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必修4 第一章 三角函数


必修 4 第一章 三角函数
1.1 任意角的概念与弧度制,任意角的三角函数 基础过关 一.选择题 1.下列各组角中,终边相同的是( (A)390° 与 690°

) (D)300° 与-840° )

(B)-330° 与 750° (C)480° 与-420°

2.若 ? 角的终边落在第三或第四象限,则

A.第一或第三象限 C.第一或第四象限

? 的终边落在 2
B.第二或第四象限 D.第三或第四象限



3.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,则这个圆心角所对的弧长是( A.2
2



B.

2 sin 1

C. 2 sin 1

D. sin 2 )

4.某扇形的面积为 1 cm ,它的周长为 4 cm ,那么该扇形圆心角的度数为( A.2° B.2 C.4° (
? ?

D.4 )

5.终边与坐标轴重合的角 ? 的集合

? ? C. ?? ? ? k ? 180 , k ? Z ?
A. ? ? ? k ? 360 , k ? Z
? ?

?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? Z? D. ?? ? ? k ? 90 , k ? Z ?
B.
?

二.填空题 6.任意角三角函数定义为: y sin ? = P(x,y) · O x cos ? = tan ? = 7. sin ? ? 0 , cos ? ? 0 , 则 ? 是

cot ? = sec ? = csc ? = 象限的角.

象限 sin ? cos ? tan ? cot ?









8.设 0 ? ? ? ? ? 90? ,则 ? ? ? 的范围是 9.写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(这括边界)

(1)

(2)

(3)

三.解答题 10.已知角 ? 的终边过点 P(-4m,3m), (m ? 0) ,求 ? 的六个三角函数值

11.已知 ? ? ? ? ? ?

4 ? ? ,?? ? ? ? ? ? ? , 求2? - ? 的取值范围. 3 3

12.一扇形周长为 20cm,当扇形的圆心角 ? 等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?并求 此扇形的最大面积?

1.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 基础过关 一.选择题 1. sin585 的值为 (A) ?
o

(

) (C) ?

2 2

(B)

2 2

3 2

(D)

3 2

2sin ? ? cos ? 的值为 ( ) sin ? ? 2 cos ? 3 5 (A)0 (B) (C)1 (D) 高.考.资.源.网 4 4 17? 17? ) ? sin(? ) 的值是 ( 3. cos(? ) 4 4
2.若 tan ? ? 2 ,则 A. 2 B. ? 2 C. 0 ) (B) cos2· sin2 (C) tan3· sec2 (D) sin2· tan2 D.

2 2

4.下列各式为正号的是( (A) cos2-sin2

? 3 ? 5、已知 tanα =m, 2 <α < 2 ,则 sinα =
? m 1? m2 1? m2 ? m 1? m2 1? m2




2 ? 1? m m (D)

(A)

(B)

m 1 ? m2 2 (C) 1 ? m

二.填空题 6.若 sin ? ? ?

4 , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? 5
3 ,则 tan(360° -α ) = 5
sin? 1 ? sin2 ?

.

7.已知 cos(180° -α )=-


1 ? cos2 ? = cos?

8.若角 ? 的终边落在直线 x+y=0 上,则

?



9.化简:

sin(3? ? ? ) cos(? ? ? ) = cos(2? ? ? )

三.解答题
1 10.已知 tanα =- ,求下列各式的值: 3

(1)

3 cos? ? 5 sin? sin? ? cos x

(2)sin α +2sinα ·cosα -3 cos α

2

2

11.已知 sinα ,cosα 是方程 25x -5(2a+1)x+a +a=0 的两个根,α 是锐角,求 tanα 的值

2

2

2 2 12.已知 tan ? 、 cot ? 是关于 x 的方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的两实根,且 3? ? ? ?

7 ?, 2

求 cos(3? ? ? ) ? sin(? ? ? ) 的值

1.3 三角函数的图像和性质 基础过关 一.选择题 1.函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是 ( A. ) D.

