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【解析】河南省洛阳市2015届高三12月第一次统一考试数学文试题


河南省洛阳市 2015 届高三 12 月第一次统一考试
【试卷综析】试题在重视基础,突出能力,体现课改,着眼稳定,实现了新课标高考数学试题与老高考试 题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题,体现数学本质,凸显数学思想,强化思维量,控制运算量,突 出综合性,无论是在试卷的结构安排方面,还是试题背景的设计方面以全新的面貌来诠释新课改的理念.

第I卷

r />
(选择题,共 60 分) .

【题文】一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个 是符合题目要求的.
2 【题文】 1.已知全集 U 为实数集,集合 A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? ? x | y ? ln(1 ? x)? ,

?

?

则图中阴影部分表示的集合为

A. C.

?x | x ? 1 ? x ? 3? ?x | x ? ?1?

B. D.

?x | x ? 3? ?x | ?1 ? x ? 1?

【知识点】集合 A1 【答案】 【解析】D 解析:由题意可求出 A ? ?x | ?1 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? 1 ?? A ? B ? ?x | ?1 ? x ? 1? ,所 在正确为 D. 【思路点拨】根据题意求出各集合中元素的范围,再根据图形求出正确的集合. 【题文】 2.设 i 为虚数单位,复数 z1 ? 3 ? ai, z2 ? 1 ? 2i ,若 纯虚数,则实数 a 的值为 A. ?

z1 是 z2

3 2

B.

3 2

C.- 6

D.6

【知识点】复数 L4 【答案】 【解析】B 解析:由题可知 则 3 ? 2a ? 0 ? a ?

z1 3 ? ai ? 3 ? ai ??1 ? 2i ? 3 ? 2a a ? 6 ? ? ? ? i ,又已知是纯虚数, z2 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? 2i ? 5 5

3 ,所以 B 正确. 2

【思路点拨】根据复数的运算,我们可进行分母实数化运算,再由实部等于零可求出 a.
2 2 【题文】3.过点 P(2,3)的直线 l 与圆 x ? y ? 25 相交于 A,B 两点,当弦 AB 最短时,直线 l 的方程是

A. 2x+3y – 13=0 B.2x- 3y+5 =0 C.3x - 2y =0 D.3x+2y- 12 =0 【知识点】直线与圆 H4
页 1第

【答案】 【解析】 A 解析: 由题意可知当 P 点到圆心的距离为弦心距时 AB 最短, 这时 k AB ? 又过 P 点所以直线方程为 y ? 3 ? ?

3 2 ? ?1? k AB ? ? , 2 3

2 ? x ? 2 ? ? 2 x ? 3 y ? 13 ? 0 ,所以 A 为正确选项. 3

【思路点拨】由直线与圆的位置关系可知 OP 为弦心距时 AB 最短,求出斜率再代入即可. 【题文】 4.已知 a ? R ,若 a+1,a+2,a+6 依次构成等比数列,则此等比数列的公比为 A.4 B.2 C.1 D. ?

2 3 2 3 1 4 , a ? 2 ? ,所以第二 3 3

【知识点】等比数列 D3 【答案】 【解析】A 解析:由题意可知 ? a ? 2 ? ? ? a ? 1?? a ? 6 ? ? a ? ? ? a ? 1 ?
2

项除以第一项等于 4,所以 A 为正确选项. 【思路点拨】根据等比数列的定义求出字母 a,再求出数列的各项即可求出公比. 【题文】 5.设等边三角形 ABC 边长为 6,若 BC ? 3BE, AD ? DC ,则 BD ? AE 等于 A. ?6 21 B. 6 21 C.- 18 D.18

【知识点】向量的数量积 F3 【答案】 【解析】 B 解析: 由题意可得 BD ? AE ? BA ? AD
2 1 1 1 AB ? AC ? BC ? AC ? AB ? BC ? AB ? ?18 2 6 3

?

1 1 ?? ? ?? AB ? BE ? ? ? ? ? AB ? AC ?? AB ? BC ? ? 2 3 ? ?? ?

【思路点拨】由三角形的关系可利用向量的数量积可求出结果. 【题文】 6.已知实数 a,b 满足 a ? b ? 1,设函数 f ( x) ? x2 ? 6 x ? 5 ,则使 f(a)≥f(b)的概率为
2 2

A.

3 1 ? 4 2?

B.

1 1 ? 2 ?

C.

3 4

D.

