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2010年全国高中数学联赛试题参考答案

时间:2017-09-03


2010 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)
考试时间:2010 年 10 月 17 日 8:00—9:20

一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.函数 f ( x) ?

x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是______________.

2.已知函数 y ? (a cos2 x ? 3)sin x 的最小值为 ?3 ,则实数 a 的取值范围是_____________. 3.双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点) 的个数是___________. 4.已知 {an } 是公差不为 0 的等差数列,{bn } 是等比数列,其中 a1 ? 3, b1 ? 1, a2 ? b2 ,3a5 ? b3 ,且存在常数

? , ? 使得对每一个正整数 n 都有 an ? log? bn ? ? ,则 ? ? ? ? ____________.
5. 函数 f ( x) ? a2 x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ?[?1,1] 上的最大值为 8,则它在这个区间上的最小值 是___________________. 6. 两人轮流投掷骰子, 每人每次投掷两颗, 第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜, 否则轮由另一人投掷. 先投掷人的获胜概率为_________________. 7. 正 三 棱 柱 ABC ? A 1B 1C1 的 9 条 棱 长 都 相 等 , P 是 CC1 的 中 点 , 二 面 角 B ? A 1P ? B 1 ?? , 则

sin ? ? _____________.
8.方程 x ? y ? z ? 2010 满足 x ? y ? z 的正整数解 ( x, y, z ) 的个数是_____________.

二、解答题(本题满分 56 分) 9.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,当 0 ? x ? 1 时, | f ?( x) |? 1 ,试求 a 的 最大值. 10. (本小题满分 20 分)已知抛物线 y ? 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) ,其中 x1 ? x2 且 x1 ? x2 ? 4 .
2

线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求△ ABC 面积的最大值. 11. (本小题满分 20 分)证明: 方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 恰有一个实根 r , 且存在唯一的严格递增正整数列 {an } ,
3

使得

2 ? r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? . 5

2010 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)
考试时间:2010 年 10 月 17 日 9:40—12:10 一、(本题满分 40 分) 如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O , K 是边 BC 上一点(不是边 BC 的中点), D 是线段 AK 延长 线上一点, 直线 BD 与 AC 交于点 N , 直线 CD 与 AB 交于点 M .求证: 若 OK⊥MN ,则 A, B, D, C 四 点共圆.

二、(本题满分 40 分) 设 k 是给定的正整数, r ? k ? 正整数 m ,使得 f
(m)

1 (l) (l ?1) (1) .记 f (r ) ? f (r ) ? r ? (r )), l ? 2 .证明:存在 ?r ? ? , f (r ) ? f ( f 2

?1? (r ) 为一个整数.这里, ? ?1? ? ?1. ? x? ? 表示不小于实数 x 的最小整数,例如 ? ? ? 1, ? ?2?

三、(本题满分 50 分) 给定整数 n ? 2 ,设正实数 a1 , a2 ,?, an 满足 ak ? 1, k ? 1, 2,?, n ,记

Ak ?
n n

a1 ? a2 ? ? ? ak , k ? 1, 2,? , n. k
k

求证:

?a ? ? A
k ?1 k k ?1

?

n ?1 . 2

四、(本题满分 50 分) 一种密码锁的密码设置是在正 n 边形 A 1 A2 ? An 的每个顶点处赋值 0 和 1 两个数中的一个,同时在每 个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问:这 种密码锁共有多少种不同的密码设置.

2010 年全国高中数学联合竞赛 一试试题参考答案与评分标准 说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标 准的评分档次给分,不要增加其他中间档次。 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档 次评分,解答题中第 9 小题 4 分为一个档次,第 10、11 小题 5 分为一个档次,不要增加其他中间档次。 一、填空题 1. [?3, 3] . 3. 9800 . 5. ? 2. ?

3 ? a ? 12 2

4. 3 ? 3 3 . 6.

1 . 4

12 . 17

7.

10 . 4

8. 336675 .

