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2015年高中数学 第二章 数列章末测试题(B)新人教版必修5


【高考调研】2015 年高中数学 第二章 数列章末测试题(B)新人教 版必修 5
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.等差数列- 2,0, 2,…的第 15 项为( A.11 2 C.13 2 答案 C 解析 ∵a1=- 2,d= 2, ∴an=- 2+(n-1)× 2= 2n-2

2. ∴a15=15 2-2 2=13 2. 2.若在数列{an}中,a1=1,an+1=an-1(n∈N ),则 a1+a2+a3+a4+a5=( A.-1 C.0 答案 A 解析 由递推关系式,得 a2=0,a3=-1,a4=0,a5=-1. ∴a1+a2+a3+a4+a5=-1. 3.某种细胞开始有 2 个,1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个,2 小时后分裂成 6 个并死去 1 个,3 小时后分裂成 10 个并死去 1 个,…,按此规律进行下去,6 小时后细胞存活的个数 是( ) A.33 个 C.66 个 答案 B 解析 设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{an}. 则?
? ?a1=2, ?an+1=2an-1, ?
n-1
2 *

) B.12 2 D.14 2

)

B.1 D.2

B.65 个 D.129 个



an+1-1 =2. an-1
n-1

∴an-1=1·2

,∴an=2

+1,∴a7=65. )

4.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S8=30,S4=7,则 a4 的值等于( A. C. 1 4 13 4 B. D. 9 4 17 4

答案 C
1

解析 由题意可知,

? ?8a + ? ? ?4a +
1 1

- -

d
2 2

=30, =7,

d

1 ? ?a1= , 4 解得? ? ?d=1.

13 故 a4=a1+3= . 4 5.设 f(x)是定义在 R 上的恒不为零的函数,且对任意的实数 x、 y∈R,都有 f(x)·f(y) 1 * =f(x+y),若 a1= ,an=f(n)(n∈N ),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围为( 2 1 A.[ ,2) 2 1 C.[ ,1) 2 答案 C 1 1 解析 依题意得 f(n+1)=f(n)·f(1),即 an+1=an·a1= an,所以数列{an}是以 为首 2 2 1 2 1 项, 为公比的等比数列,所以 Sn= 2 1 - n 2 1 1- 2 1 1 =1- n,所以 Sn∈[ ,1). 2 2 1 B.[ ,2] 2 1 D.[ ,1] 2 )

6.小正方形按照如图所示的规律排列:

每个图中的小正方形的个数构成一个数列{an},有以下结论:①a5=15;②数列{an}是一 个等差数列;③数列{an}是一个等比数列;④数列的递推公式为:an+1=an+n+1(n∈N ).其 中正确的命题序号为( A.①② C.①④ 答案 C 解析 当 n=1 时, a1=1; 当 n=2 时, a2=3; 当 n=3 时, a3=6; 当 n=4 时, a4=10, …, 观察图中规律,有 an+1=an+n+1,a5=15.故①④正确.
2
*

) B.①③ D.①

7.已知数列{an}满足 a1=0,an+1= A.0 C. 3 答案 B 解析 由 a1=0,an+1=

an- 3 * (n∈N ),则 a20=( 3an+1
B.- 3 D. 3 2

)

an- 3 * (n∈N ), 3an+1

得 a2=- 3,a3= 3,a4=0,…,由此可知数列{an}是周期变化的,周期为 3,∴a20 =a2=- 3. 8.数列{an}满足递推公式 an=3an-1+3 -1(n≥2),又 a1=5,则使得{ 列的实数 λ =( A.2 1 C.- 2 答案 C 解析 a1=5,a2=23,a3=95,令 bn= 1 ∵b1+b3=2b2,∴λ =- . 2 9.在等差数列{an}中,a10<0,a11>0,且 a11>|a10|,则{an}的前 n 项和 Sn 中最大的负数为 ( ) A.S17 C.S19 答案 C 解析 ∵a10<0,a11>0,且 a11>|a10|,∴a11+a10>0. B.S18 D.S20 ) B.5 D. 1 2
n

an+λ
3
n

}为等差数

an+λ
3
n

5+λ 23+λ 95+λ ,则 b1= ,b2= ,b3= , 3 9 27

S20= S19=

a1+a20
2

=10·(a11+a10)>0. = 19 ·2a10<0. 2

a1+a19
2
n-1

10. 将数列{3

}按“第 n 组有 n 个数”的规则分组如下: (1), (3,9), (27,81,243), …, ) B.3 D.3
5 000

则第 100 组中的第一个数是( A.3 C.3
4 950

5 010

5 050

答案 A
3

解析 在“第 n 组有 n 个数”的规则分组中,各组数的个数构成一个以 1 为首项,公差 为 1 的等差数列.因前 99 组数的个数共有 个数是 3
4 950

+ 2

=4 950 个,故第 100 组中的第 1

. )

11.(2012·新课标)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=( A.7 C.-5 答案 D 解析 ∵{an}为等比数列,∴a5a6=a4a7=-8. 联立?
? ?a4+a7=2, ?a4a7=-8, ?

