法程序, 若 x 依次 取数列 ? 小值为 10.在周长为 16 的 ?PMN 中, MN ? 6 ,则 PM ? PN 的取值范围 是 .
2

y ?1? x
End If Print y (第 9 题)

? n ? ? 1? (n ? N? ) 中的前 200 项,则所得 y 值中的最 ?100 ?

???? ???? ?

x2 y 2 11.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 恰好是双曲线 2 ? 2 ? 1 的右焦点,且两条曲线 a b
交点的连线过点 F ,则该双曲线的离心率为 . 在圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1上, PQ 则
2 2

? x ?1≤ 0 ? 12. 已知点 P( x, y) 满足 ? 2 x ? 3 y - 5 ≤ 0 , Qxy) 点 (, ?4 x ? 3 y ? 1≥ 0 ?
的最大值与最小值为 .

13.若函数式 f ( n) 表示 n2 ? 1(n ? N * ) 的各位上的数字之和,如

142 ? 1 ? 197,1 ? 9 ? 7 ? 17 ,所以 f (14) ? 17 ,记 f1 (n) ? f (n), f2 (n) ? f [ f1 (n)],?, f k ?1(n) ? f [ f k (n)], k ? N * ,则 f 2009 (17) ?
14. .某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下: 第 k 棵树种植在点 P ( xk,yk ) 处,其中 x1 ? 1 , y1 ? 1 ,当 k ≥ 2 时, k

? ? ? k ?1 ? ? k ? 2 ?? ? xk ? xk ?1 ? 1 ? 5 ?T ? ? ?T ? ??, ? ? 5 ?? ? ? 5 ? ? ? y ? y ? T ? k ? 1 ? ? T ? k ? 2 ?. k ?1 ? ? ? ? ? k ? 5 ? ? 5 ? ?
T (a) 表示非负实数 a 的整数部分,例如 T (2.6) ? 2 , T (0.2) ? 0 .按此方案,第 6 棵树种
植点的坐标应为 二.解答题 ;第 2008 棵树种植点的坐标应为 .

15. 已知向量 a ? (sin? , cos? ),b ? (6 sin ? ? cos? ,7 sin ? ? 2 cos? ) ,设函数

?

?

? ? f (? ) ? a ? b .

(Ⅰ)求函数 f (? ) 的最大值;

C b (Ⅱ)在锐角三角形 ABC 中, A 、B 、 的对边分别为 a 、 、c , f ( A) ? 6 , 且 ?ABC 角
的面积为 3 , b ? c ? 2 ? 3 2 ,求 a 的值.

16. 如图, 长方体 ABCD ? A B1C1D1 中,AA ? 2, AB 1 1

? 1 ,A D? 2 ,E BC 的中点 为 (1)求点 A 到面 A DE 的距离; 1

(2)设 ?A1 DE 的重心为 G ,问是否存在实数 ? , 使 得 AM ? ? AD, 且 MG ? 平面A ED 同 时 成 1 立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由。

???? ?

??? ?

17. 在一次考试中共有8道选择题,每道选择题都有4个选项,其中有且只有一个选项是正 确的.评分标准规定: “每题只选一个选项,选对得5分,不选或选错得0分” .某考生已确 定有 4 道题答案是正确的,其余题中:有两道只能分别判断2个选项是错误的,有一道仅能 判断1个选项是错误的,还有一道因不理解题意只好乱猜,求: (1)该考生得 40 分的概率; (2)该考生得多少分的可能性最大?

18. 已知 A、B 两点在抛物线 C : x ? 4 y 上,点 M (0, 4) 满足 MA ? ? BM
2

????

???? ?

(I)求证: OA ? OB ; (Ⅱ)设抛物线 C 过 A、B 两点的切线交于点 N (1)求证:点 N 在一定直线上; (2)设 4 ? ? ? 9 ,求直线 MN 在 x 轴上截距的取值范围。

??? ?

??? ?

19. 数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ?1 ?

an ? 2 an ? 1

(I)求证: 1 ? an ? 2(n ? N ? , n ? 2); (Ⅱ)令 bn ?| an ? 2 | (1)求证: {bn } 是递减数列; (2)设 {bn } 的前 n 项和为 S n , 求证: Sn ?

2(2 2 ? 1) 7

20.已知圆 O 的方程为 x ? y ? 1, 直线l1过点A(3, 且与圆 O 相切。 0),
2 2

(1)求直线 l1 的方程; (2)设圆 O 与 x 轴交与 P,Q 两点,M 是圆 O 上异于 P,Q 的任意一点,过点 A 且与 x 轴垂直 的直线为 l 2 ,直线 PM 交直线 l 2 于点 P ,直线 QM 交直线 l 2 于点 Q 。求证:以 P Q 为直径 的圆 C 总过定点,并求出定点坐标。
'

'

'

'

参考答案
一.填空题 1. 2 8. 2.

