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2012届高三数学一轮复习第九章立体几何9-4

时间:2011-12-24


第9章 第4节

一、选择题 1.(文)(09·福建)设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条相交直 线,则 α∥β 的一个充分而不必要条件是( A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥β [答案] B [解析] 如图(1),α∩β=l,m∥l,l1∥l,满足 m∥β 且 l1∥α,故排除 A; 如图(2),α∩β=l,m∥n∥l,满足 m∥β,n∥β,故排除 C. )

B.m∥l1 且 n∥l2 D.m∥β 且 n∥l2

在图(2)中,m∥n∥l∥l2 满足 m∥β,n∥l2,故排除 D,故选 B. [点评] ∵l1 与 l2 相交,m∥l1,n∥l2,∴m 与 n 相交,由面面平行的判定定理可知 α∥ β;但当 m、n?α,l1,l2?β,l1 与 l2 相交,α∥β 时,如图(3),得不出 m∥l1 且 n∥l2. (理)设 a,b 是两条直线,α,β 是两个平面,则 a⊥b 的一个充分条件是( A.a⊥α,b∥β,α⊥β C.a?α,b⊥β,α∥β [答案] C [解析] 对于 A,如图正方体 α、β 分别为平面 ABCD 与平面 B.a⊥α,b⊥β,α∥β D.a?α,b∥β,α⊥β )

ADD1A1,a、b 分别为直线 B1B 和 C1C.a 与 b 也可能平行,对于 B,∵ a⊥α,α∥β,∴a⊥β,又 b⊥β, ∴a∥b,对于 D,a 与 b 也可能平行,故选 C. 2.(2010·郑州检测)已知 α,β,γ 是三个不同的平面,命题“α∥β,且 α⊥γ?β⊥γ”是 真命题.如果把 α,β,γ 中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中, 真命题有( A.0 个 C.2 个 [答案] C [解析] 依题意得, 命题“a∥b, a⊥γ?b⊥γ”是真命题(由“若两条平行线中的一条 且 与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”可知);命题“a∥β,且 a⊥c?β⊥c”是假 命题(直线 c 可能位于平面 β 内,此时结论不成立);命题“α∥b,且 α⊥c?b⊥c”是真命题 ) B.1 个 D.3 个

(因为 α∥b,因此在平面 α 内必存在直线 b1∥b;又 α⊥c,因此 c∥b1,c⊥b).综上所述, 其中真命题共有 2 个,选 C. 3.(2010·东北三校模拟)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,P 分别为 A1B1,CD,B1C1 的中点,则下列命题正确的是( A.AM 与 PC 是异面直线 B.AM⊥PC C.AM∥平面 BC1N D.四边形 AMC1N 为正方形 [答案] C 1 [解析] 连接 MP,AC,A1C1,AM,C1N,由题易知 MP∥A1C1∥AC,且 MP= AC, 2 所以 AM 与 PC 是相交直线,假设 AM⊥PC,∵BC⊥平面 ABB1A1,∴BC⊥AM,∴AM⊥平 面 BCC1B1,又 AB⊥平面 BCC1B1 矛盾,∴AM 与 PC 不垂直.因为 AM∥C1N,C1N?平面 BC1N,所以 AM∥平面 BC1N.又易得四边形 AMC1N 为菱形而不是正方形,故选 C. 4.(文)对两条不相交的空间直线 a 与 b,必存在平面 α,使得( A.a?α,b?α C.a⊥α,b⊥α [答案] B [解析] a、b 异面时,A 错,C 错;若 D 正确,则必有 a⊥b,故排除 A、C、D,选 B. (理)设 a、b 为两条直线,α、β 为两个平面.下列四个命题中,正确的命题是( A.若 a、b 与 α 所成的角相等,则 a∥b B.若 a∥α,b∥β,α∥β,则 a∥b C.若 a?α,b?β,a∥b,则 α∥β D.若 a⊥α,b⊥β,α⊥β,则 a⊥b [答案] D [解析] 若直线 a、b 与 α 成等角,则 a、b 平行、相交或异面;对选项 B,如 a∥α,b ∥β,α∥β,则 a、b 平行、相交或异面;对选项 C,若 a?α,b?β,a∥b,则 α、β 平行或 相交;对选项 D,由
? a⊥α? ??a∥β 或 a?β,无论哪种情形,由 b⊥β 都有 b⊥a.,故选 D. ? β⊥α?

