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高等代数教案第2章矩阵

时间:2012-06-06


《高等代数》教案-2

第二章 矩阵
Ⅰ.授课题目: § 数域 2.1 § 矩阵的概念 2.2 § 矩阵的运算 2.3 § 分块矩阵及其运算 2.4 § 方阵的行列式与逆矩阵 2.5 § 矩阵的初等变换与初等矩阵 2.6 § 矩阵的秩 2.7 Ⅱ.教学目的与要求: 1. 掌握数域、矩阵、逆矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩等概念 2. 掌握矩阵的运算性质、逆矩阵的求法、分块矩阵的初等变换 Ⅲ.重点与难点: 重点:矩阵的运算、逆矩阵的求法、矩阵的初等行变换 难点: 伴随矩阵,逆矩阵,初等矩阵、矩阵秩的概念 Ⅳ.教学内容

§2.1 数域
定义 2.1 设 P 是复数域 C 的一个子集,如果 P 包括 0,1,并且 P 对数的加、减、 乘、除(除数不为零)四种运算封闭,那么我们称 P 为一个数域. 比如数集 Q,R,C 都是数域,而 Z 不是数域. 例 2.1 证明数集 Q

? 3 ? ? ?a ? b

3 | a , b ? Q 是数域. (P2)

?

数域的重要性质: 所有数域都包含有理数域作为它的一部分. 即有理数域是最小 的数域.

§2.2

矩阵的概念

-1-

《高等代数》教案-2

1. 矩阵的定义 定义 2.2 数域 P 中 m×n 个数 aij (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n )排成的 m 行 n 列数 表, 记成
? a 11 ? ? a 21 A ?? ? ? ?a ? m1 a 12 a 22 ? am2 ? ? ? ? a1n ? ? a2n ? ? ? ? a mn ? ?

称为 m×n 矩阵, 也可以记成

( a ij ),

( a ij ) m ? n 或 A m ? n 等.

同型矩阵:行数相等且列数相等的两个矩阵称为同型矩阵. 相等矩阵:两个对应元素相等的同型矩阵. 2. 几种特殊形式的矩阵 行(列)矩阵(向量) ,零矩阵,上(下)三角矩阵,
? a1 ? ?? ? ? ? ? ? ?, ? ? an ?

对角矩阵: A ? d ia g ? a 1 , a 2 , ? ? ?, a n ?

a2 ?

单位矩阵: I 或 E .

§2.3
1. 矩阵的线性运算

矩阵的运算

定义 2.3 设 A =(aij )m×n , B =(bij )m×n 都是 m×n 矩阵, 规定 A 与 B 的和为
C ? A ? B ? ( c ij ) m ? n ,其中 C 是一个 m?n 矩阵, c ij ? ? a ij ? b ij ?
m?n

.

负矩阵:设 A =(aij ) m×n,规定 A 的负矩阵为 ? A ? ( ? a ij ) m ? n . 矩阵减法: A ? B ? A ? ( ? B ) ? ? a ij ? b ij ?
m?n

.

定义 2.4 设 A =(aij )m×n,数?与矩阵的乘积 A 记为 ? A ,规定 ? A ? ( ? a ij ) m ? n .
-2-

《高等代数》教案-2

注 矩阵的加法运算、数乘矩阵运算统称为矩阵的线性运算,它们与行列式中相 应的运算的定义区别很大.

矩阵的线性运算满足如下八条运算律(设 A , B , C , O 都是同型矩阵, ? , ? 为数) (1) A + B = B + A(矩阵加法的交换律) ; (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (矩阵加法的结合律) ;