??1,1?
9. 1

3. 1023 10 . [7,16)

4. 7000 5. (? 5,?2] ? [2, 5) 11. 1 ? 2 12. 6, 2

6. 12 13 .

7. 5

? 6

6

14. (1,2)(3,402) , 二.解答题

15. 解:(Ⅰ) f (? ) ? a ? b ? sin ? (6 sin ? ? cos? ) ? cos? (7 sin ? ? 2 cos? )

? ?

? 6sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 8sin ? cos ? ? 4(1 ? cos 2? ) ? 4sin 2? ? 2 ? ? 4 2 sin(2? ? ) ? 2 4 ? f (? ) max ? 4 2 ? 2

? 2 ) ? 2 ? 6 , sin(2 A ? ) ? 4 4 2 ? ? ? 3? ? ? ? 因为 0 ? A ? ,所以 ? ? 2 A ? ? , 2A ? ? , A ? 2 4 4 4 4 4 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f ( A) ? 4 2 sin(2 A ?

?

1 2 ? S?ABC ? bc sin A ? bc ? 3 ?bc ? 6 2 ,又 b ? c ? 2 ? 3 2 2 4
? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc ? ? (2 ? 3 2)2 ? 12 2 ? 2 ? 6 2 ?
16. 解:(1) ? AE ? 2

2 2

2 ? 10 ? a ? 10 2

DE ? 2

AD ? 2 AE 2 ? ED2 ? AD2

? AE ? DE

D E? A1A

A? 1A

AE ?

A

1

面 ? AA1 AE AE ? 面 A1 AE A

? DE ? 面 A1 AE
取 A E 的中点 H 1

A1 A? A E 2 ?
AH ? A1E
A H ? D E A1 E? E D ?

E A1E ? 面

A1DE

ED ? 面 A1DE ? AH ? 面 A1DE
AH 为点 A 到面 A DE 的距离 1

? AH=1

? 点 A 到面 A1DE 的距离为 1

(2) ? AH ? 面A ED ,过点 G 作 GM // AH交AD于M , 1

则MG ? A1ED ,且 AM ?
故存在实数 ? ?

1 AD 3

1 ,使得 AM ? ? AD ,且 MG ? 平面A1 ED 同时成立. 3

17. 解: (1)设选对一道“可判断2个选项是错误的”题目为事件 A, “可判断1个选项是 错误的”该题选对为事件 B, “不能理解题意的”该题选对为事件 C.则

P ( A) ?

1 1 1 , P ( B ) ? , P (C ) ? --2 3 4

2 所以得40分的概率 P ? [ P( A)] ? P( B) ? P(C ) ?

1 1 1 1 ? ? ? 4 3 4 48 1 2 3 6 (2) 该考生得 20 分的概率 P ? [ P( A)]2 P( B) P(C) = ? ? ? 4 3 4 48

该考生得 25 分的概率:
1 P ? C2 P( A)P( A)P(B)P(C) ? [P( A)]2 P(B)P(C) ?[P( A)]2 P(B)P(C)
2 = 2?( ) ?

1 2

2 3 1 1 3 1 2 1 17 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 4 4 3 4 4 3 4 48

该考生得 30 分的概率:
1 1 P ? [P( A)]2 P(B)P(C) ? C2 P( A)P( A)P(B)P(C) ? C2 P( A)P( A)P(B)P(C) ? [P( A)]2 P(B)P(C)
2 =( ) ?

1 2

2 3 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 17 ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ( )2 ? ? = 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 2 3 4 48

该考生得 35 分的概率:
1 P ? C2 P( A)P( A)P(B)P(C) ? [P( A)]2 P(B)P(C) ?[P( A)]2 P(B)P(C)

1 1 1 1 1 2 1 3 1 2 2 1 7 ? ? ? ?( ) ? ? ?( ) ? ? ? 2 2 3 4 2 3 4 2 3 4 48 17 7 6 1 ? ? ? ∵ ∴该考生得 25 分或 30 分的可能性最大. 48 48 48 48
= 2? 18. 解:设 A ( x1 , y1 )

B( x2 , y2 )

lAB : y ? kx ? 4 ,与 x2 ? 4 y 联立得 x2 ? 4kx ? 16 ? 0

? ? (?4k )2 ? 4(?16) ? 16k 2 ? 64 ? 0 x1 ? x2 ?4 k
? ?

x x? ? 6 1 1 2
2

(Ⅰ) OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 4)(kx2 ? 4) ? (1 ? k ) x1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 16 = (1 ? k )(?16) ? 4k (4k ) ? 16 ? 0
2

? O A? O B

?

