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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第8章 第8节 曲线与方程(理)


第八章

第八节

一、选择题 1.平面 α 的斜线 AB 交 α 于点 B ,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 α 于点 C,则动 点 C 的轨迹是( A.一条直线 C.一个椭圆 [答案] A ) B.一个圆 D.双曲线的一支

[解析] 过定点 A 且与 AB 垂直的直线 l 都在过定点 A 且与 AB

垂直的平面 β 内,直线 l 与 α 的交点 C 也是平面 α、β 的公共点.点 C 的轨迹是平面 α、β 的交线.

2.已知椭圆的焦点为 F 1 、F 2 ,P 是椭圆上一个动点,延长 F1 P 到点 Q,使|PQ|=|PF2 |, 则动点 Q 的轨迹为( A.圆 C.双曲线一支 [答案] A ) B.椭圆 D.抛物线

[解析] |QF 1 |=|PF 1 |+|PQ|=|PF 1 |+|PF 2 |=2a, ∴动点 Q 的轨迹是以 F 1 为圆心,2a 为半径的圆. [点评] 关于轨迹方程的问题 (1)定义法求轨迹方程 ①已知点 F 1 (-1,0),F 2(1,0),动点 A 到 F 1 的距离是 2 3,线段 AF 2 的垂直平分线交 AF 1 于点 P ,则点 P 的轨迹方程是( x2 y2 A. + =1 9 4 x2 y2 C. + =1 3 2 [答案] C [解析] 依题意得,|PA |=|PF 2 |,
-1-

) B. x2 y2 + =1 12 8 x2 y2 + =1 12 10

D.

又|PA |+|PF 1|=|AF 1 |=2 3, 故|PF 1|+|PF 2 |=2 3,点 P 的轨迹为椭圆, x2 y2 方程为 + =1. 3 2 ②若点 P 到直线 y=-2 的距离比它到点 A (0,1)的距离大 1,则点 P 的轨迹为( A.圆 C.双曲线 [答案] D [解析] 由条件知,点 P 到直线 y=-1 的距离与它到点 A (0,1)的距离相等,∴P 点轨迹是 以 A 为焦点,直线 y=-1 为准线的抛物线. 1 ③正方体 ABCD-A1 B 1 C1 D1 的棱长为 1,点 M 在棱 AB 上, 且 AM= ,点 P 是平面 ABCD 3 上的动点,且动点 P 到直线 A 1 D1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1,则动点 P 的轨迹 是( ) A.圆 C.双曲线 [答案] B B.抛物线 D.直线 B.椭圆 D.抛物线 )

[解析] 由 P 向 AD 作垂线垂足为 N,由题意知|PN|2 +1-|PM|2 =1, ∴|PN|=|PM|,即动点 P 到直线 AD 的距离等于动点 P 到点 M 的距离,∴点 P 的轨迹是 抛物线. ④在一张矩形纸片上, 画有一个圆(圆心为 O)和一个定点 F (F 在圆外). 在圆上任取一点 M, 将纸片折叠使点 M 与点 F 重合,得到折痕 CD. 设直线 CD 与直线 OM 交于点 P ,则点 P 的轨 迹为( ) B.椭圆 D.抛物线 A

A.双曲线 C.圆 [答案]

[解析] 由 OP 交⊙O 于 M 可知|PF |-|PO|=|PM|-|PO|=|OM|<|OF |(F 在圆外), ∴P 点的轨迹为双曲线,故选 A. ⑤已知动圆 M 与圆 C1 :(x+4)2 +y2 =2 外切,与圆 C2 :(x-4)2 +y2 =2 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程. [分析] 设动圆 M 的半径为 r,则|MC1 |=r+r1 ,|MC2 |=r-r2 ,则|MC1 |-|MC2 |=r1 +r2 = 定值,故可用双曲线定义求解轨迹方程.

-2-

[解析] 如图,设动圆 M 的半径为 r, 则由已知得|MC1 |=r+ 2, |MC2 |=r- 2. ∴|MC1 |-|MC2 |=2 2. 又 C1 (-4,0),C2 (4,0), ∴|C1 C2 |=8,∴2 2<|C1 C2 |. 根据双曲线定义知,点 M 的轨迹是以 C1 (-4,0),C2 (4,0)为焦点的双曲线的右支. ∵a= 2,c=4,∴b2 =c2 -a2 =14, x2 y2 ∴点 M 的轨迹方程是 - =1(x≥ 2). 2 14 ⑥圆 O:x +y =16,A (-2,0),B(2,0)为两个定点.直线 l 是圆 O 的一条切线,若经过 A 、 B 两点的抛物线以直线 l 为准线,则抛物线焦点的轨迹是( )
2 2