B.5 D.-7

可解得?

? ?a4=4, ?a7=-2 ?

或?

? ?a4=-2, ?a7=4. ?

当?

?a4=4 ? ?a7=-2 ? ? ?a4=-2 ?a7=4 ?

1 a4 3 3 时,q =- ,故 a1+a10= 3+a7q =-7; 2 q 时,q =-2,同理,有 a1+a10=-7. 1
3

当?

12.(2012·全国)已知等差数列{an}的前 n 项和为 S,a5=5,S5=15,则数列{ 前 100 项和为( A. C. 100 101 99 100 ) B. D. 99 101 101 100

anan+1

}的

答案 A 解析 S5= ∴d= ∴ 1

a1+a5
2



a1+
2

=15,∴a1=1.

a5-a1 5-1
5-1 = 1 n n+

= =1.∴an=1+(n-1)×1=n. 5-1 .设{ 1

anan+1

anan+1

}的前 n 项和为 Tn,

1 1 1 则 T100= + +…+ 1×2 2×3 100×101 1 1 1 1 1 =1- + - +…+ - 2 2 3 100 101 1 100 =1- = . 101 101 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上) 13.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S9=72,则 a2+a4+a9=________.
4

答案 24 14.设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项 an=________. 答案

n n+
2

+1

解析 ∵a1=2,an+1=an+n+1, ∴an-an-1=n,an-1-an-2=n-1,

an-2-an-3=n-2,…,a3-a2=3,a2-a1=2,a1=2.
将以上各式的两边分别相加,得

an=[n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1]+1


n n+
2

+1.

3 15. 若数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 Sn= an-3, 则数列{an}的通项公式是________. 2 答案 an=2·3
n

3 解析 n≥2 时,Sn= an-3,① 2

Sn-1= an-1-3,②
3 3 1 3 ①-②知 an= an- an-1,即 an= an-1. 2 2 2 2 ∴

3 2

an 3 3 =3,由 Sn= an-3,得 S1=a1= a1-3. an-1 2 2
n

故 a1=6,∴an=2·3 . 16. 某房地产开发商在销售一幢 23 层的商品楼之前按下列方法确定房价: 由于首层与顶 层均为复式结构,因此首层价格为 a1 元/m ,顶层由于景观好价格为 a2 元/m ,第二层价格为
2 2

a 元/m2,从第三层开始每层在前一层价格上加价
________. 答案 1 2 (a1+a2+23.1a) 元/m 23

a
100

元/m ,则该商品房各层的平均价格为

2

解析 设第二层数列到第 22 层的价格构成数列{bn},则{bn}是等差数列,b1=a,公差 d = 21×20 a 1 , 共 21 项, 所以其和为 S21=21a+ · =23.1a, 故平均价格为 (a1+a2+23.1a) 100 2 100 23
2

a

元/m . 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)等差数列{an}中,a4=10,且 a3,a6,a10 成等比数列.求数列{an}前 20 项的 和 S20.
5

解析 设公差为 d,则由?
? ?a1+3d=10, ? ?

?a4=10, ? ?a6=a3·a10, ?
2

得?

a1+5d
?a1=10, ? ? ?d=0

2

= a1+2d · 或?
?a1=7, ? ? ?d=1.

a1+9d ,

解得?

∴S20=200 或 S20=330. 18.(12 分)(2013·新课标全国Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且 a1,a11,

a13 成等比数列.
(1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+…+a3n-2. 解析 (1)设{an}的公差为 d. 由题意,a11=a1a13,即(a1+10d) =a1(a1+12d). 于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=0(舍去),d=-2. 故 an=-2n+27. (2)令 Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2. 由(1)知 a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等差数列. 从而 Sn= (a1+a3n-2)= (-6n+56)=-3n +28n. 2 2 19.(12 分)已知{an}为递减的等比数列,且{a1,a2,a3 (1)求数列{an}的通项公式; 1- - (2)当 bn= 2
n
2 2

n

n

2

-4,-3,-2,0,1,2,3,4}.

an 时,求证:b1+b2+b3+…+b2n-1< .