1. 易知 f ( x)的定义域是 ?5, 8? ,且f ( x)在?5, 8?上是增函数,从而可知 f ( x) 的值域为[-3, 3 ]. 2. 令 sinx=t,则原函数化为 g(t)=(-at 2+a-3)t,即 g(t)=-at 3+(a-3)t. 由-at 3+(a-3)t ? -3, -at(t 2-1)-3(t-1) ? 0, (t-1)(-at(t +1)-3) ? 0 及 t ? 1 ? 0 知 -at(t +1)-3 ? 0 即 a(t ? t ) ? ?3 .
2

(1)

当 t=0,-1 时(1)总成立: 对 0 ? t ? 1,0 ? t 2 ? t ? 2 ; 对 ? 1 ? t ? 0,? 从而可知 ? 3. 由对称性知,只需先考虑 x 轴上方的情况,设 y ? k (k ? 1, 2,?,99) 与双曲线右半支交于点 Ak ,与直 线 x ? 100 交于点 Bk ,则线段 Ak Bk 内部的整点个数为 99 ? k ,从而在 x 轴上方区域内部整点的个数为

1 2 ? t ? t ? 0. 4

3 ? a ? 12 . 2

? (99 ? k ) ?99 ? 49,
k ?1

99

又 x 轴上有 98 个整点, 则所求整点个数为 2 ? 49 ? 99+98=9800 . 4. 设 ?an ? 的公差为d , ?bn ? 的公比为q, 则 3+d=q, (1) 2 3(3+4d)=q ,(2) (1)代入(2)得

9 ? 12d ? d 2 ? 6d ? 9,求得d ? 6, q ? 9.
从而有 3 ? ( 6 n ?1 ) ? logα 9n?1 ? β 对一切正整数 n 都成立, 即 6n ? 3 ? (n ? 1) logα 9 ? β 对一切正整数 n 都成立。 从而 logα 9 ? 6,?3 ? ? logα 9 ? β , 求得 α ? 3 3,β ? 3,α ? β ? 3 3 ? 3 . 5.
x 令 a ? y ,则原函数化为 g ( y ) ? y ? 3 y ? 2, g ( y )在( ?
2

3 ,?? ) 上是递增的, 2

当 0<a<1 时, y ? [ a, a ?1 ],

g ( y ) max ? a ? 2 ? 3a ?1 ? 2 ? 8 ? a ?1 ? 2 ? a ?
所以 g ( y ) min ? ( ) ? 3 ?
2

1 , 2

1 2

1 1 ?2? ? ; 2 4

当 a ? 1时,y ?[ a , a ],

?1

g ( y)max ? a2 ? 3a ? 2 ? 8 ? a ? 2 ,
1 ? 3 ? 2 ?1 ? 2 ? ? , 4 1 综上 f ( x)在x ?[-1,1]上的最小值为 ? . 4
所以 g ( y ) min ? 2
?2

6. 同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为

21 7 ? ,从而先投掷人的获胜概率为 36 12

7 5 2 7 5 4 7 ? ( ) ? ? ( ) ? ? ... 12 12 12 12 12 7 1 84 = ? . ? 12 1 - 25 119 144

=

12 . 17

7. 解一:如图,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 中点 O 为原点,OC 所在直线为 y 轴,建立空间直角坐 标系。设正三棱柱的棱长为 2,则 B(1,0,0),B1(1,0,2),A1(-1,0,2),P(0, 3 ,1), 从而,

BA 1 ? (?2,0,2), BP ? (?1, 3,1), B1 A 1 ? (?2,0,0), B1 P ? (?1, 3, ? 1) .
设 分 别 与 平 面 BA1P 、 平 面 B1A1P 垂 直 的 向 量 是

m ? ( x1, y1, z1 ), n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则
? ?m ? BA1 ? ?2 x1 ? 2 z1 ? 0, ? ? ?m ? BP ? ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0, ? ?n ? B1 A1 ? ?2 x2 ? 0, ? ? ?n ? B1 P ? ? x2 ? 3 y2 ? z2 ? 0,
由此可设 m ? (1,0,1), n ? (0,1, 3), 所以 m ? n ? m ? n cosα , 即 3?

2 ? 2 cosα ? cosα ?
10 . 4

6 . 4

所以 sin α ?