A.双曲线 C.抛物线 [答案] B

B.椭圆 D.圆

[解析] 设抛物线的焦点为 F ,因为 A 、B 在抛物线上, 所以由抛物线的定义知,A 、B 到 F 的距离 AF 、BF 分别等于 A 、B 到准线 l 的距离 AM、 BN, 过 O 作 OP ⊥l, 由于 l 是圆 O 的一条切线, 所以四边形 AMNB 是直角梯形, OP 是中位线, 故有|AF |+|BF|=|AM|+|BN|=2|OP |=8>4=|AB |. 根据椭圆的定义知,焦点 F 的轨迹是一个椭圆. (2)直译法求轨迹方程. → → ⑦已知平面上两定点 A 、B 的距离是 2,动点 M 满足条件MA· MB=1,则动点 M 的轨迹是 ( )

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A.直线 C.椭圆 [答案] B

B.圆 D.双曲线

[解析] 以线段 AB 中点为原点, 直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系, 则 A (-1,0), B (1,0), 设 M(x,y), → → ∵MA· MB=1,∴(-1-x,-y)· (1-x,-y)=1, ∴x +y =2,故选 B. ⑧设 x1 、x2 ∈R,常数 a>0,定义运算“*”,x1 ]x*a))的轨迹是( A.圆 C.双曲线的一部分 [答案] D [解析] ∵x1 ]x*a)= ?x+a?2 -?x-a?2 =2 ax , 则 P (x, 2 ax ). 设 P (x1 ,y1),即? B.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分 )
2 2

?x1 =x ,消去 x 得, ?y1 =2 ax

y2 1 =4ax1 ( x1 ≥0,y1 ≥0) , 故点 P 的轨迹为抛物线的一部分.故选 D. ⑨已知 log2 x、log2 y、2 成等差数列,则在平面直角坐标系中,点 M(x,y)的轨迹为( )

[答案]

A

[解析] 由 log2 x, log2 y, 2 成等差数列得 2log2 y= log2 x+2 ∴y2 =4x(x>0,y>0),故选 A.

⑩(2014· 广州模拟)已知 M(-2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的

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轨迹方程为(
2 2

) B. x +y =4 D.x2 +y2 =4(x≠± 2)
2 2

A.x +y =2 C.x2 +y2 =2(x≠± 2) [答案] D

→ → ?(2014· 上海徐汇一模)在平面直角坐标系中,动点 P 和点 M(-2,0),N(2,0)满足|MN|· |MP| → → +MN· NP =0,则动点 P(x,y)的轨迹方程为________. [答案] y2 =-8x → → → → → → → [解析] 由题意可知 MN=(4,0),MP=(x+2,y),NP =(x-2,y),由|MN|· |MP|+MN· NP = 0,可知 4 ?x+2? +y +4(x-2)=0,化简,得 y =-8x. (3)代入法求轨迹方程 ?动点 A 在圆 x2 +y2 =1 上移动,它与定点 B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( A.(x+3)2 +y2 =4 C.(2x-3) +4y =1 [答案] C [解析] 设中点 M(x,y),则动点 A(2x-3,2y), ∵A 在圆 x2 +y2 =1 上, ∴(2x-3)2 +(2y)2 =1,即(2x-3)2 +4y2 =1,故选 C. → → → ?平面直角坐示系中,已知两点 A (3,1),B (-1,3),若点 C 满足OC=λ1 OA +λ2 OB (O 为原 点),其中 λ1 ,λ2 ∈R,且 λ1 +λ2 =1,则点 C 的轨迹是( A.直线 C.圆 [答案] A B.椭圆 D.双曲线 )
2 2 2 2 2

)

B.(x-3)2 +y2 =1 3? 2 1 D.? ?x+2?+y =2

→ → → [解析] 设 C(x,y),则OC=(x,y),OA =(3,1),OB =(-1,3), → → → ∵OC=λ1 OA +λ2OB ,
? ?x=3λ1 -λ2 ∴? ,解得 ? ?y=λ1 +3λ2

+y , ?λ =3x10 ? 3y-x ?λ = 10 .
1 2

又 λ1 +λ2 =1, ∴x+2y-5=0,表示一条直线. x2 2 ?设 P 为双曲线 -y =1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 M 的轨 4