1 2
2 2

【知识点】概率 K3 【答案】 【解析】D 解析:由题意可知 a,b 的值一定在 f ? x ? 的递减区间上,而在 a ? b ? 1 所表示的范围 中, a ? b与a<b 的概率是相等的,所以 f(a)≥f(b)的概率为 【思路点拨】由几何概型的计算方法可以求出概率. 【题文】7.已知△ABC 为锐角三角形,且 A 为最小角,则点 P(sin A ? cos B,3cos A ? 1) 位于 A.第一象限 B.第二象限 【知识点】三角函数 C2 C.第三象限 D.第四象限

1 ,所以 D 正确. 2

【答案】 【解析】A 解析:由题意可知角 A 小于

? , 3 ? ? ? ?? ? A ? B ? ? ? A ? B ? ? cos B ? cos ? ? A ? ? sin A? sin A ? cos B ? 0 ,又因为 2 2 2 ?2 ? ? 1 ?A ? ? cos A ? ? 3cosA ? 1 ? 0 ,所以 P 点的横纵坐标都为正值,所以 A 正确. 3 2

【思路点拨】由三角之间的关系可求判定 P 点的位置.
2 【题文】8.设 f ( x ) 是定义在[-2,2]上的奇函数,若 f(x)在[-2,0]上单调递减,则使 f (a ? a) ? 0

成立的实数 a 的取值范围是
页 2第

A

??1,2?

B.

??1,0? ?1,2?

C.

? 0,1?

D.

? ??,0? ?1, ???

【知识点】函数的奇偶性 B4 【答案】 【解析】B 解析:根据奇函数的性质可知,若 f(x)在[-2,0]上单调递减,则 f ? x ? 在区间 (0, 2] 也 单 调 递 减 , 且
2

f

?

2

? ? a 0

??

,a

?

f ? 0? ? 0
a 0 ? 或 f ?







2

? ? ?f

0 a?

2 ? a1 ? B. a ,所以正确选项为

0?

1 ?

a

【思路点拨】根据函数的奇偶性与单调性可直接列出关系式求解. 【题文】9.设 F1 , F2 分别是双曲线 C :

? 6 2? x2 y 2 ? 2 ? 1 的左,右焦点,点 P ? 2 ? 2 , 2 ? ? 在此双曲线上,且 a b ? ?

PF1 ? PF2 ,则双曲线 C 的离心率 P 等于
A.

2 2

B.

2

C.

3

D.

6 2

【知识点】双曲线 H6 【答案】 【解析】B 解析:将点 P 代入可得 3b ? a ? 2a b ,再由 PF1 ? PF2 可得
2 2 2 2

2 2 2 ? 2 ? ?1? c 2 ? 2 ,根据 c 2 ? a 2 ? b2 可得 c ? 2 所以 B 正确. a 6 6 ?c ?c 2 2
【思路点拨】由题目中的条件可以求出双曲线的离心率. 【题文】10.若 ?x ? (0, ) ,均有 9x ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) ,则实数 a 的取值范围是 A. ? 2 3 ,1?

1 2

? ?

?

1

? ?

B. ? 0,2 3 ?

? ?

?

1

? ?

C. ? 2 3 ,3 ?

? ?

1

? ?

D. ? 1, 2 3 ?

? ?

1

? ?

【知识点】指数函数与对数函数 B6 B7 【答案】 【解析】A 解析:由指数函数与对数函数的图像可知 0 ? a ? 1 ,再由
1 1 ? ? 1 3 9 ? log a ? a ? 2 且a<1? 2 3 ? a ? 1 ,所以 A 正确. 2 1 2

【思路点拨】根据指数函数与对数函数的图像与性质可判定结果. 【题文】11.边长为 2 的正三角形 ABC 中,D,E,M 分别是 AB,AC,BC 的中点,N 为 DE 的中点,将△ADE 沿 DE 折起至 A'DE 位置,使 A'M= ?

6 ,设 MC 的中点为 Q,A'B 的中点为 P,则 2

①A'N ? 平面 BCED ③NQ∥平面 A'EC ③DE ? 平面 A'MN, ④平面 PMN∥平面 A'EC 以上结论正确的是 A.①②④ B.②③④. C.①②③ D.①③④ 【知识点】空间几何体 G4 G5 【答案】 【解析】C 解析:由题意可知 MN 与 CE 在同一平面内且不平行,所以一定有交点,即平面 PMN 与平 面 A'EC 有交点,所以不平行,④错误,其它可计算出正确.所以 C 为正确选项. 【思路点拨】根据空间几何体的位置关系进行计算可判定结果.



