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一元二次函数知识点汇总

时间:2014-01-21


姓名二次函数总复习(知识点) 2 1.定义:一般地,如果 y ? ax ? bx ? c(a, b, c 是常数, a ? 0) ,那么 y 叫做 x 的一元二次函数.
2.二次函数 y ? ax 的性质
2

(1)抛物线 y ? ax (a ? 0) 的顶点是原点,对称轴是 y 轴.
2

(2)函数 y ? ax 的图像与 a 的符号关系: ①当 a ? 0 时 ? 抛物线开口向上 ? 顶点为其最低点;②当 a ? 0 时 ? 抛物线开口向下 ? 顶点为其最高点
2

3.二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图像是对称轴平行于(包括重合) y 轴的抛物线.
2
2 2 b 4ac ? b 2 . ,k ? 4.二次函数 y ? ax ? bx ? c 用配方法可化成: y ? a? x ? h ? ? k 的形式,其中 h ? ?

2a

4a

5.抛物线 y ? ax ? bx ? c 的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ① a 决定抛物线的开口方向:
2

当 a ? 0 时, 开口向上; 当 a ? 0 时, 开口向下; a 越小, 抛物线的开口越大, a 越大, 抛物线的开口越小。 ②对称轴为平行于 y 轴(或重合)的直线,记作 x ? h .特别地, y 轴记作直线 x ? 0 . ③定点是抛物线的最值点[最大值( a ? 0 时)或最小值( a ? 0 时)],坐标为( h , k )。 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法: y ? ax ? bx ? c ? a? x ?
2

(2)配方法:运用配方法将抛物线的解析式化为 y ? a?x ? h ? ? k 的形式,得到顶点为( h , k ),对称轴是 x ? h . (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以抛物线上纵坐标相等的两个点 连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失★
2

? ?

b 4ac ? b 2 b ? 4ac ? b 2 b (? , ) ,∴顶点是 ,对称轴是直线 x ? ? . ? ? 2a ? 4a 2a 4a 2a

2

7.抛物线 y ? ax ? bx ? c 中, a, b, c 的作用
2

(1) a 决定开口方向及开口大小,这与 y ? ax 中的 a 完全一样.
2

(2) b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y ? ax ? bx ? c 的对称轴是直线 x ? ?
2

① b ? 0 时,对称轴为 y 轴;② b ? 0 时,对称轴在 y 轴左侧;③ b ? 0 时,对称轴在 y 轴右侧.
a a

b ,故: 2a

(3) c 的大小决定抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 y 轴交点的位置.
2

当 x ? 0 时, y ? c ,∴抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 y 轴有且只有一个交点(0, c ):
2

① c ? 0 ,抛物线经过原点; ② c ? 0 ,与 y 轴交于正半轴;③ c ? 0 ,与 y 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则 b ? 0 . a 8. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
2 2
2 2

① y ? ax ;② y ? ax ? k ;③ y ? a?x ? h ? ;④ y ? a? x ? h ? ? k ;⑤ y ? ax ? bx ? c . 其中①左右移动可得到③,再上下移动可得到④。口诀“左加右减,上加下减” 图像特征如下: 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2 x ? 0 ( y 轴) (0,0) y ? ax
2

y ? ax 2 ? k
y ? a? x ? h ?
2 2

y ? a?x ? h ? ? k

当a ? 0时 开口向上 当 a ? 0时 开口向下

x ? 0 ( y 轴)

(0, k ) ( h ,0) (h ,k )

x?h x?h
x?? b 2a

y ? ax 2 ? bx ? c

(?

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a

9.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式: y ? ax ? bx ? c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,通常选择一般式.
2

(2)顶点式: y ? a? x ? h ? ? k .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
2

(3)交点式:已知图像与 x 轴的交点坐标 x1 、 x 2 ,通常选用交点式: y ? a?x ? x1 ??x ? x2 ? . 10.抛物线与 Y 轴的交点(1) y 轴与抛物线 y ? ax ? bx ? c 得交点为( 0, c ) (2)抛物线与 x 轴的交点
2

二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x 2 ,是对应一元二次方程
2

①有两个交点 ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相交; ②有一个交点(顶点在 x 轴上) ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相切; ③没有交点 ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相离. 11.二次函数与一元二次方程的关系:

ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:

(1)一元二次方程 0 ? ax ? bx ? c 就是二次函数 y ? ax ? bx ? c 当函数 y 的值为 0 时的情况.
2
2

(2) 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点;
2

当二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴有交点时,交点的横坐标就是当 y ? 0 时自变量 x 的值,
2

即一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的根.
2

(3)当二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴有两个交点时,则一元二次方程 y ? ax ? bx ? c 有两个不
2 2

相 等 的 实 数 根 ; 当 二 次 函 数 y ? ax ? bx ? c 的 图 象 与
2

x 轴有一个交点时,则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有两个相等的实数根;当二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴没有交点时,则一
2
2

元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 没有实数根
2

12.二次函数的应用: (1)二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言,最大(小)值 会在顶点处取得,达到最大(小)值时的 x 即为顶点横坐标值,最大(小)值也就是顶点纵坐标值。 (2)二次函数的应用包括以下方面:分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系; 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.
2 附: 将二次函数的一般式 y ? ax ? bx ? c 化为顶点式 y ? a? x ? h ? ? k 的方法: (可用配方法和公式法)
2

典型例题精讲:某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售,每天可销售 100 件,现在他采用 提高出售价格,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨价一元,其销售量将减少 10 件,问他将 出售价定为多少元时,才能使每天所获利润最大?并且求出最大利润是多少?


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