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高考数学二轮专题复习——含参数不等式及恒成立问题(无答案)


高考数学二轮专题复习——含参数不等式及恒成立问题
一、知识框架及主要方法 1 分离参数法 例 1: 已知定义在 R 上函数 f(x)为奇函数,且在 ?0,??? 上是增函数,对于任意 x ? R 求实数 m 范围, 使 f ?cos2? ? 3? ? f ?4m ? 2m cos? ? ? 0 恒成立。 答案: (4- 2 2 ,+∞) 例 2: 设 0<a ?

取值范围。 答案: ? 0,

5 1 2 ,若满足不等式 x ? a ? b 的 一切实数 x,亦满足不等式 x ? a ? 求正实数 b 的 2 4

? 3? ? ? 16 ?

2 主参换位法

例 3: 若对于任意 a ? ?? 1,1? , 函数

f ? x ? ? x 2 ?a ? 4 ?x ? 4 ? 2a 的值恒大于 0,求 x 的取值范围。

答案: x ? 1 或 x ? 2 或 x ? 3 例 4:对于(0,3)上的一切实数 x,不等式 ?x ? 2?m ? 2 x ? 1 恒成立,求实数 m 的取值范围。 答案:

1 ?m?5 2
2

3 构建函数法 (1) 构造一次函数

例 5: 若对一切 p ? 2 , 不等式 ?log2 x? ? p log2 x ? 1 ? 2 log2 x ? p 恒成立, 求实数 x 的取值范围。 答案:x 取 ? 0, ? ? ?8,???

? ?

1? 2?

(2) 造二次函数 例 6: 对于 ? ? ?0, ? , cos ? ? 2m sin ? ? 2m ? 2 ? 0 恒成立,求实数 m 的范围。 ? 2?
2

? ??

答案:m 取 ? ? 4 数形结合法

? 1 ? ,?? ? ? 2 ?
2

例 7、 对于一切 x, y∈R, 不等式 x ? 答案: (??,6]

81 18 ? 2 xy ? 2 ? y 2 ? a ? 0 恒成立, 求实数 a 的取值范围。 2 x x

例 8:若不等式 3x 2 ? loga x ? 0 在 x ? ? 0, ? 内恒成立,求实数 a 的取值范围。 答案:a 取 ? ,1? ? 27 ? 二、方法分析 确定恒成立不等式中参数的取值范围需灵活应用函数与不等式的基础知识,并时常要在两者间进行 合理的交汇,因此此类问题属学习的重点;然而,怎样确定其取值范围呢?课本中却从未论及,但它已 成为近年来命题测试中的常见题型,因此此类问题又属学习的热点;在确定恒成立不等式中参数的取值 范围时,需要在函数思想的指引下,灵活地进行代数变形、综合地运用多科知识,方可取得较好的效益, 因此此类问题的求解当属学习过程中的难点.基于此,下文试对此类问题的求解策略与方法作一提炼总 结。
1

? 1? ? 3?

?1

?

1 分离参数法 例 1: 已知定义在 R 上函数 f(x)为奇函数,且在 ?0,??? 上是增函数,对于任意 x ? R 求实数 m 范围,使

f ?cos2? ? 3? ? f ?4m ? 2m cos? ? ? 0 恒成立。
解: ∵ f(x)在 R 上为奇函数,且在 ?0,??? 上是增函数,

∴ f(x)在 ?? ?,??? 上为增函数 又 ∵

f ?c o 2 s? ? 3? ? f ?4m ? 2m c o ? s?? 0

∴ f ?cos2? ? 3? >- f ?4m ? 2m cos? ? = f ?2m cos? ? 4m? ∴ cos 2? ? 3 ? 2m cos ? ? 4m 即 2m?2 ? cos? ? ? 3 ? cos2? 2- cos ? ? ?1,3? ,∴ 2 m ?



3 ? cos 2? 4 ? 2 cos2 ? ? 2 ? cos? 2 ? cos?



m>

2 ? cos2 ? 2 ? 2 ? cos? ? 2 ? cos? 2 ? cos?
2 ] 2 ? cos ?
m>4- ? t ?

? 4 ? [2 ? cos ? ?

令 2- cos? ? t , t ? ? 1,3? , ∴ 即 4-m< t ?

? ?

2? ? t?

2 在 t ? ?1,3?上恒成立 t 2 即求 g ?t ? ? t ? 在 t ? ?1,3?上的最小值 t 2 2 ∵ g ?t ? ? t ? ≥2 2 等号成立条件 t= ,即 t ? 2 ? ? 1,3? 成立 t t
∴ ∴

g ?t ?m i n? 2 2 ,∴

4-m< 2 2 即 m>4- 2 2

m 的取值范围为(4- 2 2 ,+∞)

例 2: 设 0<a ?