3第

【题文】12.已知函数 f ( x ) ? 则 g ( n) ? A.0 B.

2 1 2 n ?1 ) ? f (1) ,令 g (n) ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? ? ? f ( 4 ?2 n n n
x

1 2

C.

n 2

D.

n ?1 2

【知识点】函数的性质 B10 【答案】 【解析】 D 解析: 本题可令 n ? 1, g ?1? ? f ? 0 ? ? f ?1? ? 1, n ? 2, g ? 2 ? ? f ? 0 ? ? f ? 依次类推可知 g ? n ? ?

3 ?1? ? ? f ?1? ? , 2 ?2?

n ?1 ,所以 D 正确. 2

【思路点拨】由函数的性质可直接找出规律,再求出最后结果.

第Ⅱ卷

(非选择题,共 90 分)

【题文】二、填空题:本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 【题文】13.执行如图的程序,则输出的结果等于____

【知识点】程序框图 L1 【答案】 【解析】2500 解析:由题意可得 S1 ? 1, S2 ? 1 ? 3, S3 ? 1 ? 3 ? 5, S4 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7, ,也可得

i1 ? a1 ? 1,i2 ? a2 ? 3,

in ? an ? 2n ?1?i ? 100则n ? 50 ,这时 S ? S50 ?

50 ?1 ? 99 ? ? 2500 2

【思路点拨】由程序框图可计算结果. 【题文】14.如图,某几何体的三视图均为腰长为 1 的等腰直角 三角形,则此几何体最长的棱长为___



4第

【知识点】三视图 G2 【答案】 【解析】 3 解析:由题意可作出三视图的直观图是四个面都是直角三角形的四面体,由直观图

可知最长的棱长为 3 【思路点拨】由几何体的三视图可以想出直观图,再由直观图求出棱长. 【题文】 15.在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 b=1, a=2c, 则 sinC 的最大值为 ______________. 【知识点】余弦定理 C8 【答案】 【解析】

1 解析:由题意可知 c 不是最大边,再由三角形边长的关系可知 2 1 1 a 2 ? b 2 ? c 2 3c 1 a ? c ? b, a ? c ? b ? ? c ? 1 ,再由余弦定理可知 cos C ? ? ? ? 3 ,所以 sin C ? 3 2 2ab 4 4c
【题文】16、已知数列

【思路点拨】由三角形中角的关系可利用余弦定理可求出结果.

?an? 的通项公式为

an ? n2 ? ?n ,若此数列为单调递增数列,则实数 ? 的取值

范围是____________. 【知识点】数列的性质 D1 2 【答案】 【解析】a>﹣3 解析:∵an=n + ? n, 2 ∴an+1=(n+1) + ? (n+1)∵an 是递增数列, 2 2 ∴(n+1) + ? (n+1)﹣n ﹣ ? n>0 化简可得 2n+1+ ? >0 ∴ ? >﹣2n﹣1,对于任意正整数 n 都成立,∴ ? >﹣3 2 【思路点拨】由题意可得 an+1=(n+1) + ? (n+1) ,要满足为递增需数列 an+1﹣an>0,化简可得 ? >﹣2n﹣ 1,只需求出﹣2n﹣1 的最大值即可. 【题文】三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 【题文】 17. (本小题满分 10 分) 已知 F1 , F2 是椭圆等 称.
页 5第

x2 y 2 ? ? 1 的左,右焦点,以线段 F1F2 为直径的圆与圆 C 关于直线 x+y-2=0 对 4 3

(l)求圆 C 的方程; (2)过点 P(m,0)作圆 C 的切线,求切线长的最小值以及相应的点 P 的坐标. 【知识点】直线与椭圆 H8 【答案】 【解析】 (1)

? x ? 2? ? ? y ? 2? 2 ? 1
2

(2)

由题意可知 F 线段 F1F2 的 3 解析: 1 ? ?1,0? , F 2 ?1,0 ? ,

中点为坐标原点 O,设点 O 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称的点 C 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,则

x0 ? ?1 ? FF ?x ? 2 y0 2 ? ?? 0 ? C ? 2, 2 ? 半径为 1 2 ? 1,所以圆 C 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? x0 ? y0 ? 2 ? 0 ? y0 ? 2 ? ?2 2
(2)切线长 ?