)

)

B.a?α,b∥α D.a?α,b⊥α

)

5. 一个正方体纸盒展开后如图, 在原正方体纸盒中有下列结论: ①AB⊥EF②AB 与 CM 成 60°③EF 与 MN 是异面直线④MN∥CD 其中正确的是( )

A.①② C.②③ [答案] D

B.③④ D.①③

[解析] 本题考查学生的空间想象能力,将其还原成正方体如图所示,AB⊥EF,EF 与 MN 是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD.只有①③正确,故选 D.

6.(文)(2010·山东潍坊)已知 m、n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,则 下列命题正确的是( )

A.若 α⊥γ,α⊥β,则 γ∥β B.若 m∥n,m?α,n?β,则 α∥β C.若 m∥n,m∥α,则 n∥α D.若 m∥n,m⊥α,n⊥β,则 α∥β [答案] D [解析] 对于选项 A,两平面 β、γ 同垂直于平面 α,平面 β 与平面 γ 可能平行,也可能 相交;对于选项 B,平面 α、β 可能平行,也可能相交;对于选项 C,直线 n 可能与平面 α 平行,也可能在平面 α 内;对于选项 D,∵m∥n,m⊥α,∴n⊥α,又 n⊥β,∴α∥β,故选 D. (理)(2010·曲师大附中)已知两个不同的平面 α,β 和两条不重合的直线 a,b,则下列四 个命题中为真命题的是( )

A.若 a∥b,b?α,则 a∥α B.若 α⊥β,α∩β=b,a⊥b,则 a⊥β C.若 a?α,b?α,a∥β,b∥β,则 α∥β D.若 α∥β,a?α,a?β,a∥α,则 a∥β [答案] D [解析] 选项 A 中,直线 a 可能在平面 α 内;选项 B 中,直线 a 可能在平面 β 内;选

项 C 中,直线 a,b 为相交直线时命题才成立. 7.(2010·江苏南通)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P、Q 分别是 棱 AA1、CC1 的中点,则过点 B、P、Q 的截面是( A.邻边不等的平行四边形 B.菱形但不是正方形 C.邻边不等的矩形 D.正方形 [答案] B [解析] 设正方体棱长为 1,连结 D1P,D1Q,则易得 PB=PQ=D1P=D1Q= 5 ,取 2 )

D1D 的中点 M,则 D1P 綊 AM 綊 BQ,故截面为四边形 PBQD1,它是一个菱形,又 PQ=AC = 2,∴∠PBQ 不是直角,故选 B. 8.(文)(2010·山东日照、聊城模考)已知直线 l、m,平面 α、β,且 l⊥α,m?β,给出下 列四个命题: ①若 α∥β,则 l⊥m;②若 l⊥m,则 α∥β;③若 α⊥β,则 l∥m;④若 l∥m,则 α⊥β; 其中真命题是( A.①② C.①④ [答案] C [解析] ) B.①③ D.②④

[点评] 如图,α∩β=m,则 l⊥m,故(2)假;在上述图形中,当 α⊥β 时,知③假.

(理)(2010·福建福州市)对于平面 α 和共面的直线 m,n,下列命题是真命题的是( A.若 m,n 与 α 所成的角相等,则 m∥n B.若 m∥α,n∥α,则 m∥n

)

C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m?α,n∥α,则 m∥n [答案] D [解析] 正三棱锥 P-ABC 的侧棱 PA、 与底面成角相等, PA 与 PB 相交应排除 A; PB 但 若 m∥α,n∥α,则 m 与 n 平行、相交或异面,应排除 B;若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n? α,应排除 C. ∵m、n 共面,设经过 m、n 的平面为 β, ∵m?α,∴α∩β=m, ∵n∥α,∴n∥m,故 D 正确. 9.(文)(2010·北京顺义一中月考)已知 l 是直线,α、β 是两个不同平面,下列命题中的 真命题是( )

A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β C.若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β D.若 l∥α,α∥β,则 l∥β [答案] C 取平面 ABD1A1 为 α, 平面 ABCD 为 β, 1C1 B [解析] 如图在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 为 l,则排除 A、B; 又取平面 ADD1A1 为 α,平面 BCC1B1 为 β,B1C1 为 l,排除 D.

(理)(2010·广东罗湖区调研)已知相异直线 a,b 和不重合平面 α,β,则 a∥b 的一个充分 条件是( )

A.a∥α,b∥α B.a∥α,b∥β,α∥β C.a⊥α,b⊥β,α∥β D.α⊥β,a⊥α,b∥β [答案] C [解析] a∥α,b∥α 时,a 与 b 可相交可异面也可平行,故 A 错;a∥α,b∥β,α∥β 时,a 与 b 可异面,故 B 错;由 α⊥β,a⊥α 得,a∥β 或 a?β,又 b∥β,此时 a 与 b 可平 行也可异面,排除 D.