解二:如图 PC ? PC1 , PA 1 ? PB. 设 A1B与AB1 交与点 0,则

OA 1 ? OB, OA ? OB 1, A 1 B ? AB 1,
因为 PA ? PB 1 , 所以PO ? AB 1, 从而 AB1 ? 平面PA 1B . 过 0 在平面 PA1 B 上作 OE ? A1P, 垂足为E .

B ? A1P ? B1 的平面角. 连接 B1E, 则?B1EO为二面角
设 AA1 =2,则易求得

PB ? PA 1 ? 5, A 1O ? B 1O ? 2 , PO ? 3.

在直角 ?PA 1O中,A 1O ? PO ? A 1 P ? OE , 即 2 ? 3 ? 5 ? OE,?OE ?

6 . 5
2

又 B1O ?

2 ,? B1E ? B1O 2 ? OE ? 2 ?
B1O 2 10 ? ? . B1 E 4 5 4 5

6 4 5 ? . 5 5

sin α ? sin ?B1 EO ?

2 8.首先易知 x+y+z=2010 的正整数解的个数为 C2009 ? 2009 ? 1004.

把 x+y+z=2010 满足 x ? y ? z 的正整数解分为三类: (1)x,y,z 均相等的正整数解的个数显然为 1; (2)x,y,z 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数,易知为 1003; (3)设 x,y,z 两两均不相等的正整数解为 k. 易知 1+3 ? 1003+6k=2009 ? 1004, 6k=2009 ? 1004-3 ? 1003-1 =2006 ? 1005-2009+3 ? 2-1=2006 ? 1005-2004, k=1003 ? 335-334=335671. 从而满足 x ? y ? z 的正整数解的个数为 1+1003+335671=336675.

二、解答题 9. 解一: f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,

? f ' (0) ? c, ? 1 3 ? 由 ? f ' ( ) ? a ? b ? c, ? 2 4 ? ? f ' (1) ? 3a ? 2b ? c



(4 分)

1 3a ? 2 f ' (0) ? 2 f ' (1) ? 4 f ' ( ). 2
所以 3 a ? 2 f ' (0) ? 2 f ' (1) ? 4 f ' ( )

(8 分)

1 2

1 ? 2 f ' (0) ? 2 f ' (1) ? 4 f ' ( ) 2
? 8,

8 a? . 3
又易知当 f ( x ) ? 解二:

(12 分)

8 8 3 x ? 4 x 2 ? x ? m (m 为常数)满足题设条件,所以 a 的最大值为 . (16 分) 3 3

f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,
设 g ( x) ? f ' ( x) ? 1 ,则当0 ? x ? 1时, 0 ? g ( x) ? 2. 设 z ? 2 x ? 1,则 x ?

z ?1 ,?1 ? z ? 1. 2 z ? 1 3a 2 3a ? 2b 3a h( z ) ? g ( )? z ? z? ? b ? c ? 1. 2 4 2 4

(4 分) (8 分)

容易知道当 ? 1 ? z ? 1时, 0 ? h( z) ? 2,0 ? h(? z) ? 2.

0? 从而当 ? 1 ? z ? 1时,
即0 ?

h( z ) ? h( ? z ) ? 2, 2

3a 2 3a z ? ? b ? c ? 1 ? 2, 4 4 3a 3a ? b ? c ? 1 ? 0, z 2 ? 2, 从而 4 4 8 2 由 0 ? z ? 1知a ? . (12 分) 3 8 8 3 2 又易知当 f ( x ) ? x ? 4 x ? x ? m (m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值为 . (16 分) 3 3
10. 解一:设线段 AB 的中点为 M(x0,y0),则 x0=

x1 ? x2 y ? y2 =2,y0= 1 , 2 2

kAB=

y2 ? y1 y ?y 6 3 ? 22 12 ? ? . x2 ? x1 y2 y1 y2 ? y1 y0 ? 6 6
y0 (x? 2). 3

线段 AB 的垂直平分线的方程是 y? y0=? (1)

易知 x=5,y=0 是(1)的一个解,所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且 点 C 坐标为(5,0). (5 分) 由(1)知直线 AB 的方程为 y? y0=

y 3 (x? 2),即 x= 0 (y? y0)+2. 3 y0
(3)

(2)

(2)代入 y2=6x 得 y2=2y0(y? y0)+12,即 y2? 2y0y+2y02? 12=0. 依题意,y1,y2 是方程(3)的两个实根,且 y1≠y2,所以 ?=4y02? 4(2y02? 12)=? 4y02+48>0,

? 2 3 <y0<2 3 .

AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

? (1 ? (

y0 2 ) )( y1 ? y2 ) 2 3

? (1 ?

2 y0 ) ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 9

?

?

? (1 ?
?

2 y0 2 2 )(4 y0 ? 4(2 y0 ? 12)) 9

2 2 2 (9 ? y0 )(12 ? y0 ). 3
2 (5 ? 2) 2 ? (0 ? y0 ) 2 ? 9 ? y0 .

定点 C(5,0)到线段 AB 的距离 h= CM ? S?ABC ? (10 分)

1 1 2 2 2 AB ? h ? (9 ? y0 )(12 ? y0 ) ? 9 ? y0 2 3

?

1 1 2 2 2 (9 ? y0 )(24 ? 2 y0 )(9 ? y0 ) 3 2

2 2 2 ? 24 ? 2 y0 ? 9 ? y0 1 1 9 ? y0 ? ( )3 3 2 3

?

14 7. 3

(15 分)

2 2 当且仅当 9+y 0 =24? 2y 0 ,即 y0= ? 5,A(

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7 ), B( , 5 ? 7) 或 3 3

A(

6 ? 35 6 ? 35 ,?( 5 ? 7 )), B( ,? 5 ? 7 ) 时等号成立. 3 3
14 7. 3
(20 分)

所以?ABC 面积的最大值为

解二:同解一,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且点 C 坐标为(5,0). 设 x1=t 1 ,x2=t 2 ,t1>t2,t 1 +t 2 =4,则
2 2 2 2

(5 分)

5    0   1 1 2 S?ABC= t1    的绝对值, 6t1   1   2 2 t2    6t2    1  
S2?ABC= ( (5 6t1 ? 6t1 t 2 ? 6t1t 2 ? 5 6t 2 ))
2 2

(10 分)

1 2

2

3 (t1 ? t 2 ) 2 (t1t 2 ? 5) 2 2 3 = (4 ? 2t1t 2 )( t1t 2 ? 5)( t1t 2 ? 5) 2
=

3 14 3 ( ) , 2 3 14 7. S?ABC≤ 3 ?
2 2 当且仅当 (t1 ? t2 ) 2 ? t1t2 ? 5且t1 ? t2 ? 4,

(15 分)

即 t1 ?

6 ? 35 6 ? 35 7? 5 7? 5 , t2 ? ? , A( , 5 ? 7 ), B( , 5 ? 7) 或 3 3 6 6

A(

6 ? 35 6 ? 35 ,?( 5 ? 7 )), B( ,? 5 ? 7 ) 时等号成立. 3 3
14 7. 3
(20 分)

所以?ABC 面积的最大值为 11.

证明: 令 f(x)=2x3+5x? 2,则 f ' ( x) =6x2+5>0,所以 f(x)是严格递增的.又 f(0)=? 2<0, f ( ) ? 所以 2r3+5r? 2=0,

1 2

3 1 >0,故 f(x)有唯一实数根 r ? (0, ). 4 2

(5 分)

2 r ? 5 1? r3
=r+r4+r7+r10+···. 故数列 an=3n? 2(n=1,2,···)是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 a1 ? a2 ? ... ? an ? ...和b1 ? b2 ? ... ? bn ? ... 满足 (10 分)

r a1 ? r a2 ? r a3 ? ... ? r b1 ? r b2 ? r b3 ? ... ?
去掉上面等式两边相同的项,有

2 , 5

r s1 ? r s2 ? r s3 ? ... ? r t1 ? r t2 ? r t3 ? ... ,
这里 s1<s2<s3<···,t1<t2<t3<···,所有的 si 与 tj 都是不同的. 不妨设 s1<t1,则 (15 分)

r s1 ? r s1 ? r s2 ? ... ? r t1 ? r t2 ? ... ,

1 ? r t1 ?s1 ? r t2 ?s1?? ? ... ? r ? r 2 ? ... ?
故满足题设的数列是唯一的.

