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平面向量(附例题

时间:2013-05-17


向量的线性运算
一.教学目标 1.理解向量的概念; 2.掌握向量的线性运算; 3.理解向量线性运算的几何意义、向量共线的含义、平行 向量基本定理; 4.理解平面向量基本定理, 掌握平面向量的正交分解及其 坐标表示、平面向量的坐标运算; 5.理解用坐标表示平面向量的共线条件。 二.知识清单 1.向量基本概念 (1)向量的定义:既有 又有 称为向量; (2)向量的大小(或称

模):有向线段的 表示 向量的大小; (3)零向量与单位向量: 叫做单位向量; ( 4 ) 共 线 向 量 与 叫做共线向量(或平行向量), 叫做零向量, 相 等 向 量 :

(1)平面向量基本定理 如果 是一平面内的 的向 量 , 那 么 该 平 面 内 的 任 一 向 量 a , 存 在 ,使 。 (2)平面向量的正交分解 定义: 把一个向量分解为 , 叫做把向量正交分解。 (3)向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相 同的两个_______作为基底。对于平面内的任一个向量, 由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 x, y 使得____________,这样,平面内的任一向量 a 都可由 __________唯一确定, 我们把有序数对________ 叫做向量的坐标,记作___________此式叫做向量的坐标 表示, 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, 叫做 a 在 y 轴上 y 的坐标。 (4)向量的坐标运算 向量坐标的加减与数乘 若 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a+b=(a1+b1, a2+b2),a-b=(a1-b1,a2-b2),λ a=(λ a1,λ a2). (5)用平面向量坐标表示向量共线条件 两个向量 a, b 平行的条件: a=λ b,b≠0. 若 a=(a1,a2),b=(b1,b2),代入上式,得(a1, a2)=λ (b1,b2)=(λ b1,λ b2), 即 a1= λ b1 , a2= λ b2, , 整 理 得 a1b2-a2b1=0 ① ①式就是两个向量平行的条件。 若向量 b 不平行于坐标轴,即 b1≠0,b2≠0,①式 可化为 a1:b1=a2:b2,即两个向量平行的条件是,相应坐标 成比例。 三.典型例题 例 1.给出下列命题:①若|a|=|b|,则 a=b; ②若 A、B、 C、D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形为平行四 边形的充要条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④ a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b; ⑤若 a∥b,b∥c, 则 a∥c。 其中,正确命题的序号是____________ 例 2. 已知△ABC 中, 为 BC 的中点, 为 AD 的中点. D E 设 =a, =b,求 BE .

叫做相等向量。 2.向量的线性运算 (1)向量的加法 a.向量加法的三角形法则、平行四边形法则和多边形法 则。 b.向量加法满足的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (2)向量的减法 a.定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个 向量的相反向量。 一个向量等于终点位置向量减始点位置向量, 即 AB = OB - OA 。 b.三角形法则:“共始点,连终点,指向被减”。 (3)数乘向量 a.定义:一般地,实数λ 和向量 a 的乘积是一个向量, 记作λ a. b.数乘向量满足的运算律: (λ +μ )a= λ (μ a)= λ (a+b)= 3.向量共线的条件与轴上向量坐标运算 (1)向量共线的条件 平行向量基本定理: 如果 , 则 ; 反之, 如果 ,且 ,则一定存在 ,使 。 (2)轴上向量的坐标运算 4. 向量的分解与向量的坐标运算

例 3. 已知向量 a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2, 其中 e1、e2 不共线,求实数λ 、μ ,使 c=λ a+μ b.

例 4. 设 a,b 是两个不共线向量,若 a 与 b 起点相同, t∈R,t 为何值时,a,tb,(a+b)三向量的终点在一条直 线上?
1

A. (8,1)

B. (?8,1)

1 1 ( 4, ? ) (?4, ) 2 D. 2 C.

5.已知向量 a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a-2b 的 例 5.已知点 A(2,3),B(-1,5),且 AC = 3 AB , 求点 C 的坐标. 坐标是( ) A.(7,1) B.(-7,-1)C.(-7,1)D.(7,-1) 6.已知 a=(-1,3),b=(x,-1),且 a∥b,则 x 等于( ) 1 1 A.3 B.-3 C. D.3 3 7.在平行四边形 ABCD 中,若 则必有( )

α α β β 例 6. 已知向量 a=(cos , sin ), b=(cos , sin ), 2 2 2 2 |a-b|= 2 5 ,求 cos(α -β )的值. 5

AB ? AD ? AB ? AD



A. AD ? 0 B. AB ? 0 或 AD ? 0 D.ABCD 是正方形 π 8.将 y ? sin 2 x 按向量 a=(,1)平移后的函数解 6 C.ABCD 是矩形

例 7. 已知向量 a=(1, 2),b=(x, 1),e1=a+2b,e2= 2a-b,且 e1∥e2,求 x.

析式是(

)

y ? sin( 2 x ?
A.

?
3

) ?1
B.

y ? sin( 2 x ?

?
3

) ?1

y ? sin( 2 x ?
例 8. 在平行四边形 ABCD 中,A(1,1), AB =(6,0), 点 M 是线段 AB 的中点,线段 CM 与 BD 交于点 P. (1) 若 AD =(3,5),求点 C 的坐标; (2) 当| AB |=| AD |时,求点 P 的轨迹. C.

?
6

) ?1
D.

y ? sin( 2 x ?

