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2004年高考重庆卷理科数学试题及答案


2004 年高考重庆卷(理工类)数学试题

本试卷分第Ⅰ部分(选择题)和第Ⅱ部分(非选择题)共 150 分 考试时间 120 分钟.

第Ⅰ部分(选择题

共 60 分)

参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那幺 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那幺 P(A·B)=P(

A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那幺 n 次独立重复试验中恰好发
k k 生 k 次的概率 Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n?k

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 函数 y ? log 1 (3x ? 2) 的定义域是(
2



2 2 2 C. [ ,1] D. ( ,1] 3 3 3 2 2.设复数 Z ? 1 ? 2i , 则 Z ? 2Z ? ( ) A –3 B 3 C -3i D 3i 2 2 3.圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 的圆心到直线 x ? y ? 1 的距离为: (
A. [1,??) B. ( ,?? )



A

2

B

2 2

C )

1

D

2

4.不等式 x ?

(??, ?1) (0,1) A B (??, ?1) (1, ??) C D 5. sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? ( ) 1 1 3 3 ? A B C ? D 2 2 2 2 6.若向量 a与b 的夹角为 60 , | b |? 4,(a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,则向量 a 的模为: ( ) A 2 B 4 C 6 D 12 2 7. 一元二次方程 ax ? 2x ? 1 ? 0,(a ? 0) 有一个正根和一个负根的充分不必要条 件是: ( ) a?0 a ? ?1 a ?1 A B a?0 C D 8. 设 P 是 60 的二面角 ? ? l ? ? 内一点,PA ? 平面? , PB ? 平面? , A,B为 垂足, PA ? 4, PB ? 2, 则 AB 的长为: ( )
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2 ? 2 的解集是: ( x ?1 (?1,0) (1, ??) (?1,0) (0,1)

A B C D 4 2 2 3 2 5 2 7 9. 若数列 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003.a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是: ( ) A 4005 B 4006 C 4007 D 4008 2 2 x y 10.已知双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲 a b 线的右支上, 且 | PF1 |? 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为: ( ) 4 5 7 2 A B C D 3 3 3 11.某校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛,其中一班有 3 位,二 班有 2 位,其它班有 5 位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班 有 3 位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连) ,而二班的 2 位同学没有被 排在一起的概率为: ( ) 1 1 1 1 A B C D 20 40 120 10 12.若三棱锥 A-BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的面积与到棱 AB 的距离相等,则动点 P 的轨迹与 ABC 组成图形可能是: ( )
A A

P B C B

P C

A

A

P B C B

P C

第Ⅱ部分(非选择题 共 90 分)
题 号 分 数 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13.若在 (1 ? ax)5 的展开式中 x3 的系数为 ?80 ,则 a ? _______
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三 17 18 19 20 21 22

总 分

1 1 14.曲线 y ? 2 ? x 2与y ? x3 ? 2 在交点处切线的夹角是______(用幅度数作答) 2 4 1 15.如图 P1 是一块半径为 1 的半圆形纸板,在 P1 的左下端剪去一个半径为 的 2

半圆后得到图形 P2,然后依次剪去一个更小半圆(其直径为前一个被剪掉半 圆的半径)得圆形 P3、P4、…..Pn…,记纸板 Pn 的面积为 Sn ,则 lim Sn ?______
x ??

P1

P2

P3

P4

? ? x ? 3 ? 2 cos? (0 ? ? ? 2? ) 恰有 16.对任意实数 K,直线: y ? kx ? b 与椭圆: ? ? ? y ? 1 ? 4 sin ?

一个公共点,则 b 取值范围是_______________ 三、解答题:本题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.
17. (本小题满分 12 分) 求函数 y ? sin 4 x ? 2 3 sin x cos x ? cos4 x 的取小正周期和取小值; 并写出该函数 在 [0, ? ] 上的单调递增区间
王新敞
奎屯 新疆

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18. (本小题满分 12 分) 设一汽车在前进途中要经过 4 个路口,汽车在每个路口遇到绿灯的概率 3 1 为 ,遇到红灯(禁止通行)的概率为 假定汽车只在遇到红灯或到达目的 4 4
王新敞
奎屯 新疆

地才停止前进, ? 表示停车时已经通过的路口数,求: (1) ? 的概率的分布列及期望 E ? ; (2 ) 停车时最多已通过 3 个路口的概率
王新敞
奎屯 新疆

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,

PA ? 底面ABCD, AE ? PD, EF // CD, AM ? EF
(1) (2) 证明 MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线; 若 PA ? 3 AB ,求直线 AC 与平面 EAM 所成角的正弦值
P

王新敞
奎屯

新疆

E A M B C F D

20. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x( x ?1)( x ? a),(a ? 1) (1) 求导数 f / ( x) ; 并证明 f ( x) 有两个不同的极值点 x1 , x2 ; (2) 若不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,求 a 的取值范围
王新敞
奎屯 新疆

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21. (本小题满分 12 分) 设 p ? 0 是一常数, 过点 Q(2 p, 0) 的直线与抛物线 y 2 ? 2 px 交于相异两点 A、B,以线段 AB 为直经作圆 H(H 为圆心) 试证抛物线顶点在圆 H 的圆 周上;并求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

Y
B y

H O Q(2p,0) x

A

22. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? (1) (2)
1 , (n ? 1, 2,3.......) an

证明 an ? 2n ? 1 对一切正整数 n 成立; 令 bn ?
an n , (n ? 1, 2,3......) ,判断 bn与bn?1 的大小,并说明理由

王新敞
奎屯

新疆

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