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2014·新课标高考总复习·数学6-2一元二次不等式及其解法


2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

第二节

一元二次不等式及其解法

菜 单

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二、求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的算法过程

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[疑难关注] 1.含参数的一元二次不等式问题 (1)二次项系数中含有参数时,参数的符号影响不等式的解集;不 要忘了二次项系数是否为零的情况; (2)解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大 小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分 类要不重不漏. 2.当判别式Δ<0时,ax2+bx+c>0(a>0)的解集为R,ax2+bx +c<0(a>0)的解集为?,二者不能混为一谈. 3.注意数形结合思想的应用

(1)用二次函数y=ax2+bx+c的图象可以一目了然地写出一元二次
不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的解集; (2)用二次函数y=ax2+bx+c的图象可以直观地解决“三个二次”

间关系问题.
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1.(课本习题改编)设一元二次不等式 ax2 +bx+1>0 的解集为
? ? ? ? ? ? ? 1? x?-1<x<2? ,则 a+b 的值为( ? ? ?

)

A.-1 C.-3

B.1 D.2

?-1+1=-b, ? 2 a 解析:由根与系数的关系,得? ?-1×1=1, 2 a ?
解得 a=-2,b=-1, ∴a+b=-3.

答案:C
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x-2 2.(2013 年南昌模拟)不等式 2 <0 的解集为( x -1 A.{x|1<x<2} B.{x|x<2 且 x≠1}

)

C.{x|-1<x<2 且 x≠1} D.{x|x<-1 或 1<x<2} x-2 解析:因为不等式 2 <0 等价于(x+1)(x-1)(x-2)<0,所以该不 x -1

等式的解集是{x|x<-1 或 1<x<2}.
答案:D

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3.(2011年高考福建卷)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相 等的实数根,则实数m的取值范围是( A.(-1,1) )

B.(-2,2)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析:由一元二次方程有两个不相等的实数根,可得:判别式Δ
>0,即m2-4>0,解得m<-2或m>2. 答案:C

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4.(课本习题改编)若不等式-x2+2x-m>0,在x∈[-1,0]上恒

成立,则m的取值范围是________.
解析:由m<-x2+2x知m只需小于u=-x2+2x, x∈[-1,0]的最小值即m<umin. 又u在[-1,0]上递增, ∴umin=-1-2=-3. ∴m<-3. 答案:(-∞,-3)

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5.(2013年衡阳模拟)若集合A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数a 的取值范围是________. 解析:由题意知,a=0时,满足条件;当a≠0时,由题意知a>0 且Δ=a2-4a≤0,得0<a≤4,所以0≤a≤4. 答案:[0,4]

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考向一

一元二次不等式的解法

x-1 [例 1] (2012 年高考重庆卷)不等式 ≤0 的解集为( 2x+1
? 1 ? A.?-2,1? ? ? ? 1 ? B.?-2,1? ? ? ? ? ? 1? C.?-∞,-2?∪[1,+∞) ? 1? D.?-∞,-2?∪[1,+∞) ? ?

)

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[解析]
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解法一

利用分式不等式与一元一次不等式组间的转化关

系求解.
?x-1≤0, x-1 ≤0 等价于不等式组? ① 2x+1 ?2x+1>0, ?x-1≥0, 或? ② 2x+1<0. ?

1 解①得-2<x≤1,解②得 x∈?,
? 1 ? ∴原不等式的解集为?-2,1?. ? ?

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??x-1??2x+1?≤0, x-1 解法二 不等式 ≤0?? 2x+1 ?2x+1≠0,

?-1≤x≤1, ? 2 ∴由二次不等式知? ?x≠-1. 2 ?
1 ∴-2<x≤1.
[答案] A

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x-m 本例条件变为“ <0(m∈R)”,试求其解集. 2x+1 x-m 解析: <0 等价于(x-m)(2x+1)<0, 2x+1

1 由(x-m)(2x+1)=0 得,x=m 或 x=-2. 1 1 ①m<- 时,m<x<- . 2 2 1 ②m=-2时,x∈?. 1 1 ③m>-2时,-2<x<m.

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∴不等式的解集为:
? ? ? ? 1? 1 当 m<- 时,解集为?x?m<x<-2? , ? ? ? 2 ? ?

1 当 m=- 时,解集为 x∈?, 2
? ? ? ? ? 1 1 ?x?- <x<m? . 当 m>-2时,解集为? ? 2 ? ? ?

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考向二 一元二次不等式恒成立问题 [例2] (2013年淄博模拟)若不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0对一切 x∈(0,2]恒成立,则a的取值范围为(
? 1- 3? ? A.?-∞, 2 ? ? ? ? 1- 3? ?1+ 3 ?∪? ? C.?-∞, 2 ? ? 2 ,+∞? ?

)
?1+ 3 ? B.? ,+∞? 2 ? ? ?1- 3 1+ 3? ? D.? 2 , 2 ? ?

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x 1 1 2 [解析] ∵x∈(0,2],∴a -a≥ 2 = 1.要使 a -a≥ 1在 x∈ x +1 x+x x+x
2

? 1 ? 1 (0,2]上恒成立,则 a2-a≥? 1?max,由均值不等式得 x+ ≥2,当且仅 x ?x+x ? ? 1 ? 1 1 1?max= .故 a2-a≥ , 当 x=1 时,等号成立,即? 2 2 ?x+x ?
1- 3 1+ 3 解得 a≤ 2 或 a≥ 2 .故选 C.

