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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 1.1.1-1.1.2

时间:2015-02-10


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1.1.1~1.1.2

1.1.1 1.1.2
【学习要求】
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变化率问题 导数的概念

1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数. 【学法指导】 导

数是研究函数的有力工具,要认真理解平均变化率、瞬 时变化率的概念,可以从物理和几何两种角度理解导数的 意义,深刻体会无限逼近的思想.

填一填· 知识要点、记下疑难点

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1.函数的变化率
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定义 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变 平均

实例 ①平均速度;

f?x2?-f?x1? 变化 x2-x1 ,简记作: ② 曲 线 割 线 化率为___________ 率 Δy 的斜率 Δx

填一填· 知识要点、记下疑难点

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函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时
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变化率是函数 f(x)从 x0 到 x0+ ①瞬时速度: 瞬时 Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的 物体在某一 变化 f?x0+Δx?-f?x0? 时刻的速度; lim 率 极限,即 Δ Δx x→0 ________________ = ②切线斜率 Δy lim Δx→0 Δx

填一填· 知识要点、记下疑难点

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2.函数 f(x)在 x=x0 处的导数

瞬时变化率 称为函数 y=f(x) 函数 y=f(x)在 x=x0 处的____________
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f′(x0)或 y′|x=x0 在 x=x0 处的导数, 记作____________________ , 即 f′(x0)

f?x0+Δx?-f?x0? lim Δy Δx Δx→0 = lim = ___________________. Δx→0Δx

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探究点一 问题 1

平均变化率的概念

气球膨胀率

很多人都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,
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随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越 慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?
答 气球的半径 r(单位:dm)与体积 V(单位:L)之间的函 3 3V 数关系是 r(V)= , 4π
(1)当 V 从 0 增加到 1 L 时,气球半径增加了 r(1)-r(0) ≈0.62 (dm),

r?1?-r?0? 气球的平均膨胀率为 ≈0.62(dm/L). 1-0

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(2)当 V 从 1 L 增加到 2 L 时,气球半径增加了 r(2)-r(1) ≈0.16 (dm),
r?2?-r?1? 气球的平均膨胀率为 ≈0.16(dm/L). 2-1
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可以看出,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐 变小了. 结论 当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率 r?V2?-r?V1? 是 . V2-V1

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问题 2

高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m) 与起跳后的时间 t(单位: s)存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t +10.
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计算运动员在下列时间段内的平均速度 v ,并思考平均速 度有什么作用? ①0≤t≤0.5,②1≤t≤2.

h?0.5?-h?0? 答 ①在 0≤t≤0.5 这段时间里, v= =4.05(m/s); 0.5-0 h?2?-h?1? ②在 1≤t≤2 这段时间里, v = =-8.2(m/s). 2-1
由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运 动的快慢.

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问题 3
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什么是平均变化率,平均变化率有何作用?

答 如果问题中的函数关系用 y=f(x)表示,那么问题中的 f?x2?-f?x1? 变化率可用式子 表示,我们把这个式子称为函数 x2-x1 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率,平均变化率可以描述一个 函数在某个范围内变化的快慢.

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Δy 问题4 平均变化率也可以用式子 表示,其中Δy、Δx的意 Δx Δy 义是什么? 有什么几何意义? Δx 答 Δx表示x2-x1是相对于x1的一个“增量”;Δy表示 本
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f(x2)-f(x1).Δx、Δy的值可正可负,Δy也可以为零,但 Δx不能为零. Δy 观察图象可看出, 表示曲线y=f(x)上 Δx 两点(x1,f(x1))、(x2,f(x2))连线的斜率.

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例1

已知函数f(x)=2x2+3x-5.

