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2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高二试题(含答案)


2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案和评分标准 (高二年级) 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅, 请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考 本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次.

一、填空题(本大题共10小题,每小题9分,共90分.) 1 ? f ( x) 1. 已知函数 f ( x) 满足:f (1) ? 2 ,f ( x ? 1) ? 对定义域内任意 x 都成立.那么,f (2016) 1 ? f ( x) 1 = . 3 2 . 从 五 个 正 整 数 a, b, c, d , e中 任 取 四 个 求 和 , 得 到 的 和 值 构 成 集 合 {44, 45, 46, 47} ,则 57 . a? b? c? d ? e ? 3.已知△ ABC 是等边三角形,椭圆 ? 的一个焦点为 A ,另一个焦点 F 在线段 BC 上,如果椭 3 圆 ? 恰好经过 B, C 两点,则它的离心率为 . 3 4.已知实数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 1 ,则 P ?| 2 x ? y ? 4 | ? | 4 ? x ? 2 y | 的取值范围是 [2,14] . 3 5.袋子中有 5 个白球、4 个红球和 3 个黄球,从中任意取出 4 个球,各种颜色的球都有的概率 为 6 11 . 14 . 个.(说明:全等的三角形视 6.以正十三边形的顶点为顶点的形状不同的三角形共有 为形状相同.) 7.已知质数 p, q 满足 q ? 2 p ? 1 ,则 p ? q ? 5 2 14 8.已知四面体的一条棱长为 6,其余棱长均为 5,则这个四面体的外接球的半径为 20 39 39 . 9. 已知 MN 是边长为 2 6 的等边△ ABC 的外接圆的一条动弦, MN =4, P 为△ ABC 的边 上的动点,则 MP ? PN 的最大值为 ???? ??? ? 4 . 10.设 [a ] 表示不大于 a 的最大整数,则方程 [ ] ? [ ] ? 1 的最大正整数解为 二、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分。 ) 2 x 7 x 8 104 . 11.已知 A ? {x | x ? x} , B ? {x | x ? log a x} ,且 B ? A ,求实数 a 的取值范围. 2 解 易知 A ? {x | 0 ? x ? 1} ,显然有 a ? 0 且 a ? 1 . (1)当 0 ? a ? 1 时,若 x ? log a x ,则必有 0 ? x ? 1 ,此时恒有 B ? A . 2 ………………………………………(5 分) log a x ? 0 , (2) 当 a ? 1 时, 对于满足 0 ? x ? 1 的任意 x , 一定有 x ? 0 , 此时必有 x ? log a x , 2 2 所以, A ? B ? ? .又 B ? A ,所以 B ? ? . 设 f ( x) ? x ? log a x ,则 B ? ? 等价于: f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立. 2 ………………………………………(10 分) 1 1 ? 0 ,得 x0 ? ,可知: f ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 , ??) 上 2ln a x ln a 单调递

2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题

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