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比较全面的等差等比数列的性质总结

时间:2013-10-28


数学

一、等差数列
1.等差数列的定义: a n ? a n ?1 ? d (d为常数) n ? 2 ) ( ; 2.等差数列通项公式:

an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * )
推广: a n ? a m ? (n ? m)d . 3.等差中项



首项: a1 ,公差:d,末项: an

从而 d ?

an ? am ; n?m
a?b 或 2A ? a ? b 2

(1)如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A ?

(2)等差中项:数列 ?a n ?是等差数列 ? 2a n ? a n-1 ? a n ?1 (n ? 2) ? 2a n ?1 ? a n ? a n ? 2 4.等差数列的前 n 项和公式:

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n2 ? (a1 ? d )n ? An2 ? Bn 2 2 2 2

(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn 是关于n的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数 2n ? 1 时, an ?1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项

S2 n ?1 ?

? 2n ? 1?? a1 ? a2n?1 ? ?
2

? 2n ? 1? an?1 (项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)

5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若 a n ? a n ?1 ? d 或 a n ?1 ? a n ? d (常数 n ? N ? ) ? ⑶数列 ?a n ?是等差数列 ? a n ? kn ? b (其中 k, b 是常数)。
2

(2) 等差中项:数列 ?a n ?是等差数列 ? 2a n ? a n-1 ? a n ?1 (n ? 2) ? 2a n ?1 ? a n ? a n ? 2 . (4)数列 ?a n ?是等差数列 ? Sn ? An ? Bn ,(其中A、B是常数)。 6.等差数列的证明方法
? 定义法:若 a n ? a n ?1 ? d 或 a n ?1 ? a n ? d (常数 n ? N ) ?

?a n ?是等差数列.

?a n ?是等差数列.

7.提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 S n ,其中 a1 、 d 称作为 基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项 an ? a1 ? (n ? 1)d ②奇数个数成等差,可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ?(公差为 d ) ; ③偶数个数成等差,可设为?, a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(注意;公差为 2 d ) 8..等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时, 等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d ; 前 n 和 Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2

(2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。 (3)当 m ? n ? p ? q 时,则有 a m ? a n ? a p ? a q ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p . 注: a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? a3 ? an? 2 ? ??? ,

-1-

数学 (4)若 ? an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ?? an ? b?,?1an ? ?2bn ? 都为等差数列 ? (5) 若{ a n }是等差数列,则 Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S 2 n ,?也成等差数列 (6)数列 {an } 为等差数列,每隔 k(k ? N * )项取出一项( am , am ? k , am ? 2 k , am ?3k , ??? )仍为等差数列 (7)设数列 ?a n ?是等差数列,d 为公差, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是前 n 项的和 1.当项数为偶数 2n 时,

S奇 ? a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? a2 n ?1 ? S偶 ? a2 ? a4 ? a6 ? ??? ? a2 n ?

n ? a1 ? a2 n ?1 ?

2 n ? a2 ? a2 n ? 2

? nan

? nan ?1

S偶 ? S奇 ? nan ?1 ? nan ? n ? an ?1 ? an ?
S奇 S偶 ? nan a ? n nan ?1 an ?1

2、当项数为奇数 2n ? 1时,则

?S2 n?1 ? S奇 ? S偶 ? (2n ? 1) an+1 ?S奇 ? (n ? 1)an+1 ? S n ?1 ? ?? ? 奇? ? S奇 ? S偶 ? an+1 S偶 n ? S偶 ? nan+1 ? ? ? (其中 an+1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项) .
(8) {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且 、 则

An ? f ( n) , Bn

an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1

(9)等差数列 {an } 的前 n 项和 Sm ? n ,前 m 项和 Sn ? m ,则前 m+n 项和 Sm? n ? ? ? m ? n ? (10)求 S n 的最值 法一:因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性

n ? N* 。
法二: (1) “首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和 即当 a1 ? 0,d ? 0,由 ?

