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《金版新学案》新课标人教A版必修1教学课件:1.2.2.2第2课时 分段函数及映射


第2课时

分段函数及映射

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

1.通过具体实例,了解简 单的分段函数,并能简单 应用. 2.了解映射的概念.

1.分段函数求值.(重 点) 2.对映射概念的理 解.(难点)

必修1 第一



集合与函数的概念

栏目导引

1.若f(2x+1)=x2+1,则f(x)=________.

t-1 解析: 设 t=2x+1,则 x= , 2 ? ? t-1?2 x-1?2 ? ? ∴f(t)=? +1.从而 f(x)=? ? ? ? ? +1. ? 2 ? ? 2 ?

答案:

?x-1? ? ?2 ? ? +1 ? 2 ?

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

2.作出下列函数的图象. (1)y=x,|x|≤1; (2)y=1-x,x∈Z 且|x|≤2; x2-x (3)y= . x-1 解析: (1)此函数图象是直线y=x的一部分.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

(2)此函数的定义域为{-2,-1,0,1,2},所以 其图象由五个点组成,这些点都在直线y=1- x上.(这样的点叫做整点)

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

x2-x (3)先求定义域, 在定义域上化简函数式 y= x-1 =x,x∈(-∞,1)∪(1,+∞).其图象如下:

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

1.分段函数 如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不 对应关系 同的取值范围,有着不同的_________,则称这 样的函数为分段函数. 2.映射 设A、B是两个_____的集合,如果按某一个确 非空 任意一个 定的对应关系f,使对于集合A中的________元 唯一确定 素x,在集合B中都有_________的元素y与之对 f:A→B 应,那么就称对应_______为从集合A到集合B 的一个映射.
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引

?x+1 1.已知函数 f(x)=? ?-x+3

?5? ?x≤1? ? ? ,则 f?2?= ? ? ?x>1?

(

) 1 B. 2 9 D. 2
B

1 A.- 2 5 C. 2
答案:

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

2.已知集合A={a,b},B={1,2},则下列对 应不是从A到B的映射的是( )

解析: A、B、D均满足映射定义,C不满足 集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之 对应,且集合A中元素b在集合B中无唯一元素 与之对应.故选C. 答案: C
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引

3.已知函数f(x)的图象如下图所示,则f(x)的 解析式是________.

解析: ∵f(x)的图象是由两条线段 组成, ∴由一次函数解析式求法可得 ?x+1 -1≤x<0, f(x)=? 0≤x≤1. ?-x ?x+1 x∈[-1,0? 答案: f(x)=? x∈[0,1] ?-x

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

4 . 已 知 函 数 f(x) 的 解 析 式 为 f(x) =
?3x+5,x≤0, ? ?x+5,0<x≤1, ? ?-2x+8,x>1.

(1)求

?3? ?1 ? ? ? f?2?,f?π?,f(-1)的值; ? ? ? ? ? ?

(2)画出这个函数的图象; (3)求 f(x)的最大值.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

?3? ?3? 3 ? ? 解析: (1)∵ >1,∴f?2?=-2×?2?+8=5. ? ? 2 ? ? ? ? 5π+1 1 1 1 ∵0< <1,∴f( )= +5= . π π π π ∵-1<0,∴f(-1)=-3+5=2.

(2)如图所示.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

在函数y=3x+5的图象上截取x≤0的部分, 在函数y=x+5的图象上截取0<x≤1的部分, 在函数y=-2x+8的图象上截取x>1的部分. 图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象. (3)由函数图象可知,当x=1时,f(x)取最大值 为6.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

分段函数及应用
?x+2 ?x≤-3? ? 2 已知函数 f(x)=?x ?-3<x<3? ? ?2x ?x≥3?



求(1)f(-5),(2)f(- 3),(3)f(3),(4)f(f(f(-4))) 的值.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

[解题过程] (1)∵-5<-3 ∴f(-5)=-5+2=-3 (2)∵-3<- 3<3 2 ∴f(- 3)=(- 3) =3 (3)f(3)=2×3=6 (4)∵-4<-3, ∴f(-4)=-4+2=-2; 又∵-3<-2<3, ∴f(f(-4))=f(-2)=(-2)2=4; 又∵4>3, ∴f(f(f(-4)))=f(4)=2×4=8.
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引

[题后感悟] (1)分段函数求值,一定要注意所 给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式 求得. (2)若题目是含有多层“f”的问题,要按照“ 由里到外”的顺序,层层处理.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

1.









f(x)



?x+1, x≤-2, ? 2 ?x +2x, -2<x<2, ? ?2x-1, x≥2.

(1)求 f(-5),f(-

? ? 5? ? 3),f?f?-2??的值; ? ? ?? ? ? ??

(2)若 f(a)=3,求实数 a 的值; (3)若 f(m)>m,求实数 m 的取值范围.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

解析:

(1)由-5∈(-∞,-2], 5 - 3∈(-2,2),- ∈(-∞,-2], 2 知 f(-5)=-5+1=-4, f(- 3)=(- 3)2+2(- 3)=3-2 3. ? 5? 5 3 3 ? ? ∵f?-2?=- +1=- ,-2<- <2, 2 2 2 ? ? ? ? 5? ? ? 3 ? ∴f?f?-2??=f?-2? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 3 ?2 3? ? ? ? =?-2? +2×?-2? ? ? ? ? ? 9 3 = -3=- . 4 4
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引

(2)①当a≤-2时,f(a)=a+1, ∴a+1=3,∴a=2>-2不合题意,舍去. ②当-2<a<2时,a2+2a=3, 即a2+2a-3=0. ∴(a-1)(a+3)=0, ∴a=1或a=-3. ∵1∈(-2,2),-3?(-2,2), ∴a=1符合题意. ③当a≥2时,2a-1=3, ∴a=2符合题意. 综合①②③,当f(a)=3时,a=1或a=2.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

?m≤-2 ?-2<m<2 (3)f(m) > m ? ? 或? 2 或 ?m+1>m ?m +2m>m ?m≥2 ? ?2m-1>m ?-2<m<2 ?m≥2 ?m≤-2 或? 或? ?m<-1或m>0 ?m>1

?m≤-2 或-2<m<-1 或 0<m<2 或 m≥2 ?m<-1 或 m>0. ∴所求 m 的取值范围是(-∞, -1)∪(0, +∞).

