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坐标系与参数方程


第 2 讲 坐标系与参数方程

1.(2015·湖南高考)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系,若曲线 C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线 C 的直角坐标方程为________. 【解析】 将极坐标方程ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,∴x2+y2=2y,故曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2

-2y=0. 【答案】 x2+y2-2y=0 π 2.(2015·安徽高考)在极坐标系中,圆ρ=8sin θ上的点到直线θ= (ρ∈R)距离的最大 3 值是________. π 【解析】 由ρ=8sin θ得 x2+y2=8y,即 x2+(y-4)2=16,由θ= 得 y= 3x,即 3x 3 π -y=0,∴圆心(0,4)到直线 y= 3x 的距离为 2,圆ρ=8sin θ上的点到直线θ= 的最大距 3 离为 4+2=6. 【答案】 6 x=-1+t, 3.(2015· 重庆高考) 已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),以坐标原点为极 y=1+t 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 ρ2cos 2 θ = 3π 5π ρ>0, <θ< 4 4 4 ,则直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为________. 【解析】 直线 l 的直角坐标方程为 y=x+2,由ρ2cos 2θ=4 得ρ2(cos2θ-sin2θ)=4, 直角坐标方程为 x2-y2=4,把 y=x+2 代入双曲线方程解得 x=-2,因此交点为(-2,0), 其极坐标为(2,π). 【答案】 (2,π) π θ- 4.(2015·江苏高考)已知圆 C 的极坐标方程为ρ2+2 2ρsin 4 -4=0,求圆 C 的 半径. 【解】 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O,以极轴为 x 轴的正半轴,建立 直角坐标系 xOy. 2 2 sin θ- cos θ 2 圆 C 的极坐标方程为ρ +2 2ρ 2 -4=0, 2 化简,得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0. 则圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆 C 的半径为 6. 从近三年高考,特别是 2015 年高考来看,该部分 2016 年高考命题热点考向为: 考什么 怎么考 题型难度 ①考查极坐标方程与直角坐标方程的相互转化; 题型:填空题 1.极坐标方程 ②会写出简单图形的极坐标方程 难度:基础题 2.参数方程及应 ①考查参数方程与普通方程之间的互化能力; 题型:填空题 用 ②考查考生对基础公式及方法的理解和应用. 难度:基础题 3.极坐标方程与 考查极坐标方程与参数方程的综合应用(互化、位置关 题型:解答题

参数方程的综合 应用

系、最值等)

难度:基础题、 中档题

极坐标方程(自主探究型) 1.(2015· 北京高考) 在极坐标系中,点 ________. 【解析】 在平面直角坐标系下,点 2, π 3 到直线 ρ(cos θ+ 3sin θ) =6 的距离为

π 3 化为(1, 3), |1+ 3× 3-6| |-2| 直线方程为:x+ 3y=6,∴点(1, 3)到直线的距离为 d= = =1. 2 2 【答案】 1 2.(2014·广东高考)在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2ρcos2θ=sin θ与ρcos θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲 线 C1 与 C2 交点的直角坐标为________. 【解析】 ∵2ρcos2θ=sin θ,∴2ρ2cos2 θ=ρsin θ即 2x2=y, ∵ρcos θ=1,∴x=1, 2x2=y, ?x=1,y=2,∴交点坐标为(1,2). x=1 【答案】 (1,2) 3.(2015·新课标Ⅰ高考)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y- 2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2 的极坐标方程; π (2)若直线 C3 的极坐标方程为θ= (ρ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的 4 面积. 【解】 (1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以 C1 的极坐标方程为ρcos θ=-2, C2 的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. π (2)将θ= 代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3 2ρ+4=0,解得ρ1=2 2,ρ2 4 = 2.故ρ1-ρ2= 2,即|MN|= 2. 由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 为等腰直角三角形, 1 所以△C2MN 的面积为 . 2 【规律感悟】 1.研究极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化.当条件涉及角 度和到定点距离时,引入极坐标系会对问题的解决带来很大的方便. 2.在极坐标方程化为直角坐标方程时,只要整体上用 x 代换其中的ρcos θ、y 代替其 中的ρsin θ即可,其中所含的ρ2 也可以写成ρ2(cos2θ+sin2θ)=x2+y2. 2, 参数方程及应用(师生共研型) 【典例 1 】 (2014· 江苏高考 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 2 x=1- t, 2 2 2 (t 为参数),直线 l 与抛物线 y =4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. y=2+ t 2