?a n ? 0 可得 S n 达到最大值时的 n 值. ?a n ?1 ? 0

(2) “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当 a1 ? 0,d ? 0,由 ? 或求 ?an ?中正负分界项

?a n ? 0 可得 S n 达到最小值时的 n 值. ?an ?1 ? 0

法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对 称轴最近的整数时, S n 取最大值(或最小值) S p = S q 则其对称轴为 n ? 。若 注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法: ①基本量法:即运用条件转化为关于 a1 和 d 的方程; ②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.

p?q 2

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数学

二、等比数列
1. 等比数列的定义: 2. 通项公式:

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比 an ?1

an ? a1q n ?1 ?

a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? , q

首项: a1 ;公比: q

推广: an ? am q n ? m , 3. 等比中项

从而得 q n ? m ?

a an 或 q ? n?m n am am

(1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A2 ? ab 或 A ? ? ab 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数) (2)数列 ?a n ?是等比数列 ? an 2 ? an ?1 ? an ?1

4. 等比数列的前 n 项和 S n 公式: (1) 当 q ? 1 时, S n ? na1 (2) 当 q ? 1 时, S n ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q
?

?

a1 ? an q 1? q

a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ( A, B, A ', B ' 为常数) 1? q 1? q

5. 等比数列的判定方法 (1)用定义:对任意的 n,都有 an ?1 ? qan或
2

an ?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } 为等比数列 an

(2) 等比中项: an ? an ?1an ?1 ( an ?1an ?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3) 通项公式: an ? A ? B
n

? A ? B ? 0 ? ? {an } 为等比数列
n n

(4) 前 n 项和公式: Sn ? A ? A ? B 或S n ? A ' B ? A ' A, B, A ', B '为常数 ? {an } 为等比数列 6. 等比数列的证明方法 依据定义:若

?

?

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an ?1

7. 注意 (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 S n ,其中 a1 、 q 称作为 基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项; an ? a1q 如奇数个数成等差,可设为?,
n ?1

a a , , a, aq, aq 2 ?(公比为 q ,中间项用 a 表示) ; q2 q
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数学

8. 等比数列的性质 (1) 当 q ? 1 时
①等比数列通项公式 an ? a1q n ?1 ?

a1 n q ? A ? B n ? A ? B ? 0 ? 是关于 n 的带有系数的类指数函数,底数为公比 q q

②前 n 项和 S n ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? a1q n a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ,系数和常数项是互为相反 1? q 1? q 1? q

数的类指数函数,底数为公比 q

(2) 对任何 m,n ? N * ,在等比数列 {an } 中,有 an ? am q n ? m ,特别的,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公 式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t ? N * ),则 an ? am ? as ? at .特别的,当 n+m=2k 时,得 an ? am ? ak 2 注: a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? a3an? 2 ???
a k (4) 列{an } , {bn } 为等比数列,则数列 { } , {k ? an } , {an k } , {k ? an ? bn } { n } (k 为非零常数) 均为等比数 bn an

列. (5) 数列 {an } 为等比数列,每隔 k(k ? N * )项取出一项( am , am? k , am? 2 k , am?3k , ??? )仍为等比数列 (6) 如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列{log a an } 是等差数列 (7) 若 {an } 为等比数列,则数列 S n , S 2n ? S n , S3n ? S2 n , ??? ,成等比数列 (8) 若 {an } 为等比数列,则数列 a1 ? a2 ????? an , (9) ①当 q ? 1 时,
? 0,则{ a }为递增数列 {a11 ?0,则{ann }为递减数列 , a

an?1 ? an?2 ????? a2 n ,

a2 n?1 ? a2 n ? 2 ??????a3n 成等比数列

②当 0<q ? 1 时,
? 0,则{ an }为递减数列 {a1 ? 0,则{an }为递增数列 a1

③当 q=1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当 q<0 时,该数列为摆动数列. (10)在等比数列 {an } 中, 当项数为 2n (n? N * )时,
S奇 S偶 ? 1 ,. q