(3) A + O = A(右加零矩阵律) ; (4) A + ( ? A ) = O(右加负矩阵律) ; (5) 1 A ? A (1 乘矩阵律) ; (6) ? ( ? A ) ? ( ?? ) A (数乘矩阵的结合律) ; (7) ( ? ? ? ) A ? ? A ? ? A (矩阵对数加法的分配律) ; (8) ? ( A ? B ) ? ? A ? ? B (数对矩阵加法的分配律) ; 例 2.2 P8(例 1.3). 2. 矩阵的乘法 定义 2.5 设是 A = ( aij ) m?s 是一个 m?s 矩阵,B = ( bij ) s?n 是一个 s?n 矩阵, 规定 A 与 B 的乘积为 C ? A B ? ? c ij ?
c ij ? a i 1 b 1 j ? a i 2 b 2
j

m?n

,其中
s k ?1

? ? ? a i s b s j ? ? a ik b k j

? i ? 1 , 2 ,? , m ;

j ? 1, 2,? , n ? .

注 (1)必须是前一个矩阵的行数与后一个矩阵的列数相同,否则不能进行矩阵 乘法. (2)记住下列特殊情形
? b1 ? b2 an ? ? ? ? ? ? bn ? ? ?? ? ? ?
n

a) ? a 1

a2

???

?ab
i i ?1

i

(数) ;

? a1 ? a2 b) ? ? ? ? ? am

? ? ? ?b 1 ? ? ?

b2

???

bn ?

? a 1 b1 ? a 2 b1 ?? ? ??? ? ? a m b1

a1b 2 a 2 b2 ??? a m b2

??? ??? ??? ???

a 1b n ? ? a 2 bn ?; ??? ? ? a m bn ?

-3-

《高等代数》教案-2

c) ? ? ? ?
? ? d) ? ? ?

???

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ; ?? ? ? ? ? ??? ??? ?? ? ? ?

? ? ? ??? ? ? ? ?

???

? ? ?? ;

? a1 1 ? a 21 e) ? x1 , x 2 , ? ? ?, x m ? ? ? ??? ? ? a m1

a1 2 a 22 ??? am 2

??? ??? ??? ???

a1 n ? ? ?? a2n ?? ??? ? ? ?? amn ? ?

y1 ? ? y2 ?? ? ? ? yn ?

??a
i ?1 j ?1

m

n

ij

; x i y j (数)

? a1 ? f) ? ? ? ?

a2 ?

? ? b1 ?? ?? ?? ?? an ? ?

b2 ?

? ? a 1 b1 ? ? ??? ? ? ? ? bn ? ?

a 2 b2 ?

? ? ?. ? ? a n bn ?

例 2.3 A ? ? ?
?

?? 2 1

4? ?, ? ? 2?

? 2 B ?? ? ?? 3

4? ? ,求 AB 与 BA. ? 6?
4? ?1 0 ? ? C ? ? ? ,求证: AB ? AC . ? ? ? ? 1? ?1 1 ?

例 2.4 A ? ? ? ?? 3

?

2

4? ??1 ?, B ? ? ? ? ? 6? ? 2

?2 练习:1.已知 A ? ? ?3

1 0

?0 ?1? ? ?,B ? ?1 2 ? ?1 ?

2 1 5

0 ? ? 1 ,求 A B . ? ?1? ?

2. 已知 A ? ?

?0 ?0

1? ?1 ?,B ? ? 0? ?0

1? ? ,求 A B 和 B A . 0?

例 2.5 对于线性方程组

-4-

《高等代数》教案-2

? a 1 1 x1 ? a 1 2 x 2 ? ? ? a 1 n x n ? b1 ? ? a 2 1 x1 ? a 2 2 x 2 ? ? ? a 2 n x n ? b 2 , ? ? ??????????? ?a x ? a x ? ? ? a x ? b m2 2 mn n m ? m1 1

如果令
? a1 1 ? a 21 A ?? ? ??? ? ? a m1 a1 2 a 22 ??? am 2 ??? ??? ??? ??? a1 n ? ? x1 ? ? b1 ? ? ? ? ? ? a2n x b ?, x ? ? 2 ?,b ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? amn ? ? xn ? ? bm ?

分别表示系数矩阵, 未知量列向量和常数项列向量. 则上述线性方程组可以如下简洁 地表示成
Ax ? b .

