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【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案27 平面向量的数量积及其应用


学案 27

平面向量的数量积及其应用

导学目标: 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向 量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式, 会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表 示两个向量的夹角, 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单 的平面几何问题.6.会用向量方法解决

简单的力学问题与其他一些实际问题.

自主梳理 1.向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义:____________________________________________,其中|a|cos 〈a,b〉叫做向量 a 在 b 方向上的投影. (2)向量数量积的性质: ①如果 e 是单位向量,则 a· e=e· a=__________________; ②非零向量 a,b,a⊥b?________________; ③a· a=________________或|a|=________________; ④cos〈a,b〉=________; ⑤|a· b|____|a||b|. 2.向量数量积的运算律 (1)交换律:a· b=________; (2)分配律:(a+b)· c=________________; (3)数乘向量结合律:(λa)· b=________________. 3.向量数量积的坐标运算与度量公式 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和, 即若 a=(a1, a2), b=(b1, b2), 则 a· b =________________________; (2)设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a⊥b?________________________; (3)设向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2), 则|a|=________________,cos〈a,b〉=____________________________. → → (4) 若 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则 | AB = ________________________ ,所以 | AB | = _____________________. 自我检测 → → 1.(2010·湖南)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,则AB· AC等于 ( ) A.-16 B.-8 C.8 D.16 2.(2010· 重庆)已知向量 a,b 满足 a· b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= ( ) A.0 B.2 2 C.4 D.8 3. (2011· 福州月考)已知 a=(1,0), b=(1,1), (a+λb)⊥b, 则 λ 等于 ( ) 1 1 A.-2 B.2 C. D.- 2 2 4.平面上有三个点 A(-2,y) ,B(0, 方程为________________. → 1→ 2→ 5.(2009·天津)若等边△ABC 的边长为 2 3 ,平面内一点 M 满足CM= CB+ CA, 6 3 → → 则MA· MB=________.

y → → ) ,C(x,y) ,若A B⊥BC,则动点 C 的轨迹 2

探究点一 向量的模及夹角问题 例 1 (2011· 马鞍山月考)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61.
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(1)求 a 与 b 的夹角 θ;(2)求|a+b|; → → (3)若AB=a,BC=b,求△ABC 的面积.

变式迁移 1 (1)已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)· (b c) = 0 , 则 |c| 的 最 大 值 是 ) A.1 B.2 2 C. 2 D. 2 (2)已知 i,j 为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+λj,且 a 与 b 的夹角为锐角,实 数 λ 的取值范围为________. 探究点二 两向量的平行与垂直问题 例 2 已知 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且 ka+b 的长度是 a-kb 的长度的 3 倍(k>0). (1)求证:a+b 与 a-b 垂直; (2)用 k 表示 a· b; (3)求 a· b 的最小值以及此时 a 与 b 的夹角 θ. - (

变式迁移 2 (2009· 江苏)设向量 a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,- 4sin β). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tan αtan β=16,求证:a∥b.

探究点三 向量的数量积在三角函数中的应用 3 3 ? 例 3 已知向量 a=? ?cos 2x,sin 2x?, x x? ? π π? b=? ?cos 2,-sin 2?,且 x∈?-3,4?. (1)求 a· b 及|a+b|; (2)若 f(x)=a· b-|a+b|,求 f(x)的最大值和最小值.