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

分段函数的图象 |x|-x 已知函数 f(x)=1+ (-2<x≤2). 2 (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域.
讨论x的取值范围→化简f?x?的解析式→把f?x? 表示为分段函数形式→画出f?x?的图象→求f?x? 的值域

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

[规范作答] =1,2 分

x-x (1)当 0≤x≤2 时, f(x)=1+ 2

-x-x 当-2<x<0 时,f(x)=1+ =1-x.4 分 2 ?1 ?0≤x≤2? ∴f(x)=? 6分 ?-2<x<0? ?1-x

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

(2)函数f(x)的图象如图所示,10分

(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3).12分
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引

[题后感悟] (1)如何去掉函数解析式中的绝对 值符号? 采用零点分段法:

①令每个绝对值符号内的式子等于0,求出对 应的x值,设为x1,x2; ②把求出的x值标在x轴上,如图. ③根据x值把实轴所分的部分进行讨论,分 x≤x1,x1<x≤x2,x≥x2.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

(2)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先 应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数 转化为分段函数,然后分段作出函数图象.由 于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一 样,因此画图时要特别注意区间端点处对应点 的实虚之分.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

?x2 ?-1≤x≤1? 2.已知 f(x)=? ?1 ?x>1或x<-1?

(1)画出 f(x)的图象; (2)求函数 f(x)的定义域和值域.
解析:

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

(1)利用描点法,作出f(x)的图象,如图所示. (2)由条件知, 函数f(x)的定义域为R. 由图象知,当-1≤x≤1时 f(x)=x2的值域为[0,1], 当x>1或x<-1时, f(x)=1,所以f(x)的值域为[0,1].

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

映射的概念及运用 如下图中所示的对应:

其中构成映射的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6
从映射定义出发,观察A中任一元素在B中是否 都有唯一元素与之对应.
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引

[解题过程]
序 号 ① ② 是否 为映 射 是 是 原因 满足取元任意性、对应元素唯 一性. 满足取元任意性、对应元素唯 一性. 满足取元任意性、对应元素唯 一性.





必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引


⑤ ⑥

不是
不是 不是

是一对多,不满足对应元素 唯一性.

是一对多,不满足对应元素 唯一性.
a3,a4无对应元素、不满足 取元任意性.

答案:

A

必修1 第一章

集合与函数的概念

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[题后感悟] 判断一个对应是否为映射的关键 是什么? ①取元任意性:A中任意元素在B中是否都有 元素与它对应; ②唯一性:A中元素在B中的对应元素是否唯 一. [注意] ①映射允许多对一,一对一,不允许 一对多. ②想说明一个对应不是映射,只需寻找一个反 例即可.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

3.下列对应是从 A 到 B 的映射的是 ( ) A.A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x| B.A={x|x≥0},B={y|y>0},f:x→y= x C.A=N,B=N*,f:x→y=|x-1| D.A=R,B={y|y≥0},f:x→y=x2-2x+2

解析: A、B项中集合A中的元素0在集合B中 没有元素与之对应,C项中集合A中的元素1在 集合B中没有元素与之对应,故选D. 答案: D

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

4.设M={x|0≤x≤3},N={y|0≤y≤3},给出4个 图形,其中能表示从集合M到集合N的映射关 系的有( )

A.0个 C.2个

B.1个 D.3个

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

解析: 图①,图②符合映射定义,图③集合 M中的(2,3]的数在集合N中没有元素与之对应, 故不能构成映射,图④集合M中的(0,1]内的每 一个数在集合N中有两个元素与之对应,故不 能构成映射. 答案: C

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

1.正确认识分段函数 (1)分段函数是一个函数而非几个函数,只不 过在定义域的不同子集内解析式不一样. (2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并 集,其值域是各段“值域”的并集. (3)分段函数的图象应分段来作,特别注意各 段的自变量取区间端点处时函数的取值情况, 以决定这些点的实虚情况.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

2.正确理解映射概念 (1)映射f:A→B是由非空集合A、B以及A到B 的对应关系f所确定的. (2)映射定义中的两个集合A、B是非空的,可 以是数集,也可以是点集或其他集合,A、B 是有先后次序的,A到B的映射与B到A的映射 一般是截然不同的,即f具有方向性. (3)在映射中,集合A的“任一元素”,在集合 B中都有“唯一”的对应元素,不会出现一对 多的情况.只能是“多对一”或“一对一”形 式.
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引

◎下列命题: (1)函数是定义域到值域的映射; (2)f(x)= x-3+ 2-x是函数的解析式; (3)函数 y=3x(x∈N)的图象是一条直线; (4)函数 f(x)=x 与 g(x)= x2是同一函数. 其中正确命题的序号是________.
【错解】 (1)、(2)、(3)、(4)

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

【错因】 第(2)个命题忽视了定义域,因为 y = x-3+ 2-x的定义域为?,所以它不是解 析式;第(3)个命题中的函数的定义域为 N,其 图象由点构成;第(4)个命题,由于 g(x)= x2= |x|,所以两函数的对应法则不同,不是同一函 数.
【正解】 (1)

必修1 第一章

集合与函数的概念

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