PC ? 1 当 PC 最小时,切线长取得最小值,当 PC 垂直于 X 轴,即点 P 位于 ? 2,0 ? 处时,
2

取 PC min ? 2 ,此时切线长取最小值为 3 . 【思路点拨】根据直线与椭圆的关系可以求出圆的半径与圆心坐标,再求出圆的方程,再根据几何关系可 求出切线的最小值与 P 点的坐标. 【题文】18.(本小题满分 12 分) 已知数列 (1)求数列

?an? 的前 n 项和公式为 ?an? 的通项公式.
an ,求数列 81

Sn ?

1 n ?1 3 ?3 ? . 2 2

(2)令 bn ? log 3

? b ? 的前 n 项和
n

. Tn (其中, n ? 5 )

【知识点】数列的通项公式与前 n 项和公式 D3 D4 【答案】 【解析】(1) an ? 3n (2) Tn ?

1 2 7 n ? n ? 12 解析:(1)当 n ? 1 时, a1 ? 3 ,当 2 2 n 1 n ? 2时,an ? Sn ? Sn?1 ? 3 ,且 a1 ? 3 ? 3 ,所以 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n (2)

an ? n ? 4 ,令 bn ? 0即n ? 4 ? 0, ? n ? 4 ,即 ?bn ? 从第四项开始各项均非负,所以当 n ? 5 时, 81 ? n ? 4? ? ?1 ? ? n ? 4 ?? ? ? 1 n2 ? 7 n ? 12 Tn ? ?b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? ? bn ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ? 2 2 2 bn ? log 3
【思路点拨】由前 n 项和与通项的关系可求出通项公式,再由数列的特点求出前 n 项和. 【题文】 19. (本小题满分 12 分) 如图,△ABC 中, ?ABC ? 90 ,点 D 在 BC 边上,点 E 在 AD 上. (l)若点 D 是 CB 的中点, ?CED ? 30 , DE ? 1, CD ? 3
页 6第

求△ACE 的面积; (2)若 AE ? 2CD, ?CAE ? 15 , ?CED ? 45 ,求 ? DAB 的余弦值. 【知识点】正弦定理;余弦定理 C8 【答案】 【解析】(1)

3 (2) cos ? DAB ? 3 ?1 解析:在 CDE 中, 4

CD ? CE2 ? ED2 ? 2CE ? ED ? cos ?CED ? 1? EDC 为等腰三角形, 1 3 ?ADB ? 60?, AD ? 2, AE ? 1, S ACE ? ? AE ? CE ? sin ?AEC ? 2 4 CD CE CE sin ?CED ? ? sin ?CDE ? ? 3 ?1, (2)设 CD ? a ,在 ACE 中, sin ?CED sin ?CDE CD cos ? DAB ? cos ? ?CDE ? 90?? ? sin ?CDE ? 3 ? 1
【思路点拨】由余弦定理可求三角形的边与角,再求出面积,再利用正弦定理求出余弦值. 【题文】20. (本小题满分 12 分) 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ABC ? 90 , AA 1 ? AC ? BC ? 2

A1 在底面 ABC 内的射影为 AC 的中点 D.
(1)求证: BA1 ? AC1 ; (2)求三棱锥 B1 ? A1DB 的体积. 【知识点】空间几何体 G7

3 解析:(1)证明 3 A1D ? 平面ABC,A1D ? 平面ACC1A1 ?平面ACC1A1 ? 平面ABC ,且交线为 AC, BC ? 平面ABC,且BC ? AC, ?BC ? 平面ACC1A1, AC1 ? 平面ACC1A1 ? BC ? AC1 又AA1 =AC?ACC1A1为菱形, ?AC1 ? A1C, A1C、BC ? 平面A1BC,且BC ? A1C=C ? AC1 ? 平面A1 BC,, BA1 ? 平面A1 BC? BA1 ? AC1 (2)
【答案】 【解析】(1)略(2)

1 1 1 1 1 1 3 VB1 ? A1DB =VD ? A1B1B = VC ? A1B1B = VC1 ? A1B1B = VB ? A1B1C1 = VABC ? A1B1C1 = ? 2 ? 2 ? ? 3= 2 2 2 6 6 2 3
【思路点拨】由空间的直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系可证线线垂直,再由等体积法可 求出体积. 【题文】21.(本小题满分 12 分) 已知过点 M ( 为坐标原点. (1)求 p 的值; (2)若圆 x ? y ? 2 x ? 0 与直线 l 相交于以 C,D(A,C 两点均在第一象银),且线段 AC,CD,DB 长构
2 2

p ,0) 的直线 l 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 交于 A,B 两点,且 OA OB ? ?3 ,其中 O 2