10.(2010·日照实验高中)如图,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2,AB=1,M, N 分别在 AD1,BC 上移动,且始终保持 MN∥平面 DCC1D1,设 BN=x,MN=y,则函数 y =f(x)的图象大致是( )

[答案] C [解析] 过 M 作 ME⊥AD 于 E,连接 EN,则平面 MEN∥平面 DCC1D1,所以 BN=AE =x(0≤x<1),ME=2x,MN2=ME2+EN2, 则 y2=4x2+1, 2-4x2=1(0≤x<1, y y>0), 图象应是焦点在 y 轴上的双曲线的一部分. 故 选 C. 二、填空题 11.(文)如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四 边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足条件________时,有 MN∥平面 B1BDD1. [答案] M∈线段 FH [解析] 因为 HN∥BD,HF∥DD1,所以平面 NHF∥平面 B1BDD1,又平面 NHF∩平面 EFGH=FH.故线段 FH 上任意点 M 与 N 相连,有 MN∥平面 B1BDD1,故填 M∈线段 FH. π (理)(2010·南充市模拟)已知两异面直线 a,b 所成的角为 ,直线 l 分别与 a,b 所成的角 3 都是 θ,则 θ 的取值范围是________. π π [答案] [ , ] 6 2 12.在四面体 ABCD 中,M、N 分别是△ACD、△BCD 的重心,则四面体的四个面中 与 MN 平行的是________. [答案] 面 ABC 和面 ABD [解析] 连结 AM 并延长交 CD 于点 E,

∵M 为△ACD 的重心,∴E 为 CD 的中点, 又 N 为△BCD 的重心,∴B、N、E 三点共线, 由 EM EN 1 = = 得 MN∥AB, MA NB 2

因此 MN∥平面 ABC,MN∥平面 ABD. 13.如图是一正方体的表面展开图,B、N、Q 都是所在棱的中点,则在原正方体中, ①AB 与 CD 相交;②MN∥PQ;③AB∥PE;④MN 与 CD 异面;⑤MN∥平面 PQC. 其中真命题的序号是________.

[答案] ①②④⑤ [解析] 将正方体还原后如图,则 N 与 B 重合,A 与 C 重合,E 与 D 重合,∴①、②、 ④、⑤为真命题.

a 14.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,点 P 是棱 AD 上一点,且 AP= , 3 过 B1,D1,P 的平面交底面 ABCD 于 PQ,Q 在直线 CD 上,则 PQ=________.

[答案]

2 2 a 3

[解析] ∵B1D1∥平面 ABCD,平面 B1D1P∩平面 ABCD=PQ,∴B1D1∥PQ, 又 B1D1∥BD,∴BD∥PQ, 设 PQ∩AB=M,∵AB∥CD,∴△APM∽△DPQ,



PQ PD = =2,即 PQ=2PM, PM AP

PM AP 1 1 又△APM∽△ADP,∴ = = ,∴PM= BD, BD AD 3 3 2 2 a. 又 BD= 2a,∴PQ= 3 三、解答题 15.(文)(2010·南京调研)如图,在四棱锥 E-ABCD 中,四边 形 ABCD 为平行四边形,BE=EC,AE⊥BE,M 为 CE 上一点, 且 BM⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BC; (2)如果点 N 为线段 AB 的中点,求证:MN∥平面 ADE. [解析] (1)因为 BM⊥平面 ACE,AE?平面 ACE,所以 BM⊥AE. 因为 AE⊥BE,且 BE∩BM=B,BE、BM?平面 EBC,所以 AE⊥平面 EBC. 因为 BC?平面 EBC,所以 AE⊥BC. (2)解法 1:取 DE 中点 H,连接 MH、AH. 因为 BM⊥平面 ACE,EC?平面 ACE,所以 BM⊥EC. 因为 BE=BC,所以 M 为 CE 的中点. 1 所以 MH 为△EDC 的中位线,所以 MH 綊 DC. 2 因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以 DC 綊 AB. 1 故 MH 綊 AB. 2 因为 N 为 AB 的中点,所以 MH 綊 AN. 所以四边形 ANMH 为平行四边形,所以 MN∥AH. 因为 MN?平面 ADE,AH?平面 ADE, 所以 MN∥平面 ADE. 解法 2:取 EB 的中点 F,连接 MF、NF. 因为 BM⊥平面 ACE,EC?平面 ACE,所以 BM⊥EC. 因为 BE=BC,所以 M 为 CE 的中点,所以 MF∥BC.

