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高二数学函数的最大小值与导数导学案


§3.3.3 函数的最大小值与导数
[自学目标]: 1.理解函数的最大值和最小值的概念,掌 握 可 导 函 数 f (x) 在 闭 区 间 ?a, b ? 上 所 有 点 ( 包 括 端 点

a, b ) 处 的 函 数 中 的 最 大 ( 或 最 小 ) 值 必有的充分条件;
2.掌 握 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最 值

的 方 法 和步骤. [重点]: 利用导数求函数的最大值和最小值的方法 [难点]: 函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系 [教材助读]: 一般地, 在闭区间 ?a, b ? 上函数 y ? f ( x) 的图像是

?a, b? 上必有最大值与最小值.


, 那么函数 y ? f ( x) 在

探究二:利用导数求函数的最值
求函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 6 在区间 ?1, 5 ? 内的最大值和最小值。
2

(1)如果在某一区间上函数 y ? f ( x) 的图像是一条连续不断的曲线,则称函数 y ? f ( x) 在这个区 间上

(2) 给定函数的区间必须是 如函数 f ( x) ?

, 在开区间 (a, b) 内连续的函数 f (x) 不一定有最大值与最小值.

1 在 (0,?? ) 内连续,但没有最大值与最小值; x
,即函数图像 。

(3)在闭区间上的每一点必须

[当堂检测]
1.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x)( )

( 4 ) 函 数 f (x) 在 闭 区 间 ?a, b ? 上 连 续 , 是 f (x) 在 闭 区 间 ?a, b ? 上 有 最 大 值 与 最 小 值 的 条件. [预习自测] 1. 下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2. 函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x) ( A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能 3.求 f ? x ? ? A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能

2.函数 y= )

1 4 1 3 1 2 x ? x ? x ,在[-1,1]上的最小值为( 4 3 2 13 A.0 B.-2 C.-1 D. 12



1 3 x ? 4 x ? 4 在 ? 0 , 3? 的最大值与最小值.源:学#科#网] 3

3.有一边长分别为 8 与 5 的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边折起作成一个无盖小盒,要 使纸盒的容积最大,问剪去的小正方形的边长应为多少 4.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最小值是___________. 5.函数 f(x)=sinx-x 在[-

[合作探究 展示点评] 探究一:最值的概念(最大值与最小值)
观察下面函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 上的图象, 回答: (1) 在哪一点处函数 y ? f ( x) 有极大值和极小值? (2) 函数 y ? f ( x) 在 ? a, b ? 上有最大值和最小值吗?如果有, 最大值和最小值分别是什么?

? ? , ]上的最大值为_____;最小值为_______. 2 2

6.将正数 a 分成两部分,使其立方和为最小,这两部分应分成______和___.


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