?

(Ⅱ) (1)过点 A 的切线: y ?

1 1 1 x1 ( x ? x1 ) ? y1 ? x1 x ? x12 2 2 4 1 1 2 过点 B 的切线: y ? x2 x ? x2 ② 2 4 x ? x2 , ?4) 联立①②得点 N( 1 2



所以点 N 在定直线 y ? ?4 上 (2)?MA ? ? BM
? ?

? ( x1 , y1 ? 4) ? ? (? x2 , 4 ? y2 )

? x1 ? ?? x2 ? 联立 ? x1 ? x2 ? 4k ? x x ? ?16 ? 1 2
可得 k ?
2

(1 ? ? )2

?

?

? 2 ? 2? ? 1 1 ?? ? ?2 ? ?

4?? ?9

9 64 ? ? k2 ? 4 9 ?8 x ? 4 在 x 轴的截距为 k 直线 MN: y ? 2k

? 8 3? ?3 8? ? 直线 MN 在 x 轴上截距的取值范围是 ? ? , ? ? ? ? , ? ? 3 2 ? ? 2 3?
19. 解: (Ⅰ) a1 ? 1 a2 ? (1) n ? 2 时

1? 2 3 ? 1?1 2 3 1 ? a2 ? ? 2 ? n ? 2 时不等式成立 2

(2)假设 n ? k 时不等式成立,即 1 ? ak ? 2

ak ?1 ? 1 ?

1 ak ? 1

4 3 ? ? ak ?1 ? 3 2 ? n ? k ? 1 时不等式成立
由(1) (2)可知对 n ? N , n ? 2 都有 1 ? an ? 2
?

(Ⅱ) (1)

bn ?1 an ?1 ? 2 ? ? bn an ? 2 ?

an ? 2 ? 2 an ? 1 an ? 2

?

1 an ? 2 ? 2 a n ? 2 an ? 1 an ? 2

2 ?1 1 an (1 ? 2) ? 2( 2 ? 1) ? an ? 1 an ? 1 an ? 2

2 ?1 an ? 1

?

2 ?1 ?1 2

? ?bn ? 是递减数列
(2)?

bn?1 2 ?1 2 ?1 ? ?bn?1 ? bn bn 2 2
2 ?1 2 ?1 2 2 ? 1 n?1 2 ? 1 n?1 bn?1 ? ( ) bn?2 ? ? ? ( ) b1 ? ( 2 ? 1)( ) 2 2 2 2

bn ?

S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn ? 2 ?1 2 ?1 2 2 ? 1 n ?1 ? ? ( 2 ? 1) ?1 ? ?( ) ?? ? ( ) ? 2 2 2 ? ? 2 ?1 n ) 2( 2 ? 1)(3 ? 2) ? 2 ?1 n ? 2 ? ( 2 ? 1) ? ) ? ?1 ? ( 7 2 2 ?1 ? ? 1? 2 1? (

?

2(2 2 ? 1) 7

20.解: (1)∵直线 l1 过点 A(3,0) ,且与圆 C : x 2 ? y 2 ? 1相切, 设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 3k ? 0 , 则圆心 O (0, 0) 到直线 l1 的距离为 d ? ∴直线 l1 的方程为 y ? ?

| 3k | k ?1
2

? 1 ,解得 k ? ?

2 , 4

2 2 ( x ? 3) ,即 y ? ? ( x ? 3) . 4 4

(2)对于圆方程 x 2 ? y 2 ? 1 ,令 y ? 0 ,得 x ? ?1 ,即 P(?1,0), Q(1,0) .又直线 l2 过点 A 且与

x 轴垂直,∴直线 l2 方程为 x ? 3 ,设 M ( s, t ) ,则直线 PM 方程为 y ?

t ( x ? 1). s ?1

? x ? 3, 4t 2t ? 解方程组 ? ,得 P' (3, ). 同理可得, Q' (3, ). t s ?1 s ?1 ? y ? s ? 1 ( x ? 1) ?
∴以 P?Q? 为直径的圆 C ? 的方程为 ( x ? 3)( x ? 3) ? ( y ? 又 s 2 ? t 2 ? 1 ,∴整理得 ( x2 + y 2 - 6 x + 1) +

4t 2t )( y ? ) ? 0, s ?1 s ?1

6s - 2 y= 0, t

若圆 C ? 经过定点,只需令 y = 0 ,从而有 x 2 - 6 x + 1 = 0 ,解得 x ? 3 ? 2 2 , ∴圆 C ? 总经过定点坐标为 (3 ? 2 2,0) .


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