因为 N 为 AB 的中点,所以 NF∥AE, 因为四边形 ABCD 为平行四边形, 所以 AD∥BC.所以 MF∥AD. 因为 NF、MF?平面 ADE,AD、AE?平面 ADE, 所以 NF∥平面 ADE,MF∥平面 ADE. 因为 MF∩NF=F,MF、NF?平面 MNF, 所以平面 MNF∥平面 ADE. 因为 MN?平面 MNF,所以 MN∥平面 ADE. (理)(2010·厦门市质检)如图所示的几何体中,△ABC 为正三角 形,AE 和 CD 都垂直于平面 ABC,且 AE=AB=2,CD=1,F 为 BE 的中点. (1)若点 G 在 AB 上,试确定 G 点位置,使 FG∥平面 ADE,并 加以证明; (2)在(1)的条件下,求三棱锥 D-ABF 的体积. [解析] (1)当 G 是 AB 的中点时,GF∥平面 ADE. ∵G 是 AB 的中点,F 是 BE 的中点, ∴GF∥AE, 又 GF?平面 ADE,AE?平面 ADE, ∴GF∥平面 ADE. (2)连接 CG,由(1)可知: 1 GF∥AE,且 GF= AE. 2 又 AE⊥平面 ABC,CD⊥平面 ABC,∴CD∥AE, 1 又 CD= AE,∴GF∥CD,GF=CD, 2 ∴四边形 CDFG 为平行四边形, ∴DF∥CG,且 DF=CG. 又∵AE⊥平面 ABC,CG?平面 ABC,∴AE⊥CG. ∵△ABC 为正三角形,G 为 AB 的中点, ∴CG⊥AB,又 AB∩AE=A,∴CG⊥平面 ABE. 又 CG∥DF,且 CG=DF, ∴DF 为三棱锥 D-ABF 的高,且 DF= 3. 又 AE⊥平面 ABC,AB?平面 ABC,∴AE⊥AB. ∵在 Rt△ABE 中,AB=AE=2,F 为 BE 的中点,

1 1 1 ∴S△ABF= S△ABE= × ×2×2=1. 2 2 2 1 1 3 ∴VD-ABF= S△ABF·DF= ×1× 3= , 3 3 3 ∴三棱锥 D-ABF 的体积为 3 . 3

16.(文)(2010·安徽合肥质检)如图,PO⊥平面 ABCD,点 O 在 AB 上,EA∥PO,四边 1 形 ABCD 为直角梯形,BC⊥AB,BC=CD=BO=PO,EA=AO= CD. 2

(1)求证:BC⊥平面 ABPE; (2)直线 PE 上是否存在点 M,使 DM∥平面 PBC,若存在,求出点 M;若不存在,说明 理由. [解析] (1)∵PO⊥平面 ABCD, BC?平面 ABCD,∴BC⊥PO, 又 BC⊥AB,AB∩PO=O,AB?平面 ABP,PO?平面 ABP,∴BC⊥平面 ABP, 又 EA∥PO,AO?平面 ABP, ∴EA?平面 ABP,∴BC⊥平面 ABPE. (2)点 E 即为所求的点,即点 M 与点 E 重合. 取 PO 的中点 N,连结 EN 并延长交 PB 于 F, ∵EA=1,PO=2,∴NO=1, 又 EA 与 PO 都与平面 ABCD 垂直,∴EF∥AB, 1 ∴F 为 PB 的中点,∴NF= OB=1,∴EF=2, 2 又 CD=2,EF∥AB∥CD, ∴四边形 DCFE 为平行四边形,∴DE∥CF, ∵CF?平面 PBC,DE?平面 PBC, ∴DE∥平面 PBC.∴当 M 与 E 重合时即可. (理)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面正方形的中心,过 A1、C1、B 三点的平面 截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体 ABCD-A1C1D1 及其三视图.