成等差数列,求直线 l 的方程. 【知识点】直线与抛物线 H8 【答案】 【解析】(1) p ? 2 (2)

2x ? y ? 2 ? 0 解析:(1)设 A? x1, y1 ? B ? x2 , y2 ? ,直线 L 的方程为
7第



p x ? my ? 2





p ? ? y ?x ? m 消 2 ? 2 ? ? y ?2 p x



x



y 2 ? 2 pmy ? p2 ? 0





以 ,

y1 ? y2 ? 2 pm, y1 y2 ? ? p2 , OA ? OB ? ?3? x1x2 ? y1 y2 ? ?3
x1 x2 ? p p ? ? p 2 ? ?3, p 2 ? 4 4 4
2
2 2

p ? 0?p ? 2

(2)由(1)知

y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4 AB ? ? y1 ? y2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2 2

2

AB ? 4 ? m 2 ? 1? ,

? ? y1 ? y2 ?2 ? 2 2 所以 ?1 ? ? ? ? ? 16 ? m ? 1? , ? ? 4 ? ? ? ?

AC , CD , BD 成等差数列,?2 CD ? AC ? BD ? AB ? CD ? AB ? 3 CD ,

又 CD 为圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 的直径,? CD ? 2 ? 4 m ? 1 ? 6 ? m ? ?
2

?

?

2 所以 L 的方程为 2

2x ? y ? 2 ? 0
【思路点拨】由直线与抛物线的方程联立,再结合条件可求出 p 的值,再根据条件可求出直线方程. 【题文】22. (本小题满分 12 分) 已知函数

4 4 ? x2 f ( x) ? (k ? )ln x ? ,其中常数 k x
f ( x) 在(0,2)上的单调性;

k ? 0。

(1)讨论 (2)若

曲线 k ??4, ??? ,

y ? f ( x) 上总存在相异两点

M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) 使得曲线

y ? f ( x)

在 M,N 两点处切线互相平行,求

x1 ? x2 的取值范围.
4? ? 4 x ? k ?? x ? ? ? k? ? k ? 4 ?1 ? ? , ? x ? 0, k ? 0 ? ① 2 2 x x x

【知识点】导数与函数的单调性 B11

? 16 ? , ?? ? 解析: f ? ? x ? ? ?5 ? 4 4 当 0 ? k ? 2 时, 0 ? k ? , 且 ? 2 ? x ? ? 0, k ? , f ? ? x ? ? 0, x ? ? k , 2 ? f ? ? x ? ? 0 所以函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? k k
【答案】 【解析】(1)略(2) ?
2

k?

4 ? x ? 2? ? 0 恒成立,所以函数 上单调递减,在 ? k ,2? 上单调递增;②当 k ? 2 时, ? k ? 2 , f ? ? x ? ? ? k x2 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上单调递减;③当 k ? 2 时,

4 4 ? 4? ?4 ? ? 4? ? 2,0 ? ? k ? x ? ? 0, ? , f ? ? x ? ? 0, x ? ? , 2 ? , f ? ? x ? ? 0 ,所以函数在 ? 0, ? 上单调递减,在 k k ? k? ?k ? ? k? ?4 ? ? , 2 ? 上单调递增; ?k ? 4 4 k? k? 4 k ? ?1 ? k ? 4 ? 1 ,化简得 (2)由题意 f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? x1 , x2 ? 0且x1 ? x2 ? 即 2 2 x1 x1 x2 x2 0?

4? 4 ?? x ? x ? ?x ?x ? ? ? 4 ? x1 ? x2 ? ? ? k ? ? x1 ? x2 , 而x1 ? x2 ? ? 1 2 ? ,所以 4 ? x1 ? x2 ? ? ? k ? ?? 1 2 ? ,即 k? k ?? 2 ? ? ? ? 2 ?
页 8第

2

2

4 4 ? k ? 2 ?? k ? 2 ? 16 ?0对 对 k ?[4, ??) 恒成立.令 g ? k ? ? k ? , g ? ? k ? ? 1 ? 2 ? 4 k k k k? k 16 16 16 ? 16 ? k ?[4, ??) 恒成立? g ? k ? ? g ? 4 ? ? 5? ? ? x1 ? x2 ? 即 x1 ? x2 的取值范围是 ? , ?? ? . 4 5 5 ?5 ? k? k

x1 ? x2 ?

【思路点拨】由函数的导数可讨论函数的单调性,再构造函数求出 x1 ? x2 的取值范围



9第


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