Δy (1)求当x1=4,且Δx=1时,函数增量Δy和平均变化率 ; Δx Δy (2)求当x1=4,且Δx=0.1时,函数增量Δy和平均变化率 ; Δx
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(3)若设x2=x1+Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意 义.
解 f(x)=2x2+3x-5,
∴Δy=f(x1+Δx)-f(x1)
=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)-5-(2x2 1+3x1-5)
=2[(Δx)2+2x1Δx] +3Δx=2(Δx)2+(4x1+3)Δx.

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Δy 21 Δy=2+(4×4+3)×1=21,Δx= 1 =21. (2)当x1=4,Δx=0.1时,
2

(1)当x1=4,Δx=1时,

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Δy 1.92 Δy=2×0.1 +(4×4+3)×0.1=0.02+1.9=1.92, = Δx 0.1 =19.2. Δy f?x2?-f?x1? f?5?-f?4? (3)在(1)题中Δx= = , x2-x1 5-4 它表示抛物线上点P0(4,39)与点P1(5,60)连线的斜率. Δy f?x2?-f?x1? f?4.1?-f?4? 在(2)题中,Δx= = , x2-x1 4.1-4 它表示抛物线上点P0(4,39)与点P2(4.1,40.92)连线的斜率.

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小结
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求平均变化率的主要步骤:

(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx=x2-x1. Δy f?x2?-f?x1? (3)得平均变化率 = . Δx x2-x1

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跟踪训练1

(1)计算函数f(x)=x2从x=1到x=1+Δx的平均

变化率,其中Δx的值为①2;②1;③0.1;④0.01. (2)思考:当|Δx|越来越小时,函数f(x)在区间[1,1+Δx]上的
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平均变化率有怎样的变化趋势?
解 (1)∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2-12

=(Δx)2+2Δx,
2 Δy ?Δx? +2Δx ∴ = =Δx+2. Δx Δx Δy ①当Δx=2时,Δx=Δx+2=4;

Δy ②当Δx=1时,Δx=Δx+2=3;

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Δy ③当Δx=0.1时, =Δx+2=2.1; Δx Δy ④当Δx=0.01时, =Δx+2=2.01. Δx
(2)当|Δx|越来越小时,函数f(x)在区间[1,1+Δx] 上的平均变化 率逐渐变小,并接近于2.

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探究点二

函数在某点处的导数

问题1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态?
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答 不能,如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起 跳时间t的函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10, 65 h? ?-h?0? 49 65 易知h( )=h(0), v = =0, 49 65 -0 49
而运动员依然是运动状态.

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问题2 如何描述物体在某一时刻的运动状态?

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可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动

状态.
如求t=2时的瞬时速度,可考察在t=2附近的一个间隔 Δt,当Δt趋近于0时,看平均速度 v 的变化趋势,用式子 h?2+Δt?-h?2? lim 表示,这就是物体在t=2时的瞬时速 Δt Δt→0 度.

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结论

函数在某点处的导数:

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函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim = lim , Δx Δx→0 Δx→0Δx 我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x ,即
0

f?x0+Δx?-f?x0? Δy f′(x0)= lim = lim . Δx Δx→0 Δx→0Δx

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问题3 导数和瞬时变化率是什么关系?导数有什么作用?
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答 函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化 率,导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.

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例2 利用导数的定义求函数f(x)=-x2+3x在x=2处的导数.
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解 由导数的定义知,函数在x=2处的导数 f?2+Δx?-f?2? f′(2)= lim , → Δ x Δx 0
而f(2+Δx)-f(2)=-(2+Δx)2+3(2+Δx)-(-22+3×2) =-(Δx)2-Δx, -?Δx?2-Δx 于是f′(2)= lim = lim (-Δx-1)=-1. → → Δ x Δx 0 Δx 0

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小结
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求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤如下:

(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f?x0+Δx?-f?x0? (2)求平均变化率 = ; Δx Δx Δy (3)取极限,得导数f′(x0)= lim . Δx→0 Δx

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跟踪训练2

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求函数f(x)=3x2-2x在x=1处的导数.