(1)求证:D1O∥平面 A1BC1; (2)是否存在过点 A1 与直线 DC1 垂直的平面 A1PQ,与线段 BC1 交于点 P,与线段 CC1 交于点 Q?若存在,求出线段 PQ 的长;若不存在,请说明理由. [分析] 要证 D1O∥平面 A1BC1,∵O 为 DB 的中点,∴取 A1C1 中点 E,只须证 D1E 綊 OB,或利用长方体为正四棱柱的特性,证明平面 ACD1∥平面 A1C1B,假设存在平面 A1PQ ⊥DC1,利用正四棱柱中,BC⊥平面 DCC1D1,故有 BC⊥DC1,从而平面 A1PQ 与平面 BCC1 的交线 PQ⊥DC1,故只须在面 DCC1D1 的边 CC1 上寻找点 Q,使 D1Q⊥DC1 即可. [解析] (1)连接 AC,AD1,D1C,易知点 O 在 AC 上. 根据长方体的性质得四边形 ABC1D1、 四边形 A1D1CB 均为平行四边 形, ∴AD1∥BC1,A1B∥D1C, 又∵AD1?平面 A1C1B,BC1?平面 A1C1B,∴AD1∥平面 A1C1B, 同理 D1C∥平面 A1BC1, 又∵D1C∩AD1=D1, ∴根据面面平行的判定定理知平面 ACD1∥平面 A1BC1. ∵D1O?平面 ACD1,∴D1O∥平面 A1BC1. (2)假设存在过点 A1 与直线 DC1 垂直的平面 A1PQ,与线段 BC1 交于点 P,与线段 CC1 交于点 Q. 连接 C1D,过点 D1 作 C1D 的垂线交 C1C 于点 Q,过点 Q 作 PQ ∥BC 交 BC1 于点 P,连接 A1P,A1Q. ∵C1D⊥D1Q,C1D⊥A1D1,D1Q∩A1D1=D1, ∴C1D⊥平面 A1D1Q. ∵A1Q?平面 A1D1Q,∴C1D⊥A1Q. ∵PQ∥BC∥A1D1,∴C1D⊥PQ, ∵A1Q∩PQ=Q,∴C1D⊥平面 A1PQ. ∴存在过点 A1 与直线 DC1 垂直的平面 A1PQ, 与线段 BC1 交于点 P, 与线段 CC1 交于点 Q.

在矩形 CDD1C1 中,∵Rt△D1C1Q∽Rt△C1CD, ∴ C 1Q 2 C 1Q D 1C 1 = ,结合三视图得 = ,∴C1Q=1. 4 CD C1C 2

PQ C1Q 1 1 1 ∵PQ∥BC,∴ = = ,∴PQ= BC= . BC CC1 4 4 2 17.(文)(2010·东北师大附中)如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC1D1; (2)求证:EF⊥B1C; (3)求三棱锥 B1-EFC 的体积. [解析] (1)证明:连结 BD1,在△DD1B 中,E、F 分别为 D1D, DB 的中点,则 EF∥D1B,又 EF?平面 ABC1D1,D1B?平面 ABC1D1, ∴EF∥平面 ABC1D1. (2)证明:∵B1C⊥AB,B1C⊥BC1,AB∩BC1=B, ∴B1C⊥平面 ABC1D1, 又 BD1?平面 ABC1D1,∴B1C⊥BD1, 又 EF∥BD1,∴EF⊥B1C. (3)解:∵CF⊥BD,CF⊥BB1,∴CF⊥平面 BDD1B1, 即 CF⊥平面 EFB1,且 CF=BF= 2 1 ∵ EF = BD1 = 3 , B1F = BF2+BB12 = ( 2)2+22 = 6 , B1E = B1D12+D1E2 = 2 12+(2 2)2=3, ∴EF2+B1F2=B1E2,即∠EFB1=90°, 1 ∴VB1-EFC=VC-B1EF= ·S△B1EF·CF 3 1 1 1 1 = × ·EF·B1F·CF= × × 3× 6× 2=1. 3 2 3 2 (理)(2010·河北唐山)如图,在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 VA⊥底面 ABCD,E、F、G 分别为 VA、VB、BC 的中点.

(1)求证:平面 EFG∥平面 VCD;

(2)当二面角 V-BC-A、V-DC-A 依次为 45°、30°时,求直线 VB 与平面 EFG 所成的 角. [解析] (1)∵E、F、G 分别为 VA、VB、BC 的中点, ∴EF∥AB,FG∥VC, 又 ABCD 是矩形,∴AB∥CD,∴EF∥CD, 又∵EF?平面 VCD,FG?平面 VCD, ∴EF∥平面 VCD,FG∥平面 VCD, 又 EF∩FG=F,∴平面 EFG∥平面 VCD.

(2)∵VA⊥平面 ABCD,CD⊥AD,∴CD⊥VD. 则∠VDA 为二面角 V-DC-A 的平面角, ∴∠VDA=30°.同理∠VBA=45°. 作 AH⊥VD,垂足为 H,由上可知 CD⊥平面 VAD,则 AH⊥平面 VCD. ∵AB∥平面 VCD,∴AH 即为 B 到平面 VCD 的距离. 由(1)知,平面 EFG∥平面 VCD,则直线 VB 与平面 EFG 所成的角等于直线 VB 与平面 VCD 所成的角,记这个角为 θ. ∵AH=VAsin60°= 3 6 AH VA,VB= 2VA,∴sinθ= = , 2 VB 4 6 . 4

故直线 VB 与平面 EFG 所成的角是 arcsin


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