16 3

解析 (1)∵{an}是递减的等比数列, ∴数列{an}的公比 q 是正数. 又∵{a1,a2,a3 -4,-3,-2,0,1,2,3,4},

a2 2 1 ∴a1=4,a2=2,a3=1.∴q= = = . a1 4 2
∴an=a1q
n-1

8 = n. 2
n

8[1- - (2)由已知得 bn= n+1 2

] * * ,当 n=2k(k∈N )时,bn=0,当 n=2k-1(k∈N )时,

bn=an.

6

?0, ? 即 bn=? ?an, ?

n=2k,k∈N* , n=2k-1,k∈N*

∴b1+b2+b3+…+b2n-2+b2n-1 =a1+a3+…+a2n-1 4[1- = 1 4 1 1- 4
n

] 16 1 n 16 = [1-( ) ]< . 3 4 3
*

20.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an+Sn=1(n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=3+log4an,设 Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|,求 Tn. 解析 (1)由 an+Sn=1,得 an+1+Sn+1=1, 两式相减,得 an+1-an+Sn+1-Sn=0. 1 ∴2an+1=an,即 an+1= an. 2 1 an+1 1 又 n=1 时,a1+S1=1,∴a1= .又 = , 2 an 2 1 1 ∴数列{an}是首项为 ,公比为 的等比数列. 2 2 ∴an=a1q
n-1

1 1 n-1 1 n = ·( ) =( ) . 2 2 2

1 n n 6-n (2)bn=3+log4( ) =3- = . 2 2 2 当 n≤6 时,bn≥0,

n Tn=b1+b2+…+bn=
当 n>6 时,bn<0,

-n ; 4

Tn=b1+b2+…+b6-(b7+b8+…+bn)
= = 6×5 1 n- -[(n-6)(- )+ 4 2

n-
2

1 ·(- )] 2

n2-11n+60
4

.

n -n ? ? 4 综上,T =? n -11n+60 ? ? 4
n
2

n n



21.(12 分)(2011·湖南)某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价

7

值在使用过程中逐年减少,从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价值为上年初的 75%. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (2)设 An=

a1+a2+…+an .若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 M 更 n

新.证明:须在第 9 年初对 M 更新. 解析 (1)当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120,公差为-10 的等差数列,此时 an=120 -10(n-1)=130-10n; 3 3 n 当 n≥6 时,数列{an}是以 a6 为首项,公比为 的等比数列,又 a6=70,所以 an=70×( ) 4 4
-6

. 因此第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为 130-10n,n≤6, ? ? an=? 3 n-6 ,n≥7. ? 4 ? (2)证明 设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式,得 当 1≤n≤6 时,Sn=120n-5n(n-1),An=120-5(n-1)=125-5n; 当 n≥7 时,由于 S6=570,故

Sn=S6+(a7+a8+…+an)
3 3 n-6 =570+70× ×4×[1-( ) ] 4 4 3 n-6 =780-210×( ) . 4 780- An= 3 4
n-6

n

.

易知{An}是递减数列. 780- 又 A8= 780- A9= 3 4 8 3 4 9
3 2

47 =82 >80, 64

79 =76 <80, 96

所以需在第 9 年初对 M 更新. 22.(12 分)已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差 中项. (1)求数列{an}的通项公式;
8

1 (2)若 bn=anlog an,Sn=b1+b2+…+bn,对任意正整数 n,Sn+(n+m)an+1<0 恒成立,试 2 求 m 的取值范围. 解析 (1)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q.依题意,有 2(a3+2)=a2+a4,代入 a2 +a3+a4=28,得 a3=8.
?a1q +a1q =20, ? 因此 a2+a4=20,即有? 2 ?a3=a1q =8. ? ? ?q=2, 解得? ?a1=2 ?
3

1 ? ?q= , 或? 2 ? ?a1=32.
? ?q=2, ?a1=2. ?
n

又数列{an}单调递增,则?
n n

故 an=2 .

n

(2)∵bn=2 ·log1 2 =-n·2 , 2 ∴-Sn=1×2+2×2 +3×2 +…+n×2 ,① -2Sn=1×2 +2×2 +3×2 +…+(n-1)×2 +n×2 ①-②,得 Sn=2+2 +2 +…+2 -n·2 ∵Sn+(n+m)an+1<0,∴2 ∴m·2
n+1 n+1
2 3 2 3 4 2 3

n

n

n+1

.② -n·2
n+1 n+1

n

n+1



-2 1-2
n+1

n

=2

n+1

-n·2

n+1

-2.

-n·2

n+1

-2+n·2

+m·2

<0 对任意正整数 n 恒成立.

<2-2

n+1

1 对任意正整数 n 恒成立,即 m< n-1 恒成立. 2

1 ∵ n-1>-1,∴m≤-1,即 m 的取值范围是(-∞,-1]. 2

9


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