5 ,若满足不等式 x ? a ? b 的 一切实数 x,亦满足不等式 4 1 x ? a 2 ? 求正实数 b 的取值范围。 2
设集合 A= x | x ? a ? b? ? ?a ? b, a ? b? ,

简析略解:此例看不出明显的恒成立问题,我们可以设法转化:

?

2

B= ? x | x ? a 2 ?

? ?

1? ? 2 1 2 1 ? ? ? ?a ? ,a ? ? 2? ? 2 2?
a ? b ? a2 ? 1 2

由题设知 A ? B,则:

于是得不等式组:

1 2 1 b ? ?a 2 ? a ? 2 1 b ? a2 ? a ? 2 a ? b ? a2 ?
2

(0 ? a ?

5 ) 4



? a2 ? a ?

1 3 1? 3 ? ? ? ? a ? ? ? ,最小值为 ; 2 16 2? 4 ?
2

a2 ? a ?

1 ? 1? 1 ? ?a ? ? ? , 2 ? 2? 4
? 3? ? ? 16 ?

最小值为

1 ; 4



b?

3 , 16

即 :b 的取值范围是 ? 0,

2 主参换位法 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但 函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会 取得出奇制胜的效果。 例 3:若对于任意 a ? ?? 1,1? ,函数

f ? x ? ? x 2 ?a ? 4 ?x ? 4 ? 2a 的

值恒大于 0,求 x 的取值范围。 分析:此题若把它看成 x 的二次函数,由于 a, x 都要变,则函数的最小值 很难求出,思路受阻。若视 a 为主元,则给解题带来转机。 解: 设 g ?a ? ? ?x ? 2?a ? x 2 ? 4 x ? 4 ,把它看成关于 a 的直线, 由题意知,直线恒在横轴下方。 所以

g ?? 1? ? 0 g ?1? ? 0

解得:

x ? 1或 x ? 2 或 x ? 3

例 4: 对于(0,3)上的一切实数 x,不等式 ?x ? 2?m ? 2 x ? 1 恒成立,求实数 m 的取值范围。 分析: 一般的思路是求 x 的表达式,利用条件求 m 的取值范围。但求 x 的表达式时,两边必须除以有 关 m 的式子,涉及对 m 讨论,显得麻烦。 解: 若设 f ?x ? ? ?x ? 2?m ? ?2 x ? 1? ? ?m ? 2?x ? ?1 ? 2m?,把它看成是关于 x 的直线,由题意知直 线恒在 x 的轴的下方。所以
3

f ?0? ? 0 f ?3? ? 0 ,
解得:

1 ?m?5 2

3 构建函数法 当参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数时,可以通过构建函数来解决。我们知 道,函数概念是高中数学的一个很重要的概念,其思想和方法已渗透到数学的各个分支。在某些数学问 题中,通过数式类比,构造适当的函数模型,然后利用函数的有关性质结论解题,往往收到意想不到的 效果。这里,我们主要介绍如何通过构造一次函数,二次函数模型,并利用它们的性质来确定参数的取 值范围。 (1) 构造一次函数 例 5: 若对一切 p ? 2 , 不等式 ?log2 x? ? p log2 x ? 1 ? 2 log2 x ? p 恒成立, 求实数 x 的取值范围。
2

解:

原不等式变形为 p?log2 x ? 1? ? ?log2 x? ? 2 log2 x ? 1 ? 0 ,
2

现在考虑 p 的一次函数:

f ? p? ? p?l o g 2 x ? 1? ? ?l o g 2 x? ? 2 l o g 2 x ?1
2



f ? p ? ? 0 在 p ? ?? 2,2?上恒成立

f ?? 2? ? ?2?log2 x ? 1? ? ?log2 x? ? 2 log2 x ? 1 ? 0
2



f ?2? ? 2?log2 x ? 1? ? ?log2 x? ? 2 log2 x ? 1 ? 0
2

解得: x ? 8 或 0 ? x ?

1 ,∴ 2

x 的取值范围为 ? 0, ? ? ?8,???

? ?

1? 2?

注: 本题对于一切 p ? 2 不等式恒成立,因此应视 p 为主元,视 x 为参数,把不等式左边变成关于 p 的一次函数型。

(2) 构造二次函数 例 6: 对于 ? ? ?0, ? , cos ? ? 2m sin ? ? 2m ? 2 ? 0 恒成立,求实数 m 的范围。 ? 2?
2

? ??