变式迁移 3 (2010·四川)已知△ABC 的面积 S=

1 → → 3 AB· AC· =3,且 cos B= ,求 cos C. 5 2

1.一些常见的错误结论: (1)若|a|=|b|,则 a=b;(2)若 a2=b2,则 a=b;(3)若 a∥b,b∥c,则 a∥c;(4)若 a· b=
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0,则 a=0 或 b=0;(5)|a· b|=|a|· |b|;(6)(a· b)c=a(b· c);(7)若 a· b=a· c,则 b=c.以上结论都 是错误的,应用时要注意. 2.平面向量的坐标表示与向量表示的比较: 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 是向量 a 与 b 的夹角. 向量表示 坐标表示 2 2 向量 a 的模 |a|= a· a= a |a|= x2 1+y1 a 与 b 的数量积 a· b=|a||b|cos θ a· b=x1x2+y1y2 a 与 b 共线的充要条件 A∥b(b≠0)?a=λb a∥b?x1y2-x2y1=0 非零向量 a, b 垂直的充要条件 a⊥b?a· b=0 a⊥b?x1x2+y1y2=0 x1x2+y1y2 a· b cos θ= 2 2 2 2 向量 a 与 b 的夹角 cos θ= |a||b| x1+y1 x2+y2 3.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有: → → → → (1)要证 AB=CD,可转化证明AB2=CD2 或|AB|=|CD|. → → (2)要证两线段 AB∥CD,只要证存在唯一实数 ? ≠0,使等式AB=λCD成立即可. → → (3)要证两线段 AB⊥CD,只需证AB· CD=0.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2010· 重庆)若向量 a=(3,m),b=(2,-1),a· b=0,则实数 m 的值为 ( ) 3 3 A.- B. 2 2 C.2 D.6 2.已知非零向量 a,b,若|a|=|b|=1,且 a⊥b,又知(2a+3b)⊥(ka-4b),则实数 k 的 值 为 ( ) A.-6 B.-3 C.3 D.6 15 → → 3.已知△ABC 中, AB=a, AC=b, a· b<0, S△ABC= , |a|=3, |b|=5, 则∠BAC 等于 ( ) 4 A.30° B.-150° C.150° D.30° 或 150° 4. (2010· 湖南)若非零向量 a, b 满足|a|=|b|, (2a+b)· b=0, 则 a 与 b 的夹角为 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 5. 已知 a=(2,3), b=(-4,7), 则 a 在 b 上的投影为 ( ) 13 65 A. B. 5 5 65 13 C. D. 13 13 1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) π ? 6.(2010· 湖南长沙一中月考)设 a=(cos 2α,sin α),b=(1,2sin α-1),α∈? ?2,π?,若 2 a· b= ,则 sin α=________. 5 7.(2010· 广东金山中学高三第二次月考)若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且 c⊥a,则向量 a
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与 b 的夹角为________. 8 .已知向量 m = (1,1) ,向量 n 与向量 m 夹角为 3π ,且 m· n =- 1 ,则向量 n = 4 __________________. 三、解答题(共 38 分) → → → → 9.(12 分)已知OA=(2,5),OB=(3,1),OC=(6,3),在线段 OC 上是否存在点 M,使MA⊥ → MB,若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

π ? π ? 10. (12 分)(2011· 杭州调研)已知向量 a=(cos(-θ), sin(-θ)), b=(cos? sin? ?2-θ?, ?2-θ?). (1)求证:a⊥b; (2)若存在不等于 0 的实数 k 和 t,使 x=a+(t2+3)b,y=-ka+tb,满足 x⊥y,试求此 k+t2 时 的最小值. t

? π? ? 11.(14 分)(2011· 济南模拟)已知 a=(1,2sin x),b=? b (x∈ ?2cos?x+6?,1?,函数 f(x)=a·
R). (1)求函数 f(x)的单调递减区间; π? 8 (2)若 f(x)= ,求 cos? ?2x-3?的值. 5

答案

自主梳理 a· b a· a ④ |a||b| (3)
2 a2 1+a2

1.(1)a· b=|a||b|cos〈a,b〉 (2)①|a|cos〈a,e〉 ②a· b=0 ③|a|2 ⑤≤ 2.(1)b· a (2)a· c + b· c a1b1+a2b2
2 a2 1+a2 2 b2 1+b2

(3)λ(a· b)