π 2

B. π

C. 2 π ) C.

2.函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是 ( A.-1 B. ?

1 2

3.已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?
2

1 2

D.1 )

)( x ? R) ,下面结论错误 的是 ( ..

A. 函数 f ( x) 的最小正周期为 2 ? C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x =0 对称 4.函数 y ? cos x( x ? R) 的图像向左平移 则 g ( x) 的解析式为( A. ? sin x 5.若 sinx< ) B. sin x

B. 函数 f ( x) 在区间[0, D. 函数 f ( x) 是奇函数

? ]上是增函数 2

? 个单位后,得到 y ? g ( x) 的图像, 2
D. cos x )

C. ? cos x

1 ,则 x 的取值范围为 ( 2 5? 5? ? ? (A)(2kπ ,2kπ + )∪(2kπ + ,2kπ +π ) (B) (2kπ + ,2kπ + ) 6 6 6 6 5? 7? ? ? (C) (2kπ + ,2kπ + ) (D) (2kπ - ,2kπ + ) 以上 k∈Z 6 6 6 6
二.填空题 6.函数 y= cos(

?
6

? 2 x )的单调递增区间是



7.函数 y=a-bcos3x(b<0)的最大值为 8.函数 y= 2cos x ?1 的定义域为

3 1 ,最小值为- ,则 a= 2 2

,b=





9.将函数

f ( x) ? sin x 图象所有的点向右移动

? 个单位长度,再将所得各点的横坐标缩短 3


到原来的

1 倍(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式为 2

三.解答题 10. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

,x ? R . 11. 已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. 8 4

? π 3π ? ? ?

12.已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2sin 2 x ? a , a ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 有零点,求实数 a 的取值范围.

1.4 函数 基础过关 一.选择题

y ? A sin(? x ? ? ) 的图像和性质

1.函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为 ( A. 2? 2.函数 y=3sin(2x― 得到 ( ) (A)向左平移 B.

) D.

3? 2

C. ?

? 2

?
3

)的图象,可看作是把函数 y=3sin2x 的图象作以下哪个平移

?
3

(B)向右平移

?
3

(C)向左平移

?
6

(D)向右平移

?
6

3.关于函数 f(x)=4sin(2x+

?
3

), (x∈R)有下列命题 (2) y=f(x)可改写为 y=4cos(2x-

(1) y=f(x)是以 2π 为最小正周期的周期函数 (3)y= f(x)的图象关于(-

?
6

)

?
6

,0)对称

(4) y= f(x)的图象关于直线 x=- ( (C) (2)(3) (D) (3)

?
6

对称 )

其中真命题的个数序号为 (A) (1)(4) (B) (2)(3)(4) 4.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 式是( ). B. y ? 2cos2 x
2 ? ?sin(?x ),?1 ? x ? 0 x ?1 ? ?e , x ? 0

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 4
C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

A. y ? cos 2 x 5.函数 f ( x) ? ?

?
4

)

D. y ? 2sin2 x

,若 f (1) ? f (a) ? 2 ,则 a 的所有可能值为(



(A)1

(B) 1,?

2 2

(C) ?

2 2

(D) 1,

2 2

二.填空题 6.函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 为常数, A ? 0, ? ? 0 )在闭区间 [?? , 0] 上的图象如 图所示,则 ? = .

7.函数 y ? A sin( ?x ? ?)( ? ? 0, ? ? _____ ____。

? , x ? R) 的部分图象如图所示,则函数表达式为 2

8.函数 y=2sin(2x-

?
3

)的递增区间为_____ ____。

y

π ? ? 0, ? ? 的 ) 9. 已 知 函 数 f ( x) ? A sin ?? x? ? ? (A? 0, 2 部分图象如图所示,则 ? ?

2

O

π π 12 3

x

-2

三.解答题 10.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 图象上一个最低点为 M (

?
2

)的周期为 ? ,且

2? , ?2) . 3

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
12

] ,求 f ( x) 的最值.