解:

原不等式变形为: ? sin ? ? 2m sin ? ? 2m ? 1 ? 0
2



2 sin ? ? 2m s i n ? ? 2m ? 1 ? 0

令 sin ? ? t , t ? ?0,1?

4

∴ t ? 2m t ? 2m ? 1 ? 0
2

令 f ?t ? = t ? 2mt ? 2m ? 1 ,∴ 题意为 f ?t ? >0 在 t ? ?0,1? 上恒成立。
2

?


? 2m ?0 2 ?1

f ?0? ? 2m ? 1 ? 0
? 2m ?1 2 ?1

0??


? = ?? 2m?2 -4×1×( 2m ? 1 )<0

?


? 2m ?1 2 ?1

g ?1? ? 1 ? 2m ? 2m ? 1 >0
1 ? m ? 0或 0 ? m ? 1或 m ? 1 2
,∴

解得 : ?

m??

1 , 2

即 m 的取值范围为: ? ? 4 数形结合法

? 1 ? ,?? ? ? 2 ?

某些含参不等式恒成立问题,既不能分离参数求解,又不能转化为某个变量的一次或二次函数时, 则可采用数形结合法。因为辨正唯物主义认为:万物皆有形。所以从宏观上讲,抽象的数学问题必存在 着形象的直观模型,这是因为数学问题本身就是客观世界事物的抽象。我们在解题时,可以有意识地去 认识,挖掘和创造抽象的直观形象,变抽象为直观,充分运用直感,由数思形,以形辅数。数形结合往 往能迅速而简捷地找到解题途径。对于解含参不等式恒成立问题,我们可以先把不等式(或经过变形后 的不等式)两端的式子分别看成两个函数,且画出两函数的图象,然后通过观察两图象(特别是交点时) 的位置关系,从而列出关于含参数的不等式。 例 7、已知对于一切 x,y∈R,不等式 x ?
2

81 18 ? 2 xy ? 2 ? y 2 ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范 2 x x

围。

81 18 81 18 ? 2 xy ? 2 ? y 2 ? a ? 0 ? a ? x 2 ? 2 ? 2 xy ? 2 ? y 2 要使原不等式恒成立 2 x x x x 81 18 ? a ? {x 2 ? 2 ? 2 xy ? 2 ? y 2 }min ,又 x x
解: x ?
2

9 9 x 2 ? 2 xy ? y 2 ? [( ) 2 ? 2( ) 2 2 ? y 2 ? 2 ? y 2 ] ? 2 x x
= (x ? y ) ? (
2

9 9 ? 2 ? y 2 ) 2 ? 2 ,考虑到点 M(x, ) , x x

2 N (y,- 2 ? y ) 则点 M 在曲线 C1: xy=9 上, 点 N 在曲线 C2: x2+y2=2(y

y

5

O

x

≤0)上。显然|MN|min= 3 2 ? 2 ? 2 2 ,此时 a ? 6 .故满足条件的 a 的取值范围为 (??,6] 评析:对一些不等式两边的式子,函数模型较明显、函数图象较容易作出的,可以考虑作出函数图 象,用函数图像的直观性解决不等式或方程的恒成立的问题,也非常容易得到意想不到的效果。

例 8:若不等式 3x 2 ? loga x ? 0 在 x ? ? 0, ? 内恒成立,求实数 a 的取值范围。

? 1? ? 3?

解:

由题意知 : 3x 2 ? loga x 在 x ? ? 0, ? 内恒成立。 在同一坐标系内分别作出 y ? 3x 2 和

? 1? ? 3?

y ?log a x 的图象
2

因为 x ? ? 0, ? 时, y ? loga x 的图象位于函数 y ? 3x 的图象上方, 当 a> 1 时,显见不成立。 故 0<a<1 ① 由图可知:

? 1? ? 3?

?1 1? y ? loga x 的图象必须过点 ? , ? ?3 3?
或在这个点的上方,则: log a ∴

1 1 ? 3 3

a?

1 27



由 ①,② 知 :

1 ? a ?1 27



a 的取值范围为 ? ,1? 。 ? 27 ?

?1

?

1.(1)若关于 x 的不等式 x ? ax ? a ? 0 的解集为 (??,??) ,求实数 a 的取值范围; (2)若关于 x 的
2

不等式 x ? ax ? a ? ?3 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2

2 3 2 2 三个同学对问题 “关于 x 的不等式 x ? 25 ? x ? 5 x ? ax 在 ?1,12? 上恒成立,求实数 a 的取值范

围”提出各自的解题思路. 甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”. 乙说:“把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值”. 丙说:“把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图像”.
6

参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,求 a 的取值范围.