1 1 ?1 ? ? 1 ? 1 ,矛盾. 1 1? r 1? 2
(20 分)

2010 年全国高中数学联合竞赛

加试试题参考答案与评分标准 说明: 1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分。 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档 次评分,10 分为一个档次,不要增加其他中间档次。 一、 证明:用反证法.若 A,B,D,C 不四点共圆,设 三角形 ABC 的外接圆与 AD 交于点 E,连接 BE 并延长交 直线 AN 于点 Q,连接 CE 并延长交直线 AM 于点 P,连接 PQ. 因为 PK2=P 的幂(关于⊙O)+K 的幂(关于⊙O) =(PO2? r2)+(KO2? r2), 同理 QK2=(QO2? r2)+(KO2? r2), 所以 PO2? PK2=QO2? QK2, 故 OK⊥PQ. (10 分) 由题设,OK⊥MN,所以 PQ∥MN,于是

AQ AP ? . QN PM
由梅内劳斯(Menelaus)定理,得



NB DE AQ ? ? ?1 BD EA QN
MC DE AP ? ? ?1 CD EA PM
由①,②,③可得





NB MC ? , BD CD
所以

(30 分)

ND MD ? ,故△DMN ∽ △DCB,于是∠DMN=∠DCB,所以 BC∥MN,故 OK⊥BC,即 K 为 BC BD DC

的中点,矛盾!从而 A,B,D,C 四点共圆. (40 分) 2 注 1:“PK =P 的幂(关于⊙O)+K 的幂(关于⊙O)”的证明:延长 PK 至点 F,使 得 PK?KF=AK?KE, ④ 则 P,E,F,A 四点共圆,故 ∠PFE=∠PAE=∠BCE, 从而 E,C,F,K 四点共圆,于是 PK?PF=PE?PC, ⑤ ⑤-④,得 PK2=PE?PC? AK?KE =P 的幂(关于⊙O)+K 的幂(关于⊙O). 注 2:若点 E 在线段 AD 的延长线上,完全类似.

二、 证明:记 v2 ( n) 表示正整数 n 所含的 2 的幂次。则当 m=v2(k)+1 时,f(m)(r)为整数. 下面我们对 v2(k)=v 用数学归纳法. 当 v=0 时,k 为奇数,k+1 为偶数,此时 f(r)= ? k ? 假设命题对 v? 1(v≥1)成立. 对于 v≥1,设 k 的二进制表示具有形式 ? k ? 2v ? α v?1 ? 2v?1 ? α v?2 ? 2v?2 ? ?, 这里, α i =0 或者 1,i=v+1,v+2,?. 于是 f(r)= ? k ? (20 分)

? ?

1 ?? 1? ? 1? ??k ? ? ? ? k ? ?(k ? 1) 为整数.(10 分) 2 ?? 2? ? 2?

? ?

1 ?? 1? ? 1? ??k ? ? ? ? k ? ?(k ? 1) 2 ?? 2? ? 2?

1 k ? ? k2 ? k 2 2 1 ? ? 2v ?1 ? (α v ?1 ? 1) ? 2v ? (α v ?1 ? α v ? 2 ) ? 2v ?1 ? ... ? 2 2 v ? ... 2 1 ? k '? , ? ① 2 ?
这里 k ' ? 2
v ?1

? (α v?1 ?1) ? 2v ? (α v?1 ? α v?2 ) ? 2v?1 ? ...? 22v ? ... .显然 k ' 中所含的 2 的幂次
1 ( v ?1) 经过 f 的 v 次迭代得到整数,由①知, f (r ) 是一个整数, 2
(40 分)

为 v ? 1 .故由归纳假设知, r ' ? k '? 这就完成了归纳证明.

三、 证明:由 0 ? ak ? 1 知,对 1 ? k ? n ? 1 ,有

0 ? ? ai ? k , 0 ?
i ?1

k

i ? k ?1

?a

n

i

? n?k .