(11)若 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 Sn ? m ? Sn ? q n ? Sm
例 1、 (1)设 ?a n ?是等差数列,且 a1 ? a 4 ? a8 ? a12 ? a15 ? 2 ,求 a 3 ? a13 及 S15 值。 (2)等比数列 ?a n ?中, a1 ? a n ? 66 , a 2 a n ?1 ? 128 ,前 n 项和 Sn=126,求 n 和公比 q。 (3)等比数列中,q=2,S99 =77,求 a3 +a6 +…+a99 ; (4)项数为奇数的等差数列 ?a n ?中,奇数项之和为 80,偶数项之和为 75,求此数列的中间项与项数。
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解: (1)由已知可得 a8 ? ?2 ,所以 a 3 ? a13 =2 a8 ? ?4 ,S15 =

15?a1 ? a15 ? ? 15a8 ? ?30 2 ? a ? 2 ?a1 ? 64 或? ? 2 ? 由题? a1an ? 128, a1 ? an ? 66 ,所以 ? 1 ?a n ? 64 ? a n ? 2 ?q ? 2 ?q ? 1 a ? an q ? 又 Sn ? 1 或? ? 126 ,所以 ? 2 1? q ?n ? 6 ? n ? 6 ?

数学

? 3? ? S99 ? ? a1 ? a4 ? ? ? a97 ? ? ? a2 ? a6 ? ? ? a98 ? ? ? a3 ? a6 ? ? ? a99 ?
? 1 1 ? ? ? 2 ? ? 1? ? a3 ? a6 ? ? ? a99 ? ?q q ? ? a3 ? a6 ? ? ? a99 ? 44
)与( a3 ? a6 ? ? ? a99 )的关系,从而

评注:分解重组,引导发现( a1 ? a4 ? ? ? a97 )( a2 ? 6 ? ?a9 、 a ? 8 使问题获得简单的解法。

?a1 ? a 2n?1 ?n
S奇 S偶 ?

?4? 设等差数列共 2n-1 项,则

?a 2 ? a 2n?2 ?(n ? 1)
2

2

?

n 80 ? ? n ? 16 n ? 1 75

所以此数列共 31 项.中间项 ? S 奇 ? S 偶 ? 80 ? 75 ? 5 评注:(1)在项数为 2n ? 1 项的等差数列 {an } 中, S奇 =(n+1)a中 ,S偶 =na中 ,S2n +1 =(2n +1)a中 ; (2)在项数为 2n 项的等差数列 {an } 中 S奇 =nan ,S偶 =nan ?1 ,S 2n +1 =n(an ? an ?1 ) . 变式: (1)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后三项的和为 146,且所有项的和为 390 ,则这个数列有 13 项; (2)已知数列 {an } 是等比数列,且 an >0 , n ? N* , a3a5 ? 2a4 a6 ? a5 a7 ? 81 ,则

a4 ? a6 ?

9 .

(3)等差数列前 m 项和是 30 ,前 2m 项和是 100 ,则它的前 3m 项和是 210 . (4) 等差数列{an}和{bn}的前 n 项之和之比为(3n+1):(2n+3),求. 例 2、设等差数列的前 n 项之和为 Sn,已知 a3 =12,S12 >0,S13 <0, (1)求公差 d 的取值范围。 (2)指出 S1 ,S2 ,S3 ,…Sn 中哪一个值最大,并说明理由。

a15 88 。 (= ) b15 61

?2a1 ? 11d ? 0 12 ? 11 12 ? 13 , d ? 0 , S13 ? 13a1 ? d ? 0 ,即 ? 2 2 ? a1 ? 6d ? 0 24 ? d ? ?3 。 由 a3 ? a1 ? 2d ? 12 ,代入得: ? 7 (2)解一:由 S12 ? 6?a6 ? a7 ? ? 0 , S13 ? 13a7 ? 0 可知 a6 ? 0 , a7 ? 0 ,所以 S6 最大。
解: (1) S12 ? 12 a1 ? 解二: S n ?