x=1- 【解】 将直线 l 的参数方程 y=2+

2 t, 2

2 2 2+ t 2 1- t 得 2 =4 2 ,解得 t1=0,t2=-8 2. 所以|AB|=|t1-t2|=8 2. 【规律感悟】 将曲线的参数方程化为普通方程时,要把其中的参数消去,还要注意其 中的 x 、y 的取值范围,也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价 性.参数方程化普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等,经常 1 用到公式:cos2θ+sin2θ=1,1+tan2θ= 2 . cos θ [针对训练] x=2+t, x2 y2 (2014·全国新课标Ⅰ高考)已知曲线 C: + =1,直线 l: (t 为参数). 4 9 y=2-2t, (1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最 小值. x=2cos θ, 【解】 (1)曲线 C 的参数方程为 (θ为参数). y=3sin θ, 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ)到 l 的距离为 5 d= |4cos θ+3sin θ-6|. 5 d 2 5 4 则|PA|= = |5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且 tan α= . 5 3 sin 30° 22 5 当 sin(θ+α)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为 . 5 2 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 . 5 极坐标方程与参数方程的综合应用(多维探究型) 命题角度一 直线与圆的极坐标方程与参数方程的综合应用 【典例 2】 (2015·湖南高考)已知直线 l: 3 x=5+ t, 2 1 (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 y = 3+ t 2 C 的极坐标方程为ρ=2cos θ. (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点 M 的直角坐标为(5, 3),直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|·|MB|的值. 【解】 (1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ.① 将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x 代入①即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0. 3 x=5+ t, 2 2 (2)将 1 代入②式,得 t +5 3t+18=0. y= 3+ t 2 设这个方程的两个实根分别为 t1,t2,则由参数 t 的几何意义即知,

2 2 代入抛物线方程 y =4x, t 2

|MA|·|MB|=|t1t2|=18. 命题角度二 直线与其他曲线的极坐标方程与参数方程的综合应用 【典例 3】 (2014·辽宁高考)将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为 原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 【解】 (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为 C 上点(x,y),依题意,得 y 2 x=x1, 2 2 2 ,由 x1+y1=1 得 x + 2 =1, y=2y1, y2 即曲线 C 的方程为 x2+ =1. 4 x=cos t, 故 C 的参数方程为 (t 为参数). y=2sin t y2 x2+ =1 x=1 x=0, 4 (2)由 ,解得: ,或 y=0 y=2. 2x+y-2=0

1 ,1 1 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐标为 2 ,所求直线斜率为 k= , 2 1 1 x- 于是所求直线方程为 y-1= 2 , 2 化为极坐标方程,并整理得 2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 3 即ρ= . 4sin θ-2cos θ 【规律感悟】 1.要判断参数方程或极坐标方程所描述的方程类型,常常是将其转化为 直角坐标系下的普遍方程.但是,对于一些常见的参数方程或极坐标方程,如果能够快速识 别方程的形式,理解对应参数的几何意义,则可使问题得到快速的突破. 2.在坐标系与参数方程的考查中,最能够体现坐标方法的解题优势,灵活地利用坐标 方法可以使问题得到简捷的解答. [针对训练] 1 x=3+ t, 2 1. (2015·陕西高考)在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 (t 为参数). 以 3 y= t 2 原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ=2 3sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程; (2)P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标. 【解】 (1)由ρ=2 3sin θ,得ρ2=2 3ρsin θ, 从而有 x2+y2=2 3y,所以 x2+(y- 3)2=3. 1 3 3+ t, t (2)设 P 2 2 ,又 C(0, 3), 1 3 3+ t 2 t- 3 2 则|PC|= 2 + 2 = t2+12, 故当 t=0 时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0). x=-3+ 3t x2 y2 2.(2015·河南唐山一模)已知椭圆 C: + =1,直线 l: ,(t 为参数). 4 3 y=2 3+t

