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2012年12月东城区普通校联考高三数学试卷和答题纸(理科12月)


东城区普通校 2012-2013 学年第一学期联考试卷
高三 数学(理科) 命题校:125 中 2012 年 12 月

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用 时 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小

题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的.选出符合题目要求的一项填在机 读卡上.
1. 若集合 A ? x x ? 0 ,且 A ? B ? B ,则集合 B 可能是( A. ?1 , 2? B. x x ? 1

?

?

) D. R

?

?

C. ??1, 0,1? )

2. 复数 1 ? 在复平面上对应的点的坐标是(

1 i

(, ) A. 1 1

( 1) B. ? 1,

( ) C. ? 1,?1

( ) D. 1,?1


3. 已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? C. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n B. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n D. 若m‖? , m ? , 则?‖ ? ‖

4. 一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m ), 则该棱锥的体积是( A. )

4 3

B. 8 D.

C. 4

8 3

正视图

侧视图

俯视图 第 1 页 共 10 页

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 5. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 , 则目标函数 z ? 2 y ? 3x 的最大值为 ( ?x ?1 ? 0 ?
A. ? 3 B. 2 C. 4 D. 5



6.已知数列 {an } 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5 ? a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 的值为(
A. 7 B. ? 5 C. 5 D. ? 7



7. 已知函数 f (x) 在 [0,??) 上是增函数, g ( x) ? ? f ( x ) ,若 g (lg x) ? g (1) ,则 x 的 取值范围是( A. (10,??) C. (0,10) )

1 ,10) 10 1 D. (0, ) ? (10,?? ) 10
B. (

8.设 F 、 F2 分别为双曲线 1

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存 a 2 b2

在点 P ,满足 PF2 ? F F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双 1 曲线的渐近线方程为( A. 3x ? 4 y ? 0 ) C. 5x ? 4 y ? 0 D. 4 x ? 3 y ? 0

B. 3x ? 5 y ? 0

第Ⅱ卷(非选择题,共

110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.已知 sin ? ?

3 ,且 ? 为第二象限角,则 tan ? 的值为 5

.

10.已知向量 a ? (1, 2), b ? (1,0), c ? (3, 4) .若 ? 为实数, (a ? ? b) ∥ c ,则

? 的值为

.

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 , ?F1PF2 11.椭圆 9 2
的小大为 .
第 2 页 共 10 页

12.若曲线 y ? 为

3 2 1 x ? x ? 的某一切线与直线 y ? 4 x ? 3 平行,则切点坐标 2 2
,切线方程为 .

13. 若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的 是 ① ab ? 1 ; ④ a ? b ? 3;
3 3

. (写出所有正确命题的编号). ② a? b? ⑤

2;

③ a ?b ? 2 ;
2 2

1 1 ? ?2 a b

14. 已知函数 f ( x) ? a ln(x ? 1) ? x 2 在区间 (0,1) 内任取两个实数 p, q ,且 p ? q , 不等式

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为 p?q

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分) 已知:在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 所对的边,且角 C 为锐角,

cos 2C ? ?

1 4

(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)当 a ? 2 , 2 sin A ? sin C 时,求 b 及 c 的长.

16. (本小题满分 13 分) 已知:函数 f ( x) ? M sin(? x ? ? )( M ? 0,| ? | ? (Ⅰ)求 函 数 f ( x ) 的 解 析 式; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A、B、C 的 对 边 分 别 是 a、b、c ,若 (2a ? c) cos B ? b cos C , 求f ( ) 的 取 值 范 围.

?
2

) 的部分图象如图所示.

A 2

第 3 页 共 10 页

17. (本小题满分 13 分) 已知:如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 为正方形, PA ? 面ABCD ,
P

且 PA ? AB ? 2 , E 为 PD 中点. (Ⅰ)证明: PB //平面 AEC ; (Ⅱ)证明:平面 PCD ? 平面 PAD ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? D 的正弦值. 18. (本小题满分 13 分)
B C
*

E

A

D

已知:数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? 2an ? n , (n ? N ) . (Ⅰ)求: a1 , a2 的值; (Ⅱ)求:数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)若数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且满足 bn ? nan (n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的 前 n 项和 Tn . 19. (本小题满分 14 分) 已知:函数 f ( x) ? x ?

1 2 ax ? ln(1 ? x) ,其中 a ? R . 2

(Ⅰ)若 x ? 2 是 f (x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅲ)若 f (x) 在 [0, ? ? ) 上的最大值是 0 ,求 a 的取值范围. 20. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 椭圆短轴的一个端点与两个焦 2 a b 3 5 2 点构成的三角形的面积为 . 3 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点. ①若线段 AB 中点的 ???? ???? 1 7 横坐标为 ? ,求斜率 k 的值;②若点 M ( ? , 0) ,求证: MA ? MB 为定值. 2 3
已知椭圆 C :
第 4 页 共 10 页

东城区普通校 2012-2013 学年第一学期联考试卷答题纸
高三 数学(理科) 命题校:125 中 第Ⅰ卷 请将 1 至 8 题的答案填涂在答题卡(即机读卡)相应的位置上. 2012 年 12 月

第Ⅱ卷
9. 11. 13. 15.解: 10. 12. 14.

班级

姓名

学号

第 5 页 共 10 页

16.解:

第 6 页 共 10 页

17.解:
P

E

A

D

B

C

班级

姓名

学号

第 7 页 共 10 页

18.解:

第 8 页 共 10 页

19.解:

班级

姓名

学号

第 9 页 共 10 页

20.解:

第 10 页 共 10 页


2012年12月东城区普通校联考高三数学试卷和答题纸(理科12月)

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