?
6

) ?1

2), ( 0) 9.已知 A(? 3, AB ? 8, ,求线段 AB 的中点 C D C 的坐标。
P A M B

四.巩固练习 1. AC ? DB ? CD ? BA 等于________. 2.若向量 a=(3,2),b=(0,-1),则向量 2b- a 的坐标是________. 3.已知 A(-1,2),B(2,4),C(4,-3),D(x , 1),若 AB 与 CD 共线,则| BD |的值等于________. 10.设平面三点 A(1,0),B(0,1),C(2,5)试 求向量 2 AB + AC 的模。

1 OM ? (3,?2), ON ? (?5,?1), 则 MN 等于 2 4.已知向量
( ) 五.作业反馈

1.将点 A(2,4)按向量 a=(-5,-2)平移后,所 得到的对应点 A′的坐标是______. 2. 已知 AB ? (6,1), BC ? ( x, y),CD ? (?2,?3),且BC ∥

DA ,则 x+2y 的值为_____.
3.点(-3,4)关于点 B(-6,5)的对称点是( ) A.(-3,5)B.(0,4.5)C.(-9,6)D.(3,-0.5) 4 . 已 知 点 C 在 线 段 AB 的 延 长 线 上 , 且

2 BC ? AB , BC ? ?CA, 则?
A.3 1 B. 3 C. ? 3

等于(

) D.1 3

5.设两个非零向量 a,b 不共线,且 ka+b 与 a+kb 共 线,则 k 的值为( ) A.1 B.-1 C. ? 1 D.0

6.已知向量 a=( sin ? , cos? )( ? ? R ),b=( 3,3 ) (1)当 ? 为何值时,向量 a、b 不能作为平面向量的一 组基底; (2)求|a-b|的取值范围。

答案

1 例 1:②③;例 2:解: BE = AE - AB = ( AB + AC ) 4 3 1 - AB =- a+ b 4 4 例 3:解: c =λ a +μ b ? 2 e1 -9 e 2 =(2λ +2μ ) e1 + (-3λ +3μ ) e 2 ? 2λ +2μ =2,且-3λ +3μ =-9 ? λ =2,且μ =-1

9. 解:设 B( x, y), AB ? ( x, y) ? (?3,2) ? (8,0).

? ?x ? 3 ? 8 ? ?x ? 5 ?y ? 2 ? 0 ?y ? 2 ? ?

? B(5,2), xC ? 1, yC ? 2 ? C(1,2)
10. 解:∵

AB =(0-1,1-0)=(-1,1), AC

=(2-1,5-0)=(1,5). ∴ 7). ∴ |2 AB + AC |= 2 AB + AC =2(-1,1)+(1,5)=(-1,

1 a ? t b ? ? [ a ? ( a ? b) ] 3 例 4:解:设 ( ? ∈R)化简整理得: 2 1 ( ? ? 1)a ? (t ? ? )b ? 0 3 3

(?1) 2 ? 72

3 ?2 ? ? 3 ? ? 1 ? 0 ?? ? 2 ? ? ?? ? ?t ? ? ? 0 ?t ? 1 ? 2 ? 3 a 与 b 不共线 ? ? ∵ ,∴
t? 1 1 a, t b, (a ? b) 2 时, 3 三向量的向量的终点在一直

= 50 .

作业反馈: 1. (-3,2);2. 0;3.C;4.D;5.C; 6. 解:(1)要使向量 a、b 不能作为平面向量的一组基 底,则向量 a、b 共线

故 线上.

3 sin ? ? 3 cos? ? 0 ? tan? ?


1 2 AC = 3 AB =(-1, 3 ), OC = OA ? AC =(1, 例 5:解
11 11 3 ),即 C(1, 3 )

3 3



? ? k? ?

?
6

(k ? Z )

,即当

? ? k? ?

?
6

(k ? Z )

2 ? ?? 2 5 2 5 5 ? 2 cos ? ? ? 2 cos(? ? ? ) ? 2 2 a - b |= 5 5 5 例 6 : 解 :| =

时,向量 a、b 不能作为平面向量的一组基底 (2)

?? ) ?

??? 3 7 2 5 ? 5 ? cos 2 = 5 ? cos(α -β )= 25

| a ? b |? (sin? ? 3 ) 2 ? (cos? ? 3) 2 ? 13 ? 2( 3 s i n ? 3 c o ? ) ? s
而 ? 2 3 ? 3 sin ? ? 3 cos? ? 2 3 ∴

例 7: e1 =(1+2x, 解: 4),e 2 =(2-x, 3),e1 ∥ e 2 ? 3(1 1 +2x)=4(2-x) ? x= 2 例 8:解:(1)设点 C 的坐标为(x0,y0),
AC ? AD ? DB ? (3, 5) ? (6, 0) ? (9, 5) ? ( x 0 ?1, y 0 ?5)

2 3 ? 1 ?| a ? b |? 2 3 ? 1

得 x0=10 y0=6 即点 C(10,6) (2) ∵ 1)2=36
AB ? AD

∴点 D 的轨迹为(x-1)2+(y-

(y≠1)

1 ∵M 为 AB 的中点 ∴P 分 BD 的比为 2

设 P(x,y),由 B(7,1) 则 D(3x-14,3y-2)
2 2 ∴点 P 的轨迹方程为 ( x ? 5) ? ( y ? 1) ? 4( y ? 1)

巩固练习: 1. 0;2. (-3,4);3. 8.A;

73 ;4. D;5.B;6.C;7.C;


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