Δy=3(1+Δx)2-2(1+Δx)-(3×12-2×1)

=3(Δx)2+4Δx,
2 Δy 3?Δx? +4Δx ∵ = =3Δx+4, Δx Δx

Δy ∴y′|x=1= lim = lim (3Δx+4)=4. Δx→0Δx Δx→0

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例3

将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需

要对原油进行冷却和加热.如果在第x h时,原油的温度 (单位:℃)为y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第2 h和 第6 h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
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解 在第2 h和第6 h时,原油温度的瞬时变化率就是f′(2) 和f′(6).
Δy f?2+Δx?-f?2? 根据导数的定义,Δx= Δx ?2+Δx?2-7?2+Δx?+15-?22-7×2+15? = Δx 4Δx+?Δx?2-7Δx = =Δx-3, Δx

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Δy 所以,f′(2)= lim = lim (Δx-3)=-3. Δx→0 Δx Δx→0
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同理可得,f′(6)=5.在第2 h和第6 h时,原油温度的瞬时变化 率分别为-3与5.它说明在第2 h附近,原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降; 在第6 h附近,原油温度大约以5 ℃/h的速率上升.

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小结

(1)本题中,f′(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变

化情况.
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(2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系: Δy f?x0+Δx?-f?x0? 平均变化率 = ,当Δx趋于0时,它所趋于 Δx Δx 的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率,即求函数的瞬时 变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.另外, 它们都是用来刻画函数变化快慢的,它们的绝对值越大,函 数变化得越快.

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跟踪训练3

高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度

h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)之间的关系式为h(t)= 65 2 -4.9t +6.5t+10,求运动员在t= s时的瞬时速度,并解 98 释此时的运动状况. 本 课 解 令t =65,Δt为增量. 0 时 98
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h?t0+Δt?-h?t0? 则 = Δt ?65 ? ?65 ? ?65? 65 2 2 ? ? ? ? ? ? -4.9× 98+Δt +6.5× 98+Δt +10+4.9× 98 -6.5×98-10 ? ? ? ? ? ? Δt ?65 ? -4.9Δt?49+Δt?+6.5Δt ?65 ? ? ? ? +Δt?+6.5, = =- 4.9 Δt ?49 ?

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?65 ? h?t0+Δt?-h?t0? ∴lim =lim [-4.9?49+Δt?+6.5]=0, → → Δt Δt 0 Δt 0 ? ?

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65 即运动员在t0= s时的瞬时速度为0 m/s. 98 说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处.

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1.在导数的定义中,自变量的增量Δx满足
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( D )

A.Δx<0

B.Δx>0 C.Δx=0 D.Δx≠0

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f?x0+h?-f?x0? 2.函数f(x)在x0处可导,则lim h h→0
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( B )

A.与x0、h都有关 B.仅与x0有关,而与h无关 C.仅与h有关,而与x0无关 D.与x0、h均无关

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3.已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+ Δy Δx,1+Δy),则 等于 ( C ) Δx
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A.4 B.4x

C.4+2Δx

D.4+2(Δx)2

解析 Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-1
Δy =2(Δx) +4Δx,∴Δx=2Δx+4.
2

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1 1 -2 4.已知函数f(x)= ,则f′(1)=________. x

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f?1+Δx?-f?1? 解析 f′(1)= lim Δx Δx→0
1 -1 1+Δx Δx
-1 1 =-2. 1+Δx?1+ 1+Δx?

= lim →
= lim →

Δx 0

Δx 0

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利用导数定义求导数三步曲: (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f?x0+Δx?-f?x0? (2)求平均变化率 = ; Δx Δx Δy (3)取极限,得导数f′(x0)= lim Δx→0 Δx 简记为一差,二比,三趋近. 特别提醒 母不为0. ②函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关,与Δx无关. ③导数可以描述任何事物的瞬时变化率,应用非常广泛. Δy ①取极限前,要注意化简 ,保证使Δx→0时分 Δx

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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A...

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