[答案] C

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1.(2013年泰州质检)若不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2≤m≤2的 所有m都成立,则x的取值范围为________.

解析: (等价转化法)将原不等式化为: 2-1)-(2x-1)<0.令 f(m) m(x =m(x2-1)-(2x-1), 则原问题转化为当-2≤m≤2 时, f(m)<0 恒成立,
?f?-2?<0, ?-2?x2-1?-?2x-1?<0, -1+ 7 ? ? 只需 即可,即 解得 < 2 f?2?<0 2?x2-1?-?2x-1?<0, ? ?

1+ 3 x< 2 .
?-1+ 7 1+ 3? 答案:? , 2 ? 2 ? ?

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考向三

一元二次不等式的应用

[例 3]

(2012 年高考江苏卷)如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴

在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米,某炮位于坐标原 1 点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx- (1+k2)x2(k>0)表示的曲线 20 上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米, 试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

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1 [解析] (1)令 y=0,得 kx- (1+k2)x2=0, 20 由实际意义和题设条件知 x>0,k>0, 20k 20 20 故 x= = 1≤ 2 =10,当且仅当 k=1 时取等号. 1+k2 k+k 所以炮的最大射程为 10 千米. (2)因为 a>0,所以 1 炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3.2=ka- (1+k2)a2 成立?关于 k 20 的方程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根?判别式 Δ=(-20a)2-4a2(a2+ 64)≥0?a≤6. 所以当 a 不超过 6 千米时,可击中目标.
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2.一个服装厂生产风衣,日销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关

系为p=160-2x,生产x件的成本R=500+30x元.
(1)该厂日产量多大时,日利润不少于1 300元? (2)当日产量为多少时,可获得最大利润,最大利润是多少?

解析:(1)由题意知,日利润y=px-R,
即y=(160-2x)x-(500+30x) =-2x2+130x-500, 由日利润不少于1 300元,得-2x2+130x-500≥1 300, 即x2-65x+900≤0,解得20≤x≤45.

故当该厂日产量在20~45件时,日利润不少于1 300元.
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? 65? 3 225 (2)由(1)得,y=-2x2+130x-500=-2?x- 2 ?2+ 2 , ? ?

由题意知,x 为正整数. 故当 x=32 或 33 时,y 最大为 1 612. 所以当日产量为 32 或 33 件时,可获最大利润,最大利润为 1 612 元.

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【思想方法】 数形结合思想在“三个二次”间关系的应用

【思路导析】 利用新定义化简出f(x),并作出图象分析.

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【解析】 根据新定义写出 f(x)的解析式,数形结合求出 m 的取值, 再根据函数的图象和方程的根等条件求解. 由定义可知,
??2x-1?x,x≤0, f(x)=? ?-?x-1?x,x>0.

作出函数 f(x)的图象,如图所示.

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1 由图可知,当 0<m< 时,f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 4 x1,x2,x3.不妨设 x1<x2<x3,易知 1 1 x2>0,且 x2+x3=2× =1,∴x2x3< . 2 4

??2x-1?x=1, ? 1- 3 1+ 3 4 令? 解得 x= 4 或 x= 4 (舍去). ?x<0, ?
∴ 1- 3 1- 3 <x1<0,∴ 16 <x1x2x3<0. 4

1- 3 【答案】 ( 16 ,0)

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【思维升华】 “三个二次”间关系,其实质是抓住二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)的图象与横轴的交点、二次不等式ax2+bx+c>

0(a≠0)的解集的端点值,二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是同一个
问题.解决与之相关的问题时,可利用函数与方程思想、化归思想将 问题转化,结合二次函数的图象来解决.

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1 1.设 x∈R,则“x> ”是“2x2+x-1>0”的( 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析:解不等式后直接判断.
? ? ? 1 1 ?x> 或x<-1? , 不等式 2x +x-1>0 的解集为 x 2 故由 x>2?2x2+x-1>0, ? ? ?

2

? ? ? ? ?

1 但 2x2+x-1>0?/ x>2,故选 A.
答案:A
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2.(2012年高考湖南卷)不等式x2-5x+6≤0的解集为________. 解析:利用一元二次不等式的解法求解. ∵x2-5x+6≤0,∴(x-2)(x-3)≤0. ∴2≤x≤3.∴不等式的解集为{x|2≤x≤3}. 答案:{x|2≤x≤3}

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3.(2012年高考江苏卷)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域 为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的

值为________.

解析:通过值域求 a,b 的关系是关键.
? a?2 a2 由题意知 f(x)=x2+ax+b=?x+2? +b- . 4 ? ?

a2 a2 ∵f(x)的值域为[0,+∞),∴b- 4 =0,即 b= 4 .
? a? ?x+ ?2. ∴f(x)= 2? ?

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? a? ?x+ ?2<c, 又∵f(x)<c,∴ 2? ?

a a 即-2- c<x<-2+ c.

?-a- c=m, ? 2 ∴? ?-a+ c=m+6. ② ? 2
②-①,得 2 c=6,∴c=9.
答案:9



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