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河北省广平县第一中学2015-2016学年高二上学期第四次月考数学试题(理)


河北省广平一中 2015—2016 学年第一学期高二数学第四次月考试卷(理) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1、抛物线 x2 ? 8 y 的焦点 F 的坐标是 ( )

A 、 (?2, 0)

B 、 (2, 0)

C 、 (0

, ?2)
( C.(1,1,-2)

D 、 (0, 2)
)

2.与向量 a =(0,2,-4)共线的向量是 A.(2,0,-4) B.(3,6,-12)

?

1 D.(0, , ? 1) 2

3.下列说法中正确的是 A、 一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B、 “ a ? b ”与“ a ? c ? b ? c ”不等价





C、 “ a ? b ? 0 ,则 a , b 全为 0 ”的逆否命题是“若 a , b 全不为 0 , 则 a ? b ? 0 ”
2 2 2 2

D、 一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 4.“ a ? 1 ”是“函数 y ? cos2 ax ? sin2 ax 的最小正周期为 ? ”的( A、必要不充分条件 C、充要条件
2



B、

充分不必要条件

D、既不充分也不必要条件
2

5、设 ? ??0, ? ? ,则方程 x sin ? ? y cos ? ? 1 不能表示的曲线为( A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆



6、已知数列 an 中, a3 ? 2, a7 ? 1 ,且数列 ?

? ?

?

1 ? ? 是等差数列,则 a11 ? ( ? an ? 1 ?
D、



A、 ?

2 5

B、

1 2

C、 5

2 3
). D. k ? 0 ( )

7.方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是( 1? k 1? k
B. k ? 1或k ? ?1 C.

A. ? 1 ? k ? 1

k ?0

x2 ? y 2 ? 1的离心率为 8. 已知实数 4, m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 m

A、

30 6

B、 7
2

C、

30 或 7 6

D、

5 或7 6

x 2 9.设 P 为双曲线 -y =1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 M 的轨迹方程 4 是( ) A.x -4y =1
2 2

B.4y -x =1

2

2

y C.x - =1 4
2

2

x 2 D. -y =1 2 )

2

10.正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为( A.

2 3

B.

3 3

C.

6 3

D.

2 3

11.如图,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点.若

A1 B1 =a A1 D1 =b, A1 A =c,则下列向量中与 B1 M 相等的向量是
( A.- )

1 1 a+ b+c 2 2

B.

1 1 a+ b+c 2 2
1 1 a- b+c 2 2
)

C.

1 1 a- b+c 2 2
2

D.-

12.方程 4-x =k(x-2)+3 有两个不等实根,则 k 的取值范围为(

A.(

5 3 ,] 12 4

3 B.[ , ?? ) 4

5 C.( ??, ] 12

D.(

5 3 ,) 12 4

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.顶点在原点,对称轴是 y 轴,并且经过点 P(?4, ?2) 的抛物线方程为
3 2



14.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是

15. 在△ABC 中,三边 a、b、c 所对的角分别为 则角 C 的大小为 .





,若



16. 在 ?ABC 中 , A、B、C 的 对 边 分 别 为 a、b、c , 且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B ,

??? ? ??? ? BA ? BC ? 2 ,则 ?ABC 的面积为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答 写在答题卡的制定区域内. 17. (本小题满分 10 分) (1)已知椭圆的焦距是 8,离心率等于 0.8 ,求该椭圆的标准方程; (2)求与双曲线

y2 x2 ? ? 1 有共同的渐近线,且经过点 M (3,?2) 的双曲线的方程. 4 3

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 在
3 2

x??

2 3 与 x ? 1 处都取得极值.

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x) 在区间的最大值与最小值.

19. (本小题满分 12 分) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x,(a ? R) . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ?

1? a ,求函数 h( x) 的单调区间; x

20. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°,Q 为 AD 的中点. (1)若 PA=PD,求证:平面 PQB⊥平面 PAD;

(2)若平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA=PD=AD=2,点 M 在线段 PC 上,且 PM=3MC, 求三棱锥 P﹣QBM 的体积.

21.(本小题 12 分) 如图,ABCD 是边长为 3 的正方形,DE⊥平面 ABCD,AF∥DE, DE=3AF,BE 与平面 ABCD 所成角为 60°. (1)求证:AC⊥平面 BDE; (2)求二面角 F?BE?D 的余弦值.

22. (本小题满分 12 分)已知椭圆 (1)求椭圆方程;

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且过点(



) .