24 d 2 ? 5d ? ? d ? ?3 可知,它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的 n ? ?12 ? ?n ,由 ? 7 2 2 ? ?
2

点,根据图象可知 S6 最大。

24 d? 5d ? 24 ? d 5d ? 24 2 ? d ? ?3 得 ) ,由 ? 解三: S n ? ? n ? ? ? ( 2? 2d ? 2 2d 7 5d ? 24 13 6? ? 。又抛物线开口向下,所以 S6 最大。 2d 2
评注:求等差数列 Sn 最值有三法:借助求和公式是关于 n 的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的 性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。 (经过原点) 变式:(1) 已知等差数列{an}中, a1 ? 0, S 5 ? S12 ,问 S1 ,S2 ,S3 ,…Sn 中哪一个值最大。
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数学 (2) 数列 {an } 是首项为 1000 ,公比为

1 的等比数列,数列 {b n } 满足 10

1 bk ? (lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg ak ) (k ? N * ) , k
(1)求数列 {b n } 的前 n 项和的最大值; (2)求数列 {|b n |} 的前 n 项和 S n? . 略解: (1)由题得 an ? 104?n ,∴ lg an ? 4 ? n ,∴ {lg an } 是首项为 3,公差为 ?1 的 AP。 ∴ lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg ak ? 3k ?

k (k ? 1) 1 n(n ? 1) 7 ? n ,∴ bn ? [3n ? ]? 2 n 2 2 ?bn ? 0 21 由? ,得 6 ? n ? 7 ,∴数列 {b n } 的前 n 项和的最大值为 S6 ? S7 ? 2 ?bn ?1 ? 0

(2)由(1)当 n ? 7 时, bn ? 0 ,当 n ? 7 时, bn ? 0 ,

7?n 2 )n ? ? 1 n 2 ? 13 n ∴当 n ? 7 时, Sn? ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( 2 4 4 1 2 13 当 n ? 7 时, S n? ? b1 ? ? ? b7 ? b8 ? ? ? bn ? 2S7 ? Sn ? n ? n ? 21 4 4 ? 1 2 13 (n ? 7) ?? n ? 4 n ??? 4 ∴ Sn . ? ? 1 n 2 ? 13 n ? 21 (n ? 7) ?4 ? 4 例 3、(1) 由正数组成的等比数列{an } ,若前 2n 项之和等于它前 2n 项中的偶数项之和的 11 倍,第 3 项与第 4 项之和为第 2 项与第 4 项之积的 11 倍,求数列{an } 的通项公式. 3?
? a1 (1 ? q 2 n ) 11a1q (1 ? q 2 n ) ① ? ? 1 ? q2 解:当 q ? 1 时,得 2na1 ? 11na1 不成立,∴ q ? 1 ,∴ ? 1 ? q ② ?a q 2 ? a q 3 ? 11a q ? a q 3 ? 1 1 1 1 1 1 由①得 q ? ,代入②得 a1 ? 10 ,∴ an ? ( ) n ? 2 . 10 10
说明:用等比数列前 n 项和公式时,一定要注意讨论公比是否为 1. (2) 若数列 {an } 成等差数列,且 Sm ? n, Sn ? m(m ? n) ,求 S n ? m . 解: (法一)基本量法(略) ; (法二)设 Sn ? An ? Bn ,则 ?
2

? An 2 ? Bn ? m ? 2 ? Am ? Bm ? n ?

(1) (2)

(1) ? (2) 得: (n ? m ) A ? (n ? m) B ? m ? n ,? m ? n , ∴ (m ? n) A ? B ? ?1 ,
2 2

∴ Sn ? m ? (n ? m) A ? (n ? m) B ? ?(n ? m) .
2

评注:法二抓住了等差数列前 n 项和的特征 Sn ? An ? Bn 。
2

变式:设数列{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7 =7,S15 =75,Tn 为数列{
7?6 ? ?S 7 ? 7a 1 ? 2 d ? 7 ? 解:法一: (基本量法)设{an}首项为 a1 ,公差为 d,则 ? ?S ? 15a ? 15 ? 14 d ? 75 1 ? 15 2 ?
?a ? ?2 ∴ ? 1 ?d ? 1

Sn }的前 n 项和,求 Tn。 n

∴ S n ? ?2 ?