11. 设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x(? ? 0) 的最小正周期为 (Ⅰ)求 ? 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移

2? . 3

y ? g ( x) 的单调增区间

? 个单位长度得到,求 2

12. 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1( x ? R) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 ? 0,

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

(Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值。 5 ?4 2?

1.5 两角和与差的三角函数 知识回顾 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? tan( ? ? ?) ?
基础过关 一. 选择题 1.Sin15?等于( )

; ; ;

A.

1 2
3 2

B.

3 2

C.

6? 2 4

D.

6? 2 4


2.Sin14?cos16?+sin76?cos74?的值是( A. B.

1 2

C.

3 2

D.-

1 2


3.sin

? ? - 3 cos 的值是( 12 12
B. — 2 C.

A.0

2

D. )

2 sin

5? 12

4. 若 tan ? ? 3 ,则 A.2 B.3 C.4

sin 2? 的值等于( cos 2 ?
D.6

5.函数 y=sinx+cosx+2 的最小值是 ( A.2- 2 B.2+ 2 二. 填空题 6. C.0 D.1



1 ? tan15? =__________________________. 1 ? tan15?
12 13 3 ? ? ? (? , ? ) ,那么 cos (? ? ) =________. 2 4

7.如果 cos ? = -

8.tan20?+tan40?+ 3 tan20?tan40?的值是____________.

? ? ?) ? 9.已知 tan? , tan ? 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的两根,则 tan(
2



三. 解答题 10、已知 tan(? ? ? ) ?

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,求 tan(? ? ) 的值。 5 4 4 4
3 5 , sin B ? ,求 sin C 和 cos C 的值。 5 13

11、在 ?ABC 中, cos A ?

12、已知

3π 12 3 π <α<β< ,cos(α-β)= ,sin(α+β)=- ,求 sin2α 的值. 4 13 5 2

1.6 二倍角的正弦、余弦、正切 知识回顾 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

sin 2? ? cos 2? ? tan 2? ?
一、选择题: 1、 (cos A. ?

=

=

; ; ;

?
6

? sin

?
6

)(cos

?
6

? sin 1 2

?
6

) =

(



3 2

B. ?

C.

1 2


D.

3 2

2、sin ? = -

3 ? ? 为第四象限角,则 sin 的值是( 5 2
B. ?

A.

10 10

3 10 10 10 - C. D. ? 10 10 10

3、已知 tan x ? 2, ,则 tan 2( x ?

?
4

) 等于
C. ?





A.

4 3

B. ?

4 3

3 4

D.

3 4

4、化简 1 ? sin 20? ? 1 ? sin 20? 得 A. 2 sin 10
?

( C. ? 2 cos10 ( )
?

) D. ? 2 sin 10
?

B. 2 cos10

?

5.函数 y=sin2x-2cos2x 的最大值是 A. 1 B. 0 C.

2 -1

D. 2 +1

二、填空题: 6.sin15?cos15?=________. 7

1- tan 2 75? = __________. tan 75?
1 5

8.已知 sin ? ? cos ? ?

? ? (0, ? ) 则 sin2 ? 的值是______.
?
2 , ? ) ,则 tan 2? 的值是


9.设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ( 三、解答题: 10.已知 sin ? ?

5 ? , ? ? ( , ? ) ,求 sin 2? , cos 2? , tan2? 的值. 13 2

11.求函数 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x 的最小值,并求使 y 取最小值时 x 的集合.

12.已知函数 f ( x) ? (1) 求 f (?

2 cos( x ?

?
12

), x ? R

?
6

) 的值; 3 3? ? ,? ? ( ,2? ) ,求 f (2? ? ) 5 2 3

(2) 若 cos ? ?