(10 分)

注意到当 x, y ? 0 时,有 x ? y ? max{ x, y} ,于是对 1 ? k ? n ? 1 ,有

1 n ?1 1? k An ? Ak ? ? ? ?? ai ? ? ai n i ?k ?1 ? n k ? i ?1 ? 1 n ?1 1? k a ? ? ?? ai ?i ? n i ?k ?1 ? k n ? i ?1

?1 n ?1 1? k ? ?max ? ? ai , ? ? ?? ai ? ? n i ?k ?1 ? k n ? i ?1 ? ?1 ?1 1? ? ? max? (n ? k ), ? ? ?k ? ?n ?k n? ?
? 1?
n n

k n
n

(30 分)



? ak ? ? Ak ? nAn ? ? Ak
k ?1 k ?1 k ?1

?

? ( An ? Ak ) ? ? An ? Ak
k ?1 k ?1

n ?1

n ?1

n ?1 ? k ? n ?1 ? ? ?1 ? ? ? n? 2 k ?1 ?

(50 分)

四、 解:对于该种密码锁的一种密码设置,如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同,在它们所在的边上标 上 a,如果颜色不同,则标上 b,如果数字和颜色都相同,则标上 c.于是对于给定的点 A1 上的设置(共 有 4 种),按照边上的字母可以依次确定点 A2,A3,?,An 上的设置.为了使得最终回到 A1 时的设置与 初始时相同,标有 a 和 b 的边都是偶数条.所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记 a,b,c,使得标有 a 和 b 的边都是偶数条的方法数的 4 倍. (20 分) 设标有 a 的边有 2i 条,0≤i ≤ ? ? ,标有 b 的边有 2j 条,0≤j≤ ? ?2? ?

?n?

? n ? 2i ? .选取 2i 条边标记 a 的有 2 ? ?

2i 2j 种方法,在余下的边中取出 2j 条边标记 b 的有 Cn?2i 种方法,其余的边标记 c.由乘法原理,此时共有 Cn 2i 2j Cn Cn ? 2i 种标记方法.对 i,j 求和,密码锁的所有不同的密码设置方法数为

? n ? 2i ? ? ? ? ? 2 ? ? 2i ? ? 2j 4? ? C n ? C n ? 2 i ? . i ?0 ? j ?0 ? ? ? ?n? ?2? ? ?

①?

?
0 这里我们约定 C0 =1.

(30 分)

当 n 为奇数时,n? 2i>0,此时
? n ? 2i ? ? 2 ? ? ? j ?0

?C

2j n ? 2i

? 2n?2i ?1 .



代入①式中,得
n ? 2i ? ?n? ?n? ? ? ? ? ?2? ?2? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2i ? ? 2j 2 i n ? 2 i ?1 2i n ? 2i 4? ? Cn ? Cn ?2i ? ? 4? (Cn 2 ) ? 2? (Cn 2 ) i ?0 ? j ?0 i ?0 i ?0 ? ? ? ?n? ?2? ? ?

k n?k k n?k ? ? Cn 2 ? ? Cn 2 (?1) k ? (2 ? 1) n ? (2 ? 1) n k ?0
n

n

n

k ?0

? 3 +1. (40 分) n n 当 n 为偶数时,若 i< ,则②式仍然成立;若 i= ,则正 n 边形的所有边都标记 a,此时只有一种标 2 2
记方法.于是,当 n 为偶数时,所有不同的密码设置的方法数为
n? ? n ? 2i ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?1 ? 2 ? ? ? ? 2i ? ? ? ? 2j 2 i n ? 2 i ?1 4? ? C n ? C n ? 4 ? 1 ? ( C 2 ) ? ? ? ? ? 2i n i ?0 ? j ?0 i ?0 ? ? ? ? ? ? ? ?n? ?2? ? ?

2i n ? 2i ?1 ? 2 ? 4? (Cn 2 ) ? 3n ? 3 . i ?0

?n? ?2? ? ?

综上所述,这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是:当 n 为奇数时有 3n+1 种;当 n 为偶数时有 3n+3 种. (50 分)


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