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迹方程是________. [答案] x2 -4y2 =1 [解析] 设 M(x,y),则 P (2x, 2y),代入双曲线方程得 x2 -4y2 =1,即为所求. 3.(2014· 山东青岛一模)如图,从点 M(x0,4)发出的光线,沿平行于抛物线 y2 =8x 的对称轴 方向射向此抛物线上的点 P ,经抛物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点 Q,再经抛物线反 射后射向直线 l:x-y-10=0 上的点 N,经直线反射后又回到点 M,则 x0 等于( )

A.5 C.7 [答案] B

B.6 D.8

[解析] 由题意可知,p=4,F (2,0),P (2,4),Q(2,-4),QN:y=-4,直线 QN,MN 关 于 l:x-y-10=0 对称,即直线 l 平分直线 QN,MN 的夹角,所以直线 MN 垂直于 y 轴.解
? ?y=-4, ? 得 N(6,-4),故 x0 等于 6. 故选 B. ?x-y-10=0, ?

4.(2014· 北京朝阳期末)已知正方形的四个顶点分别为 O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),点 D,E 分别在线段 OC,AB 上运动,且 OD=BE ,设 AD 与 OE 交于点 G,则点 G 的轨迹方程 是( ) A.y= x(1-x)(0≤x≤1) B. x=y(1-y)(0≤y≤1) C.y=x2 (0≤x≤1) D.y=1-x2 (0≤x≤1) [答案] A

[解析] 设 D(0,λ),E (1,1-λ)(0≤λ≤1),所以线段 AD 方程为 y=-λx+λ(0≤x≤1),线 段 OE 方程为 y=(1-λ)x(0≤x≤1),联立方程组
? ?y=-λx+λ?0≤x≤1?, ? (λ 为参 数 ) , 消去 参数 λ 得点 G 的轨迹 方程 为 y = x(1 - ?y=? 1-λ?x?0≤x≤1? ?

x)(0≤x≤1),故 A 正确. x2 y2 y2 x2 5.(2014· 河南开封第二次模拟)已知双曲线 M: 2 - 2 =1 和双曲线 N: 2 - 2 =1,其中 a b a b b>a>0,且双曲线 M 与 N 的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点,则双曲线 M 的 离心率是( )
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A. C.

5+1 2 5+ 3 2 A

B. D.

5-1 2 3- 5 2

[答案]

[解析]

?a -b =1, 解方程组 ? y x ?a -b =1,
2 2 2 2 2 2

x2

y2

a2 b2 a2 b2 b4 b2 2 2 得x=2 , 由 = c , 化简得 - -1=0. 所以 b -a2 b2 -a2 a4 a2

2 b 1+ 5 ,∴e= 2= a 2

b 1+ 2 = a

2

1+

1+ 5 = 2

3+ 5 1 + 5 = . 2 2

x|x| y|y| 6.(2013· 芜湖模拟)方程 + =-1 的曲线即为函数 y=f (x)的图象,对于函数 y=f (x), 16 9 有如下结论; ①f (x)在 R 上单调递减;②函数 F(x)=4f (x)+3x 不存在零点;③函数 y=f (x)的值域是 R; y|y| x|x| ④若函数 g(x)和 f (x)的图象关于原点对称,则函数 y=g(x)的图象就是方程 + =1 确定的 16 9 曲线.其中正确命题的序号是( A.①② C.①③④ [答案] D [解析] 当 x≥0,y≥0 时,方程为 为 x2 y2 + =1,此时 y=-3 16 9 1- x y + =-1,此时方程不成立.当 x<0,y<0 时,方程 16 9 x2 +1. 16
2 2

) B.②③ D.①②③

x2 x2 y2 . 当 x>0,y<0 时,方程为 - =-1,即 y=-3 16 16 9 x2 -1. 16

x2 y2 当 x<0,y>0 时,方程为- + =-1,即 y=3 16 9 作出函数的图象如图,

3 由图象可知,函数在 R 上单调递减.所以①成立.②由 F (x)=4f (x)+3x=0 得 f (x)=- x. 4 x2 y2 x2 y2 3 因为双曲线 - =-1 和- + =-1 的渐近线为 y=± x, 所以 F(x)=4f (x)+3x 没有零点, 16 9 16 9 4 所以②正确.由图象可知函数的值域为 R,所以③正确.若函数 g(x)和 f(x)的图象关于原点对
-7-

-x|x| -y|y| x|x| y|y| 称,则函数 y=g(x)的图象就是方程 + =-1,即 + =1,所以④错误,综上① 16 9 16 9 ②③正确,故选 D. 二、填空题 7.(2014· 北京模拟)△ABC 的顶点 A (-5,0), B (5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上, 则顶点 C 的轨迹方程是________. [答案] x2 y2 - =1(x>3) 9 16

8.过点 P (1,1)且互相垂直的两条直线 l1 与 l2 分别与 x、y 轴交于 A 、B 两点,则 AB 中点 M 的轨迹方程为________. [答案] x+y-1=0 1 1 [解析] 设 l1 :y-1=k(x-1),则 l2 :y-1=- (x-1),l1 与 x 轴交点 A(1- ,0),l2 与 y k k 1 1 x= ?1- ?, ? 2 k 1 轴交点 B (0,1+ ),设 AB 中点 M(x,y),则? k 1 1 ? y=2?1+k ?,

消去 k 得,x+y-1=0.