3.(1)a1b1 + a2b2

(2)a1b1 + a2b2 = 0

(4)(x2-x1,y2-y1) 自我检测

?x2-x1?2+?y2-y1?2

2.B [|2a-b|= ?2a-b?2 = 4a2-4a· b+b2= 8=2 2.] 3.D [由(a+λb)· b=0 得 a· b+λ|b|2=0, 1 ∴1+2λ=0,∴λ=- .] 2 2 4.y =8x(x≠0) y? → 解析 由题意得AB=? ?2,-2?,
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y? → → → → → BC=? BC=0, ?x,2?,又AB⊥BC,∴AB· y? ? y ? 2 即? ?2,-2?· ?x,2?=0,化简得 y =8x(x≠0). 5.-2 解析 合理建立直角坐标系,因为三角形是正三角形,故设 C(0,0),A(2 3,0),B( 3, 3 1 3 1 3 5 → → → 3),这样利用向量关系式,求得MA=? ,- ?,MB=? ,- ?,MB=?- , ?,所以 2? 2? ?2 ?2 ? 2 2? → → MA· MB=-2. 课堂活动区 例 1 解 (1)∵(2a-3b)· (2a+b)=61, ∴4|a|2-4a· b-3|b|2=61. 又|a|=4,|b|=3,∴64-4a· b-27=61, ∴a· b=-6. -6 1 a· b ∴cos θ= = =- . |a||b| 4×3 2 2π 又 0≤θ≤π,∴θ= . 3 (2)|a+b|= ?a+b?2 = |a|2+2a· b+|b|2 = 16+2×?-6?+9= 13. 2π → → (3)∵AB与BC的夹角 θ= , 3 2π π ∴∠ABC=π- = . 3 3 → → 又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3, 1→ → ∴S△ABC= |AB||BC|sin∠ABC 2 1 3 = ×4×3× =3 3. 2 2 变式迁移 1 (1)C [∵|a|=|b|=1,a· b=0, 展开(a-c)· (b-c)=0?|c|2=c· (a+b) =|c|· |a+b|cos θ,∴|c|=|a+b|cos θ= 2cos θ, ∴|c|的最大值是 2.] 1 (2)λ< 且 λ≠-2 2 π 解析 ∵〈a,b〉∈(0, ),∴a· b>0 且 a· b 不同向. 2 1 即|i|2-2λ|j|2>0,∴λ< . 2 当 a· b 同向时,由 a=kb(k>0)得 λ=-2. 1 ∴λ< 且 λ≠-2. 2 例 2 解题导引 1.非零向量 a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0. 2.当向量 a 与 b 是非坐标形式时,要把 a、b 用已知的不共线的向量表示.但要注意运 算技巧,有时把向量都用坐标表示,并不一定都能够简化运算,要因题而异. 解 (1)由题意得,|a|=|b|=1, ∴(a+b)· (a-b)=a2-b2=0, ∴a+b 与 a-b 垂直. (2)|ka+b|2=k2a2+2ka· b+b2=k2+2ka· b+1, 2 2 ( 3|a-kb|) =3(1+k )-6ka· b.
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由条件知,k2+2ka· b+1=3(1+k2)-6ka· b, 2 1+k 从而有,a· b= (k>0). 4k 1+k2 1 1 1 (3)由(2)知 a· b= = (k+ )≥ , 4k 4 k 2 1 当 k= 时,等号成立,即 k=± 1. k ∵k>0,∴k=1. a· b 1 π 此时 cos θ= = ,而 θ∈[0,π],∴θ= . |a||b| 2 3 1 π 故 a· b 的最小值为 ,此时 θ= . 2 3 变式迁移 2 (1)解 因为 a 与 b-2c 垂直, 所以 a· (b-2c) =4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β =4sin(α+β)-8cos(α+β)=0. 因此 tan(α+β)=2. (2)解 由 b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β), 得|b+c|= ?sin β+cos β?2+?4cos β-4sin β?2 = 17-15sin 2β≤4 2. π 又当 β=- 时,等号成立,所以|b+c|的最大值为 4 2. 4 4cos α sin α (3)证明 由 tan αtan β=16 得 = , sin β 4cos β 所以 a∥b. 例 3 解题导引 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热 点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式,向量模、夹角的坐标 运算公式外,还应掌握三角恒等变换的相关知识. 3 x 3 x 解 (1)a· b=cos xcos -sin xsin =cos 2x, 2 2 2 2 3 x ?2 ? 3 x?2 |a+b|= ? ?cos 2x+cos 2? +?sin 2x-sin 2? = 2+2cos 2x=2|cos x|, π π? ∵x∈? ?-3,4?,∴cos x>0, ∴|a+b|=2cos x. (2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1 1?2 3 =2? ?cos x-2? -2. π π? 1 ∵x∈? ?-3,4?,∴2≤cos x≤1, 1 3 ∴当 cos x= 时,f(x)取得最小值- ; 2 2 当 cos x=1 时,f(x)取得最大值-1. 1 1 变式迁移 3 解 由题意,设△ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c,则 S= bcsin A= . 2 2 → → AB· AC=bccos A=3>0, π? ∴A∈? ?0,2?,cos A=3sin A. 又 sin2A+cos2A=1, 10 3 10 ∴sin A= ,cos A= . 10 10
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3 4 由题意 cos B= ,得 sin B= . 5 5 ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B= ∴cos C=cos[π-(A+B)]=- 10 . 10 10 . 10