S n ?1 n 5 n(n ? 1) ? ? ,∴ n ? ?2 ? n 2 2 2 2

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数学 ∴ 此式为 n 的一次函数, ∴ {

Sn 1 a }为等差数列,∴ Tn ? n 2 ? n 。 n 4 4

?S 7 ? A ? 7 2 ? 7 B ? 7 ? 法二:{an}为等差数列,设 Sn=An2 +Bn,∴ ? ?S15 ? A ? 15 2 ? 15B ? 75 ?

1 ? ?A ? 2 ? 解之得: ? ?B ? ? 5 ? 2 ?

∴ Sn ?

1 2 5 n ? n ,下略。 2 2

例 4、已知等差数列 110,116,122,? , (1)在区间 [450,600] 上,该数列有多少项?并求它们的和; (2)在区间 [450,600] 上,该数列有多少项能被 5 整除?并求它们的和. 解: an ? 110 ? 6(n ? 1) ? 6n ? 104 , (1)由 450 ? 6n ? 104 ? 600 ,得 58 ? n ? 82 ,又 n ? N * ,

1 (a58 ? a82 ) ? 25 ? 13100 . 2 (2)∵ an ? 110 ? 6(n ? 1) ,∴要使 an 能被 5 整除,只要 n ? 1 能被 5 整除,即 n ?1 ? 5k ,
∴ 该数列在 [450,600] 上有 25 项, 其和 Sn ? ∴ n ? 5k ? 1,∴ 58 ? 5k ? 1 ? 82 ,∴ 12 ? k ? 16 ,∴在区间 [450,600] 上该数列中能被 5 整除的项共有 5 项 即第 61,66,71,76,81 项,其和 S ?

5(a61 ? a81 ) ? 2650 . 2

等差、等比数列性质及应用复习参考题
一、选择题 1.在正整数 100 至 500 之间能被 11 整除的个数为( ) A.34 B.35 C.36 2.{an }是等差数列,且 a1 +a4 +a7 =45,a2 +a5 +a8 =39,则 a3 +a6 +a9 的值是( A.24 3.设函数 f(x)满足 f(n+1)= B.27 C.30 ) D.37 ) D.33

2 f ( n) ? n (n∈N* )且 f(1)=2,则 f(20)为( 2

A.95 B.97 C.105 D.192 4. 若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003 .a2004 ? 0 ,则使前 n 项和

Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是:



) ) )

A.4005 B.4006 C.4007 D.4008 * 5.等差数列{an }中,已知 a1 =-6,an =0,公差 d∈N ,则 n(n≥3)的最大值为( A.5 B.6

C.7 D.8 o 6. 设命题甲:△ ABC 的一个内角为 60 ,命题乙:△ ABC 的三个内角的度数成等差数列.那么( (A)甲是乙的充分不必要条件 (B)甲是乙的必要不充分条件 (C)甲是乙的充要条件 (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7.已知等差数列{an }的公差为正数,且 a3·7 =-12,a4 +a6 =-4,则 S20 为( a )

A.180 B.-180 C.90 D.-90 8. 现有 200 根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能的少,那么剩余钢管的根数 为( ) ) A.9 B.10 C.19 D.29 9.由公差为 d 的等差数列 a1 、a2 、a3 …重新组成的数列 a1 +a4, a2+a5 , a3 +a6 …是( A.公差为 d 的等差数列 B.公差为 2d 的等差数列
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数学 C.公差为 3d 的等差数列 D.非等差数列 10.在等差数列{an }中,若 S9 =18,Sn =240,an -4 =30,则 n 的值为( A.14 二、填空题 B.15 C.16 ) D.17

2a n 2 (n∈N* ),则 是这个数列的第_________项. an ? 2 7 12.在等差数列{an }中,已知 S100 =10,S10 =100,则 S110=_________. 13.在-9 和 3 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成和为-21 的等差数列,则 n=_______. S a 2n 14.等差数列{an },{bn}的前 n 项和分别为 Sn 、Tn,若 n = ,则 11 =_________. b11 Tn 3n ? 1
11.在数列{an }中,a1 =1,an+1 = 15. 已知等差数列{a n}的公差 d≠0,且 a1 ,a3 ,a9 成等比数列,则 16. 若数列 {an } 是等差数列,则数列 ?
a1 ? a 3 ? a 9 的值是 a 2 ? a 4 ? a 10

? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? 也为等差数列,类比上述性质,相应地:若{c n } n ? ? 是等比数列,且 c n >0 ,则{ d n }是等比数列,其中 d n ? .
17. 设 m∈N+,log 2 m 的整数部分用 F(m)表示,则 F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是 三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.若等差数列 5,8,11,…与 3,7,11,…均有 100 项,问它们有多少相同的项?