9. 已知两条直线 l1 : 2x-3y+2=0 和 l2 : 3x-2y+3=0, 有一动圆(圆心和半径都动)与 l1 、 l2 都相交,且 l1 、l2 被圆截得的弦长分别是定值 26 和 24,则圆心的轨迹方程是________. [答案] (x+1)2 -y2 =65 [解析] 设圆心 P (x,y),动圆半径为 r,P 到 l1 、l2 的距离分别为 d1 、d2 ,由题意知 d 2 1+
2 2 169=r2 =d2 2 +144,∴d 2-d1 =25,即

?3x-2y+3?2 ?2x-3y+2?2 - =25, 13 13

整理得,(x+1)2 -y2 =65. 三、解答题 x y 10.已知双曲线 - =1 的左右顶点分别为 A 1 、A 2 ,点 P 是双曲线上任一点,Q 是 P 关 9 16 于 x 轴的对称点,求直线 A 1P 与 A 2Q 交点 M 的轨迹 E 的方程. [解析] 由条件知 A 1 (-3,0),A2 (3,0),设 M(x,y),P(x1 ,y1 ),则 Q(x1 ,-y1 ),|x1 |>3, ∴直线 A 1P :y= -y1 y1 · (x+3),A 2 Q:y= · (x-3), x1 +3 x1 -3
2 2

2 -y2 y 1 两式相乘得 2 = 2 , x -9 x1 -9

-y2 x2 y2 16 1 ∵点 P 在双曲线上,∴ 1- 1 =1,∴ 2 =- , 9 16 x1 -9 9 ∴ y2 16 x2 y2 =- ,整理得 + =1(xy≠0). x2 -9 9 9 16

-8-

一、解答题 11.(2013· 安徽名校联盟联考)设定点 M(-2,4),动点 N 在圆 x2 +y2 =4 上运动,线段 MN 的中点为点 P . (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设直线 l 与点 P 的轨迹相切,且 l 在 x 轴、y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程. [解析] (1)设 P 点坐标为(x,y),N 点坐标为(x0 ,y0 ),则由中点坐标公式有? ∵N 点在圆 x2 +y2 =4 上,
2 ∴x2 0 +y0 =4.

?x0 =2x+2, ? ?y0 =2y-4. ?

∴(2x+2) +(2y-4) =4, ∴(x+1)2 +(y-2)2 =1, 即点 P 的轨迹方程为(x+1)2 +(y-2)2 =1. (2)因直线 l 在 x 轴、y 轴上的截距相等,故 l 的斜率存在且不为 0,当直线 l 在 x 轴、y 轴 上的截距都为 0 时,设直线 l 的方程为 y=kx,即 kx-y=0. ∵直线 l 与(x+1) +(y-2) =1 相切, ∴ |-k -2| 3 =1?k =- , 2 4 k +1
2 2

2

2

3 故直线 l 的方程为 y=- x. 4 当 l 在 x 轴、y 轴上的截距均不为 0 时, x y 设直线 l 的方程为 + =1, a a 即 x+y-a=0. ∵直线 l 与(x+1)2 +(y-2)2 =1 相切,则有 |-1+2-a| 1+1 =1,解得 a= 2+1 或 a=1- 2.

故直线 l 的方程为 x+y-1- 2=0 或 x+y-1+ 2=0, 3 综上可知 l 的方程为 y=- x 或 x+y-1- 2=0 或 x+y-1+ 2=0. 4 12.(2014· 大纲全国理)已知抛物线 C:y2 =2px(p>0)的焦点为 F ,直线 y=4 与 y 轴的交点 5 为 P ,与 C 的交点为 Q,且|QF|= |PQ|. 4 (1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、B 两点, 若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M、N 两点, 且 A 、M、B 、N 四点在同一圆上,求 l 的方程.
-9-