(1)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程; (2)设 A(1,0),若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其到直线 l 的距离相等,求点 P 的坐标. x=2cosθ 【解】 (1)椭圆 C: ,(θ为参数),直线 l:x- 3y+9=0. y= 3sinθ (2)设 P(2cosθ, 3sinθ), 则|AP|= (2cosθ-1)2+( 3sinθ)2=2-cosθ, |2cosθ-3sinθ+9| 2cosθ-3sinθ+9 点 P 到直线 l 的距离 d= = . 2 2 由|AP|=d 得 3sinθ-4cosθ=5, 又 sin2θ+cos2θ=1, 3 4 得 sinθ= ,cosθ=- . 5 5 8 3 3 故 P(- , ). 5 5 1.必记公式 (1)极坐标方程 ①极坐标方程:设 M(ρ,θ)为曲线上任意一点,则以ρ,θ为变量的方程 f(ρ,θ)=0 就 是曲线的极坐标方程. ②常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为 r 的圆 圆心为(r,0),半径为 r 的圆 π 圆心为(r, ),半径为 r 的圆 2 过极点,倾斜角为α的直线 过点(a,0),与极轴垂直的直线 π 过点(a, ),与极轴平行的直线 2 ρ=r(0≤θ<2π) ρ=2rcosθ(- π π ≤θ< ) 2 2

ρ=2rsinθ(0≤θ<π) θ=π+α(ρ∈R)或θ=α(ρ∈R) ρcosθ=α(- π π <θ< ) 2 2

ρsinθ=a(0<θ<π)

③极坐标与直角坐标的互化 设点 P 的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ),则直角坐标方程化为极坐标方程的 x=ρcosθ, 公式为 极坐标方 y=ρsinθ, ρ= x2+y2, 程化为直角坐标方程的公式为 (2)直线与圆、椭圆的参数方程 y tanθ= . x x=x0+tcosα, y=y0+tsinα. (t 为参数)

①过点 M0(x0,y0),倾斜角为α的直线 l 的参数方程是

(θ为参数) y=b+rsinθ. x=acosθ, x2 y2 ③椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程为 (θ为参数) a b y=bsinθ. 【易错提醒】 (1)在极坐标系中,有序实数对(ρ,θ)确定平面内一个点的位置, 反之, 平面内的一个点, 可以有无数个极坐标(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)与之对应. (2)极坐标(ρ,θ)化为直角坐标是(ρcos θ,ρsinθ);直角坐标化为极坐标(ρ,θ)时,ρ= y x2+y2唯一确定, 但由 tanθ= (x≠0)确定角θ时, 一般根据点(x, y)所在的象限取最小正角. x (3)将曲线的参数方程化为普通方程时,要把其中的参数消去,还要注意消去参数的过 程要保持普通方程与参数方程的等价性. 参数方程化为普通方程常用的消参技巧: 代入消元、 加减消元、平方后再加减消元等. (4) 应用直线的参数方程时,一定注意直线方程是否是直线参数方程的标准形式,即 x=x0+tcosα, t 是参数,α是直线的倾斜角,再确定 t 的几何意义. y=y0+tsinα, (5)求解极坐标方程和参数方程的综合问题应统一化为直角坐标方程后处理.

②圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为

x=a+rcosθ,

限时训练(文 20 理 22)
一、填空题 1.(2015· 广东高考) 已知直线 l 的极坐标方程为 2ρsin 7π 2 2, A 4 ,则点 A 到直线 l 的距离为________. π 7π θ- 2 2, 【解析】 依题已知直线 l:2ρsin 4 = 2和点 A 4 可化为 l:x-y+1=0 |2-(-2)+1| 5 2 和 A(2,-2),所以点 A 到直线 l 的距离为 d= = . 2 12+(-1)2 5 2 【答案】 2 π θ+ 2.(2014·安徽江南十校眹考)在极坐标系中,已知直线 l 的极坐标方程为ρsin 4 = π 2, 2+1,圆 C 的圆心为 4 ,半径为 2,则直线 l 被圆 C 所截得的弦长是________. π θ+ 【解析】 直线 l 的极坐标方程为ρsin 4 = 2+1,可化为直角坐标方程 x+y=2 π 2, + 2,由圆 C 的圆心为 4 ,得圆 C 的圆心的直角坐标系(1,1),所以圆心 C(1,1)到 |1+1-2- 2| 直线 l 的距离 d= = 1, 又因为圆 C 的半径 r= 2, 所以直线 l 被圆 C 截得的弦 2 长为 2 r2-d2=2. 【答案】 2 3.(2015·湖北高考)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 1 x=t- , t 标系.已知直线 l 的极坐标方程为ρ(sin θ-3cos θ)=0,曲线 C 的参数方程为 1 (t y=t+ t

θ-

π 4 = 2,点 A 的极坐标为

为参数),l 与 C 相交于 A,B 两点,则|AB|=________. 【解析】 直线 l 的极坐标方程ρ(sin θ-3cos θ)=0 化为直角坐标方程为 3x-y=0, 1 x=t- , t 2 2 曲 线 C 的 参数 方程 1 两 式经 过平 方相 减, 化为 普通 方程 为 y - x = 4 , 联立 y=t+ t 2 2 x=- , x= , 2 3 2 2 3 2 2 2 3x-y=0, - ,- , 解得 或 所以点 A 2 2 ,B 2 2 . 3 2 3 2 2 2 y -x =4 y=- y= . 2 2 2 2 2 3 2 3 22 - - - - 所以|AB|= 2 2 + 2 2 =2 5. 【答案】 2 5 x=t, 4.(2013·湖南高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l: (t 为参数)过椭圆 C: y=t-a x=3cos φ, (φ为参数)的右顶点,则常数 a 的值为________. y=2sin φ x=t, 【解析】 直线 l: 消去参数 t 后得 y=x-a. y=t-a x=3cos φ, x2 y2 椭圆 C: 消去参数φ后得 + =1. 9 4 y=2sin φ 又椭圆 C 的右顶点为(3,0),代入 y=x-a 得 a=3. 【答案】 3 5.(2015·湖北武汉调研)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴 x=sin θ+cos θ 建立极坐标系.已知直线ρ( 2cos θ-sin θ)-a=0 与曲线 (θ 为参数) y=1+sin 2θ 有两个不同的交点,则实数 a 的取值范围为________. 【解析】 直线的直角坐标方程为 2x-y-a=0,曲线的普通方程为 x2=y(- 2≤x≤ 1 2),画出图象分析,a 的取值范围是 0≤a< . 2 1 0, 【答案】 2 二、解答题 x=a-2t, 6.(2014·福建高考)已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),圆 C 的参数方程为 y=-4t x=4cos θ ,(θ为参数). y=4sin θ (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. x=a-2t, 【解】 (1)∵ ∴2x-y-2a=0. y=-4t, x=4cos θ, 又∵ ,∴x2+y2=16. y=4sin θ, ∴直线 l 的普通方程为 2x-y-2a=0, 圆 C 的普通方程为 x2+y2=16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点, |-2a| 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d= ≤ 4, 5

解得-2 5≤a≤2 5. ∴实数 a 的取值范围为[-2 5,2 5]. 7.(2015·福建高考)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为