必修 4 第一章 三角函数 1.1 任意角的概念与弧度制,任意角的三角函数
1. B 2. B 3. B 4. B 5. D 6.略 7. 2 8. (? ? ,0)
2

9. (1) {? | 45? ? k ?135? ? ? ? 90? ? k ?135? k ? Z} ; (2) {? | k ? 90? ? ? ? 45? ? k ? 90? ; k ? Z} ; (3) {? | ?120? ? k ? 360? ? ? ? 150? ? k ? 360? k ? Z} 10. 若 m ? 0 ,sin ? = cot ? = 若 m ? 0 ,sin ? = cot ? =

3 5 4 ? 3 ? ? 4 3 3 5

cos ? = sec ? = cos ? = sec ? =

? ? 5 4

4 5

tan ? = csc ? =

? 5 3 ? ? 5 3

3 4

4 5 5 4

tan ? = csc ? =

3 4

11. (?? , ? )
6

12. ? ? 20 ? 2, r

S?

1 ? ? ? r 2 ? 10 r ? r 2 ,当 r ? 5,? ? 2 时, S max ? 25(cm2 ) 2

1.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式
1.A 8. 0 2. B 3. A 4. C 5. B 6. ? 10. (1)-1

3 5

7. ?
16 5

4 3

9. sinα

(2)-

11. tanα =

4 3 或 4 3

12 . 0

1.3 三角函数的图像和性质
1. B 2. B 3. D 4. A 5. D 6. [kπ -
5 ? 1 ? ,kπ + ](k ? Z) 7. a= 12 12 2

b=-1

8. [2kπ -

? ? ,2kπ + ],k ? Z 3 3

9. y ? sin(2 x ?

? ) 3

10. 解:(Ⅰ)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2x , ∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)由 ?

?
6

?x?

?
2

??

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 ? sin 2 x ? 1 , 2

∴ f ( x ) 在区间 ? ?

3 ? ? ?? . , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 ? 6 2?

11. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 因此,函数 f ( x ) 的最小正周期为 π . (Ⅱ)因为 f ( x) ?

π? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?

π? ? ? π 3π ? ? 3π 3π ? 2 sin ? 2 x ? ? 在区间 ? , ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减 4? ? ?8 8 ? ?8 4? ? 3π ? f ? ?? 2, ? 8 ? π ? 3π ? ? 3π π ? f ? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 cos ? ?1 , 4 ? 4 ? ? 2 4?

函数,又 f ?

?π? ? ?0, ?8?

故函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 . 8 4 12.解(Ⅰ) f ( x) ? 3sin2 x ? cos2 x ? a ? 1 ? 2(

? π 3π ? ? ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ) ? a ? 1 2 2

π ? 2sin(2 x ? ) ? a ? 1 6

所以 T ? 2π ? π.

2

(Ⅱ)令 f ( x) ? 0 ,即 2sin(2 x ? ) ? a ? 1=0 , 因为 ?1 ? sin(2 x ? ) ? 1 , 所以,若

π 6

则 a=1 ? 2sin(2 x ? ) ,

π 6

π 6

所以 ?1 ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ,

π 6

f ( x) 有零点,则实数 a 的取值范围是 [ ?1,3] .

1.4 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像和性质
1. A 2. D 3. C
k? ?

4. B
5? ]k ? Z 12

5. B 9.

6. 3

7. y ? ?4 sin(

? ? x? ) 8 4

8. _[ k? ?

?
12

2? 2? 2? , ?2)得A ? 2 由 T ? ? 得? ? ? ?2 3 T ? 2? 4? 4? , ?2) 在图像上得 2sin( ? ? ) ? ?2 即 sin( ? ? ) ? ?1 由点 M ( 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? 2 k? ? 故 ? ? 2 k? ? (k ? Z ) 所以 3 2 6
10.解:解:(1)由最低点为 M ( 又 ? ? (0,

π 3

?

2

) ,所以 ? ?

?

(Ⅱ)因为 x ? [0, 所以当 2x+

?
12

6

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

], 2 x ?

?

?
6

?

?
6

?[ , ] 6 6 3

? ?

6

)

时,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1;

当2x+

?
6

?

?
3

, 即x ?