8 2 [解析] (1)设 Q(x0,4),代入 y =2px 得 x0 = . p 8 p p 8 所以|PQ|= ,|QF |= +x0 = + . p 2 2 p p 8 5 8 由题设得 + = × ,解得 p=-2(舍去)或 p=2. 2 p 4 p 所以 C 的方程为 y2 =4x. (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m≠0). 代入 y2 =4x 得,y2 -4my-4=0. 设 A (x1 ,y1),B(x2 ,y2 ),则 y1 +y2 =4m,y1 y2 =-4. 故 AB 的中点为 D(2m2 +1,2m),|AB |= m2 +1|y1 -y2 |=4(m2 +1). 1 又 l′的斜率为-m,所以 l′的方程为 x=- y+2m2 +3. m 4 将上式代入 y2 =4x,并整理得 y2 + y-4(2m2 +3)=0. m 4 2 设 M(x3 ,y3),N(x4 ,y4 ),则 y3 +y4 =- ,y3 y4 =-4(2m +3). m 2 2 故 MN 的中点为 E ( 2 +2m2 +3,- ).|MN|= m m 4?m +1? 2m +1 1 1+ 2|y3 -y4 |= . 2 m m
2 2

1 1 由于 MN 垂直平分 AB ,故 A 、M、B 、N 四点在同一圆上等价于|AE |=|BE |= |MN|,从而 2 4 1 |AB |2 +|DE |2 = |MN|2 , 4 2 2 即 4(m2 +1)2 +(2m+ )2 +( 2 +2)2 m m = 4?m2 +1?2?2m2 +1? 4 m

化简得 m2 -1=0,解得 m=1 或 m=-1. 所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0. 13.(2014· 鹤壁淇县检测)如图所示,已知 C 为圆(x+ 2)2 +y2 =4 的圆心,点 A ( 2,0),P → → → → 是圆上的动点,点 Q 在圆的半径 CP 所在直线上,且MQ· AP=0,AP=2AM. 当点 P 在圆上运 动时,求点 Q 的轨迹方程.

[解析] 圆(x+ 2) +y =4 的圆心为 C(- 2,0),半径 r=2,
2 2

→ → → → ∵MQ· AP=0,AP=2AM,∴MQ⊥AP ,点 M 是 AP 的中点,即 QM

- 10 -

是线段 AP 的中垂线,连接 AQ,则|AQ|=|QP |,∴||QC|-|QA ||=||QC|-|QP ||=|CP|=2, 又|AC|=2 2>2,根据双曲线的定义,点 Q 的轨迹是以 C(- 2,0),A( 2,0)为焦点,实 轴长为 2 的双曲线,由 c= 2,a=1,得 b2 =1, 因此点 Q 的轨迹方程为 x2 -y2 =1. 14.(2015· 银川市质检)已知动圆过定点 A (2,0),且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 4. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; → → → → (2)过点 F(1,0)的直线交轨迹 C 于 A , B 两点, 交它的准线于点 N, 已知NA =λ1AF, NB =λ2 BF, 求证 λ1 +λ2 为定值. [解析] (1)设动圆圆心为 O1 (x,y),当 O1 不在 y 轴上时, 则有|O1 M|=|O1A |? ?x-2?2 +y2= 4+x2 , 化简整理可得 y =4x(x≠0); 当 O1 在 y 轴上时,O1 即为 O,则 O(0,0)也满足方程 y2 =4x. ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2 =4x. 2 (2)证法一:设直线 AB 的方程为 x=my+1,则 N(-1,- ). m 设 A (x1 ,y1),B(x2 ,y2 ), 由?
?x=my+1, ? ?y =4x, ?
2 2 2

消去 x 得 y2 -4my-4=0,

?Δ=16m +16>0, ? ∴?y1 +y2 =4m, ? y2 =-4. ?y1 ·
2 2 2 → → → → 由NA =λ1 AF,NB =λ2BF可知 y1 + =-λ1 y1 ,y2 + =-λ2 y2 ,则 λ1 =-1- ,λ2 =-1 m m my1 - 2 . my2 1 1 2 y1 +y2 2 4m ∴λ1 +λ2 =-2-2( + )=-2- · =-2- · =0. my1 my2 m y1 · y2 m -4 → → → → 证法二:由NA =λ1 AF,NB =λ2 BF可知 λ1· λ2 <0, → → |NA | λ1 |AF| ∴ =- · . ① → λ2 → |NB | |BF| 分别过点 A ,B 作抛物线的准线的垂线,垂足分别为 A 1 ,B1 , 则 → → |NA | |AA 1| |AF| = = .② → |BB 1| → |NB | |BF|

λ 由①②可知- 1 =1?λ1 +λ2 =0. λ2
- 11 -


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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第8章 第5节 双曲线

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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第8章 第4节 椭圆

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