19. 在等差数列{an }中,若 a1 =25 且 S9 =S17,求数列前多少项和最大.

20. 已知 f(x+1)=x2 -4,等差数列{an }中,a1 =f(x-1), a2 =- (1)求 x 值; (2)求 a2 +a5 +a8 +…+a26 的值.

3 ,a3 =f(x). 2

21.已知数列{an }的前 n 项和为 Sn ,且满足 an +2Sn·n -1 =0(n≥2),a1 = S

1 . 2

1 }是等差数列; (2)求 an 表达式; Sn 2 2 2 (3)若 bn =2(1-n)an (n≥2),求证:b2 +b3 +…+bn <1.
(1)求证:{

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数学

13、14 等差、等比数列性质及应用复习题参考答案
一、选择题: 1、 C 2、D 二、填空提: 11、6 3、B 4、C 5、C 6、C 7、A 8、B 9、B 10、B

12、-110

13、5

14、

21 32

15、

13 16

16、 n C1 ? C2 ? Cn

17、8204

三、解答题: 18. 设这两个数列分别为{an }、{bn},则 an =3n+2,bn =4n-1,令 ak=bm,则 3k+2=4m-1. ∴3k=3(m-1)+m,∴m 被 3 整除. 设 m=3p(p∈N ),则 k=4p-1. ∵k、m∈[1,100]. 则 1≤3p≤100 且 1≤p≤25. ∴它们共有 25 个相同的项. 19. ∵S9 =S17 ,a1 =25,∴9× 25+ ∴Sn =25n+
*

n(n ? 1) 2 (-2)=-(n-13) +169.由二次函数性质知前 13 项和最大. 2

9 ? (9 ? 1) 17(17 ? 1) d=17× 25+ d,解得 d=-2, 2 2

20.、 (1)∵f(x-1)=(x-1-1)2 -4=(x-2)2 -4 ∴f(x)=(x-1)2 -4,∴a1 =(x-2)2 -4,a3 =(x-1)2 -4, 又 a1 +a3 =2a2,解得 x=0 或 x=3. (2)∵ a1 、a2 、a3 分别为 0、- ∴an =-

3 3 、-3 或-3、- 、0 2 2

3 3 (n-1)或 an = (n-3) 2 2 3 9 351 ① 当 an =- (n-1)时,a2 +a5 +…+a26 = (a2 +a26 )= 2 2 2 3 9 297 ② 当 an = (n-3)时,a2 +a5 +…+a26 = (a2 +a26 )= . 2 2 2
21、 (1)∵-an =2Sn Sn -1,∴-Sn +Sn -1 =2Sn Sn -1 (n≥2),又 Sn ≠0,

1 1 1 1 1 - =2,又 = =2,∴{ }是以 2 为首项,公差为 2 的等差数列. Sn S n ?1 Sn S 1 a1 1 1 1 (2)由(1) =2+(n-1)2=2n,∴Sn = ,当 n≥2 时,an=Sn -Sn -1 =- 2n(n ? 1) Sn 2n


?1 (n ? 1) ?2 1 ? n=1 时,a1 =S1 = ,∴an = ? 1 2 ?(n ? 2) ? 2n(n - 1) ? 1 (3) 由(2)知 bn=2(1-n)an = n 1 1 1 1 1 1 ∴b2 2 +b3 2+…+bn 2 = 2 + 2 +…+ 2 < + +…+ ( n ? 1) n 3 n 1? 2 2 ? 3 2 1 1 1 1 1 1 =(1- )+( - )+…+( - )=1- <1. 2 2 3 n ?1 n n

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