?
12

时,f ( x)取得最大值 3 ;

11.解: (Ⅰ)

f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2? x ?1 ? 2cos 2? x
? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 sin(2? x ? ) ? 2 4 2? 2? 3 ? 依题意得 ,故 ? 的最小正周期为 . 2? 3 2
w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

?

(Ⅱ)依题意得: g ( x) ? 由 2 k? ?

? ?? 5? ? 2 sin ?3( x ? ) ? ? ? 2 ? 2 sin(3x ? ) ? 2 2 4? 4 ?

5? ? ≤ 2 k? ? (k ? Z ) 2 4 2 2 ? 2 7? (k ? Z ) \ 解得 k? ? ≤ x ≤ k? ? 3 4 3 12 2 ? 2 7? ] (k ? Z ) 故 y ? g ( x) 的单调增区间为: [ k? ? , k? ? 3 4 3 12 ≤ 3x ?
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

?

12. (1)解:由 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 ,得

f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2 cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? 因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

?

? ?

??

? ?? ?? ? ? ? 在区间 ?0, ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数,又 6? ? 6? ?6 2?

?? ? f (0) ? 1, f ? ? ? 2, ?6?
为-1

?? ? ? ?? f ? ? ? ?1 ,所以函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2,最小值 ?2? ? 2?

(Ⅱ)解:由(1)可知 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ?

? ?

??
? 6?

又因为 f ( x0 ) ?

6 ?? 3 ? ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? 5 6? 5 ?

由 x0 ? ?

? ? 2? 7? ? ?? ? ? , ? ,得 2 x0 ? ? ? , ? 6 ? 3 6 ? ?4 2?
? ?

从而 cos ? 2 x0 ? 所以

??

?? 4 2? ? ? ? 1 ? sin ? 2 x0 ? ? ? ? 6? 6? 5 ?

?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 3? 4 3 ? ? cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? 6 ? 6? 6? 6 6? 6 10 ? ? ??

1.1.5 两角和与差的三角函数
一、 选择题: 1.D 2.B 3.B 4.D 5.A

二、填空题: 6:

3 3

7: ?

7 2 26

8:

1 2

9:-3

三、解答题: 10.

3 22
3 1 3 2 ,且 ? ? 5 2 5 2
由 sin B ? 或

11、解:由 cos A ? 故

?
4

? A?

?
3

则0 ? B ?

?
6

5? ? B ?? 6

5 5 1 ? ,且 0 ? 13 13 2

由于 0 ? A ? B ? ? ,故 0 ? B ?

?
6

,即 ? B 为锐角。

cos B ? 1 ? sin 2 B ?

12 13

2 s i nA ? 1 ? c o s A?

4 5

sin(A ? B) ? sin A cos B ? sin B cos A
4 12 5 3 63 ? ? ? ? ? 5 13 13 5 65

cos(A ? B) ? cos A ? cos B ? sin A sin B
? 3 12 4 5 16 ? ? ? ? 5 13 5 13 65

又由 C ? ? ? ( A ? B)

sin C ? sin[? ? ( A ? B)] ? sin( A ? B) ?
16 65

63 65

cos C ? ? cos( A ? B) ? ?
12.

56 . 65

1.6 二倍角的正弦、余弦、正切
一、选择题: 1.C 2.B 3.D 4.A 二、填空题: 6: 5. C 8: ?

1 4

7. ? 2 3

24 25

9: 3

三、解答题: 10. sin 2? ? ? 11.解:

120 119 120 , cos 2? ? , tan 2? ? ? 168 169 119 5? ? k? (k ? z ) }时,函数取得最小值,最小值为 2- 2 . {x| x ? 8

12. (1) f (?

?
6

) ? 2 cos( ?

?
6

?

?
12

) ?1

(2) f (2? ?

?
3

) ? 2 cos( 2? ?

?
4

) ? cos 2? ? sin 2? ?

17 25


必修4第一章三角函数同步练习及答案

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