(t 为 y=-2+3sin t 参数) .在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x π θ- 轴非负半轴为极轴)中,直线 l 的方程为 2ρsin 4 =m(m∈R). (1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值. 【解】 (1)消去参数 t,得到圆 C 的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9. π θ- 由 2ρsin 4 =m,得ρsin θ-ρcos θ-m=0. 所以直线 l 的直角坐标方程为 x-y+m=0. (2)依题意,圆心 C 到直线 l 的距离等于 2, |1-(-2)+m| 即 =2,解得 m=-3±2 2. 2 x=tcos α, 8.(2015·新课标Ⅱ高考)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: (t 为参数,t≠0), y=tsin α 其中 0≤α<π,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=2sin θ, C3:ρ=2 3cos θ. (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值. 【解】 (1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,曲线 C3 的直角坐标方程为 x2+ 2 y -2 3x=0. 3 x= , 2 2 2 x +y -2y=0, x=0, 联立 解得 或 3 x2+y2-2 3x=0, y=0, y= . 2 3 3 , 所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和 2 2 . (2)曲线 C1 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中 0≤α<π. 因此 A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2 3cos α,α). π α- 所以|AB|=|2sin α-2 3cos α|=4 sin . 3 5π 当α= 时,|AB|取得最大值,最大值为 4. 6 x=2cosφ, 9. (2015·黑龙江哈尔滨二模)在平面直角坐标系中, 曲线 C1 的参数方程为 (φ y=sinφ 为参数),以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 是圆心在极轴上且 π π 经过极点的圆,射线θ= 与曲线 C2 交于点 D(2, ). 3 3 (1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; π 1 1 (2)已知极坐标系中两点 A(ρ1,θ0),B(ρ2,θ2+ ),若 A、B 都在曲线 C1 上,求 2+ 2 2 ρ1 ρ2 的值. x=2cosφ, x2 【解】 (1)∵C1 的参数方程为 ∴C1 的普通方程为 +y2=1. 4 y=sinφ, π 1 由题意知曲线 C2 的极坐标方程为ρ=2a·cosθ(a 为半径), 将 D(2, )代入, 得 2=2a× , 2 3

x=1+3cos t,

|

|

∴a=2,∴圆 C2 的圆心的直角坐标为(2,0),半径为 2, ∴C2 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4. ρ2cos2θ 2 2 (2)曲线 C1 的极坐标方程为 +ρ sin θ=1, 4 4 即ρ2= . 4sin2θ+cos2θ 4 ∴ρ2 , 1= 4sin2θ0+cos2θ0 4 ρ2 2= π π 4sin2(θ0+ )+cos2(θ0+ ) 2 2 4 = 2 . sin θ0+4cos2θ0 1 1 4sin2θ0+cos2θ0 4cos2θ0+sin2θ0 5 ∴ 2+ 2= + = . 4 ρ1 ρ2 4 4 10 . (2015· 河 南 郑 州 质 检 二 ) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 M 的 参 数 方 程 为 x= 3cosα+sinα, (α为参数),若以直角坐标系中的原点 O 为极点,x 轴的正半 y=2 3sinαcosα-2sin2α+2 π 2 轴为极轴建立极坐标系,曲线 N 的极坐标方程为ρsin(θ+ )= t. 2 4 (1)求曲线 M 的普通方程和曲线 N 的直角坐标方程; (2)若曲线 N 与曲线 M 有公共点,求实数 t 的取值范围. 【解】 (1)由 x= 3cosα+sinα得 x2=( 3cosα+sinα)2=2cos2α+2 3sinαcosα+ 1,又由 y=2 3sinαcosα-2sin2α+2 得 2 3sinαcosα=y+2sin2α-2,所以曲线 M 的普 通方程为 x2=y+1,即 y=x2-1, 又易知 x∈[-2,2], ∴曲线 M 的普通方程为 y=x2-1,x∈[-2,2]. π 2 2 2 2 由ρsin(θ+ )= t 得 ρsinθ+ ρcosθ= t, 2 2 2 2 4 所以ρsinθ+ρcosθ=t,所以曲线 N 的直角坐标方程为 x+y=t. (2)当直线 N 过点(2,3)时,与曲线 M 有公共点,此时 t=5,从该位置向左下方平行移 x+y=t, 动直到与曲线 M 相切总有公共点,联立 得 x2+x-1-t=0, y=x2-1 5 Δ=1+4(1+t),令 1+4(1+t)=0,解得 t=- . 4 5 ∴- ≤t≤5. 4 5 ∴所求实数 t 的取值范围是[- ,5]. 4


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