课后练习区 1.D [因为 a· b=6-m=0,所以 m=6.] 2.D [由(2a+3b)· (ka-4b)=0 得 2k-12=0,∴k=6.] 1 15 3.C [∵S△ABC= |a||b|sin∠BAC= , 2 4 1 ∴sin∠BAC= .又 a· b<0, 2 ∴∠BAC 为钝角.∴∠BAC=150° .] 4.C [由(2a+b)· b=0,得 2a· b=-|b|2. 1 - |b|2 2 1 a· b cos〈a,b〉= = 2 =- . |a||b| |b| 2 ∵〈a,b〉∈[0° ,180° ],∴〈a,b〉=120° .] 5.B [因为 a· b=|a|· |b|· cos〈a,b〉 , 所以,a 在 b 上的投影为|a|· cos〈a,b〉 13 65 a· b 21-8 = = 2 = = .] 2 |b| 5 65 4 +7 3 6. 5 2 解析 ∵a· b=cos 2α+2sin2α-sin α= , 5 2 3 ∴1-2sin2α+2sin2α-sin α= ,∴sin α= . 5 5 7.120° 解析 设 a 与 b 的夹角为 θ,∵c=a+b,c⊥a, ∴c· a=0,即(a+b)· a=0.∴a2+a· b=0. 又|a|=1,|b|=2,∴1+2cos θ=0. 1 ∴cos θ=- ,θ∈[0° ,180° ]即 θ=120° . 2 8.(-1,0)或(0,-1) 解析 设 n=(x,y),由 m· n=-1, 有 x+y=-1.① 3π 由 m 与 n 夹角为 , 4 3π 有 m· n=|m|· |n|cos , 4 2 2 ∴|n|=1,则 x +y =1.② ? ? ?x=-1 ?x=0 由①②解得? 或? , ?y=0 ?y=-1 ? ? ∴n=(-1,0)或 n=(0,-1). → → 9.解 设存在点 M,且OM=λOC=(6λ,3λ) (0≤λ≤1), → → MA=(2-6λ,5-3λ),MB=(3-6λ,1-3λ).………………………………………… (4 分) → → ∵MA⊥MB,
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∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0,………………………………………………(8 分) 1 11 即 45λ2-48λ+11=0,解得 λ= 或 λ= . 3 15 22 11? ∴M 点坐标为(2,1)或? ? 5 , 5 ?. 22 11 → → 故在线段 OC 上存在点 M,使MA⊥MB,且点 M 的坐标为(2,1)或( , ).………(12 5 5 分) π ? ?π-θ? -θ +sin(-θ)· 10.(1)证明 ∵a· b=cos(-θ)· cos? sin ?2 ? ?2 ? =sin θcos θ-sin θcos θ=0.∴a⊥b.……………………………………………………(4 分) (2)解 由 x⊥y 得,x· y=0, 即[a+(t2+3)b]· (-ka+tb)=0, ∴-ka2+(t3+3t)b2+[t-k(t2+3)]a· b=0, 2 3 2 ∴-k|a| +(t +3t)|b| =0.………………………………………………………………(6 分) 又|a|2=1,|b|2=1, ∴-k+t3+3t=0, ∴k=t3+3t.…………………………………………………………(8 分) k+t2 t3+t2+3t 2 ∴ = =t +t+3 t t 1?2 11 =? ?t+2? + 4 .…………………………………………………………………………… (10 分) k+t2 1 11 故当 t=- 时, 有最小值 .………………………………………………………(12 分) 2 t 4 π? 11.解 (1)f(x)=a· b=2cos? ?x+6?+2sin x π π =2cos xcos -2sin xsin +2sin x 6 6 π x+ ?.…………………………………………………………(5 分) = 3cos x+sin x=2sin? ? 3? π π 3π 由 +2kπ≤x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 3 2 π 7π 得 +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z. 6 6 所以 f(x)的单调递减区间是 ?π+2kπ,7π+2kπ? (k∈Z). ……………………………………………………………(8 分) 6 ?6 ? π? (2)由(1)知 f(x)=2sin? ?x+3?. π? 8 又因为 2sin? ?x+3?=5, π? 4 所以 sin? ?x+3?=5,……………………………………………………………………(11 分) π? ?π ? ? π? 4 即 sin? ?x+3?=cos?6-x?=cos?x-6?=5. π π 7 2x- ?=2cos2?x- ?-1= .………………………………………………(14 分) 所以 cos? 3? ? ? 6? 25

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