(2)设不过原点 O 的直线 l:y=kx+m(k≠0) ,与该椭圆交于 P、Q 两点,直线 OP、OQ 的斜率 依次为 k1、k2,满足 4k=k1+k2,试问:当 k 变化时,m 是否为定值?若是,求出此定值,并证 明你的结论;若不是,请说明理由.
2

参考答案 一.选择题 (本大题共 10 小题, 每小题 4 分, 题号 答案 1 D 2 D 3 D 4 B 5 C

3? 共 40 分) 4
6 B 7 B 8 C 9 A 10 C 11 A 12 A

二.填空题(本大题有 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分) 13. x2 ? ?8 y 14.

a ? ?3 或 a ? 6

15

3? 16. 2 2 4

三、解答题(本大题共 4 题,共 44 分) 17.(1)

y2 x2 x2 y2 ? 1 ------6 分 ? ?1或 ? 25 16 25 16

x2 y2 ? ? 1 ----6 分 (2) 6 8

18. 19.解:(Ⅰ)当 a=2 时,f(x)=x﹣2lnx,f(1)=1,切点(1,1), ∴ ,∴k=f′(1)=1﹣2=﹣1, ???1 分

??????2 分

∴曲线 f(x)在点(1,1)处的切线方程为:y﹣1=﹣(x﹣1),即 x+y﹣2=0.???3 分 (Ⅱ) ,定义域为(0,+∞),

?????4 分 ①当 a+1>0,即 a>﹣1 时,令 h′(x)>0, ∵x>0,∴x>1+a 令 h′(x)<0,∵x>0,∴0<x<1+a. ②当 a+1≤0,即 a≤﹣1 时,h′(x)>0 恒成立, 分 综上:当 a>﹣1 时,h(x)在(0,a+1)上单调递减,在(a+1,+∞)上单调递增. 当 a≤﹣1 时,h(x)在(0,+∞)上单调递增. 分 ???????7 ???????5 分 ???????6

20、解答:解: (1)∵PA=PD, ∴PQ⊥AD, 又∵底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°,∴BQ⊥AD,PQ∩BQ=Q, ∴AD⊥平面 PQB 又 AD ? 平面 PAD, 4分

∴平面 PQB⊥平面 PAD;————————————————— (2)∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PQ⊥AD, ∴PQ⊥平面 ABCD,BC? 平面 ABCD,∴PQ⊥BC, 又 BC⊥BQ,QB∩QP=Q,∴BC⊥平面 PQB, 又 PM=3MC, ∴VP﹣QBM=VM﹣PQB=

——————————12 分 21.解:(1)证明:因为 DE⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD,所以 DE⊥AC. 所以 AC⊥BD. 又 BD,DE 相交且都在平面 BDE 内,从而 AC⊥平面 BDE. ----------4 因为 ABCD 是正方形,

(2)因为 DA,DC,DE 两两垂直,所以建立空间直角坐标系 Dxyz,如图所示. 因为 DE⊥平面 ABCD,所以 BE 与平面 ABCD 所成角就是∠DBE.已知 BE 与平面 ABCD 所成角为 60°,所以∠DBE=60°,所以 = 3. 由 AD=3 可知 DE=3 6,AF= 6. 由 A(3,0,0),F(3,0, 6),E(0,0,3 6),B(3,3,0),C(0,3,0), 得=(0,-3, 6),=(3,0,-2 6).设平面 BEF 的法向量为 n=(x,y,z),

DE DB

-------------------6

?-3y+ 6z=0, 则即? 令 z= 6,则 n= (4,2, 6). ?3x-2 6z=0,
因为 AC⊥平面 BDE,所以为平面 BDE 的法向量,=(3,-3,0),----------10 6 13 所以 cos〈n, 〉== = . 3 2× 26 13 因为二面角为锐角,所以二面角 FBED 的余弦值为 13 .------------------12 13

22 答: 解: (1)依题意可得

,解得 a=2,b=1

所以椭圆 C 的方程是
2

?(4 分)

(2)当 k 变化时,m 为定值,证明如下:



得, (1+4k )x +8kmx+4(m ﹣1)=0.?(6 分)

2

2

2

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) .则 x1+x2=

,x1x2=

?(?) ?(7 分)

∵直线 OP、OQ 的斜率依次为 k1,k2,且 4k=k1+k2, ∴4k= = ,得 2kx1x2=m(x1+x2) ,?(9 分)

将(?)代入得:m = ,?(11 分) 经检验满足△>0.?(12 分)

2


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