3. 已知向量 a ? ( x2 , x ? 1), b ? (1 ? x, t ), 若函数 f ?x? ? a ? b 在区间 ? ?1,1? 上是增函数,求 t 的取值范 围.

? ?

4. 已知函数 f ? x ? ? x3 ? 3ax ?1, g ? x ? ? f ? ? x ? ? ax ? 5 ,其中 f ' ? x ? 是 f ? x ? 的导函数. (1)对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 ,求实数 x 的取值范围; (2)设 a ? ?m ,当实数 m 在什么范围内变化时,函数 y ? f ? x ? 的图象
2

与直线 y ? 3 只有一个公共点.

5. 求与抛物线 E : y ? ax 2 相切于坐标原点的最大圆 C 的方程.

6. 设 a ? R ,二次函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 2a. 若 f ( x) ? 0 的解集为 A ,

B ? ?x |1 ? x ? 3?, A B ? ? ,求实数 a 的取值范围.

7. 已知函数 f ?x ? ? ln x , g ? x ? ?

1 2 ax ? bx , a ? 0 . 2

若 b ? 2 ,且 h?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? 存在单调递减区间,求 a 的取值范围;

8. 设 x ? 3 是函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? b)e3? x ( x ? R) 的一个极值点. (Ⅰ)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 f ( x ) 的单调区间;
2 (Ⅱ)设 a ? 0 , g ( x) ? (a ?

25 x )e ,若存在 ?1 , ?2 ?[0, 4] 使得 f (?1 ) ? g (?2 ) ? 1成立,求 a 的取值范 4

围.

7

4x 2 ? 7 9. 已知函数 f ( x) ? , x ? [0,1]. 2? x
(1)求 f ( x) 的单调区间和值域; ( 2 )设 a ? 1 ,函数 g ?x? ? x 3 ? 3a 2 x ? 2a, x ? ?0,1? , 若对于任意 x1 ? ?0,1? , 总存在 x0 ? ?0,1? 使得

g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围.

10. 求 实 数 a 的 取 值 范 围 , 使 得 对 任 意 实 数 x 和 任 意 ? ? ?0, ? , 恒 有 : ? 2?

? ??

1 2 2 ?x ? 3 ? 2 s i ? nc o? s ? ? ?x ? a s i ? n ? a c o? s? ? 。 8

11. 已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx3 ? 3(m ? 1) x2 ? nx ? 1的一个极值点,其中 m, n ? R, m ? 0 。 (I)求 (II)求 f ( x ) 的单调区间; (III)当 x ?? ?1,1? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的 m 与 n 的关系式; 切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围.

12. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,a2=6,a3=11,且 其中 A,B 为常数. (5n ? 8)Sn?1 ? (5n ? 2)Sn ? An ? B, n ? 1, 2,3,…, (Ⅰ)求 A 与 B 的值; (Ⅱ)证明数列{an}为等差数列;

(Ⅲ)证明不等式 5amn ? am an ? 1 对任何正整数 m、n 都成立. 13. 对于满足|a| ? 2 的所有实数 a,求使不等式 x2+ax+1>2a+x 恒成立的 x 的取值范围。

14. 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 ??1,1 ? 上 的 奇 函 数 , 且 f (1) ? 1 , 若 a, b ??? 1,1 ? , a ? b ? 0 ,有

f ( a ) ? f ( b) 2 ? 0, (1)证明 f ( x ) 在 ??1,1? 上的单调性; (2)若 f (x) ? m ? 2am ?1 对所有 a ?? ?1,1? 恒 a?b
成立,求 m 的取值范围。

15. 若函数 y ? mx 2 ? 6mx ? m ? 8 在 R 上恒成立,求 m 的取值范围。
8

16. 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 3 ? a ,⑴在 R 上 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

⑵若 x ?? ?2,2? 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

⑶若 x ?? ?2,2? 时, f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围。

⒘ 若对任意的实数 x , sin x ? 2k cos x ? 2k ? 2 ? 0 恒成立,求 k 的取值范围。
2

分析:这是有关三角函数的二次问题,运用到三角函数的有界性。

⒙已知函数 f ( x) ? lg(a x ? b x ) ,常数 a ? 1 ? b ? 0 ,求(1)函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)当 a、 b 满足什么条件时 f ( x ) 在区间 ?1, ?? ? 上恒取正。

9


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