矩阵乘法的运算律 (1) ( AB ) C ? A ( BC ) (矩阵乘法的结合律) ; (2)
A ( B ? C ) ? AB ? AC , ( B ? C ) A ? BA ? CA

(矩阵乘法对矩阵加法的分配律) ;

(3) (4)

? ( A B ) ? ( ? A ) B ? A ( ? B ) (数对矩阵乘法的结合律) ;
A m ? n ? I n ? I m ? A m ? n ? A m ? n (单位矩阵乘矩阵律).

注 矩阵乘法与实数乘法有不同之处 (1)矩阵乘法一般不满足交换律,即 AB ? BA . (2)即使 A?O 且 B?O,但仍可能 AB = O. (3)一般不满足消去律,即使 AB ? AC ,仍可能 B ? C . 对于两个同阶方阵 A , B ,如果 A B ? B A ,则称矩阵 A 与 B 可交换.

-5-

《高等代数》教案-2

?0 ? 0 例 2.6 设矩阵 A ? ? ?0 ? ?0

1 0 0 0

0 1 0 0

0? ? 0 ? ,求证与 A 可交换的矩阵只能是 1? ? 0? b a 0 0 c b a 0 d? ? c ?. b? ? a?

?a ? 0 B ?? ?0 ? ?0

? a1 ? 0 练习:如果 A?? ? ??? ? ? 0

0 a2 ??? 0

??? ??? ??? 0

0 ? ? 0 ? 是 n 阶对角 阵, 且 a ? a , 当 i j ??? ? ? an ?

? ? n i ? j ? i , j? 1 , 2 , ?? ., 求证与 A 可交换的矩阵只能是对角阵.

A 矩阵的乘方:A 是一个 n 阶矩阵,k 是一个正整数,规定 A ? ?A ? ? ? A . 即 ??? ?
k k个

A = I ,A

0

k ?1

? A A.
k

例 2.7 已知矩阵 A ? ?

? 0 ? ?1

1? 2 3 4 ? ,求 A , A 及 A . 0?

?1 ? 练习:已知 A ? ? 0 ?1 ?

0 2 0

1? ? 2 0? ,求 A ? 2 A . 1? ?

矩阵乘方的运算律 (1) A A ? A
k l k ?l



(2) ? A

k

?
k

l

? A

kl


k k k

注 (1)一般地, ( A B ) ? A B . 但是,当 A 与 B 可交换,即当 AB ? BA 时,
( AB )
k

? A B 成立. 当 A 与 B 可交换时, ? A ? B ? ? A ? 2 A B ? B 成立.
k
2 2 2

-6-

《高等代数》教案-2

(2)显然, A A ? A A ,即 A 与 A 可交换.
k l l k k l

3. 矩阵的转置 定义 2.6 将矩阵 A 的各行变成同序号的列得到的矩阵称为 A 的转置矩阵, 为 AT. 矩阵转置的性质 (1) ( A )
T T



? A;
T

(2) ( A ? B ) (3) ( ? A )
T

? A
T

T

? B ;
T

? ?A ; ? B A ;
T T

(4) ( AB )

T

对称矩阵与反对称矩阵 (1) 对称矩阵:AT = A (2) 反对称矩阵:AT = -A

例 2.8 证明:任意一个 n 阶矩阵都可以表示成一个对称阵与一个反对称阵之和. 证 令
B ? 1 2

?A?

A

T

? ,C

?

1 2

?A? A ?
T

则 B , C 分别是对称阵和反对称阵. 且 A ? B ? C .证毕.

T 例 2.9 设列矩阵 X ? ? x1 , x 2 , ? ? ?, x n ? 满足 X X ? 1 , H ? I n ? 2 X X
T

T

,证明 H

是对称阵,且 H H

T

? In .

练习: 1. 设 ? 为 3 ? 1 矩阵,若 ? ?
T

? 1 ? ? ?1 ? ? 1 ?

?1 1 ?1

1 ? ? T ? 1 ,求 ? ? . (答:3) ? 1 ? ?

? 1 ? ? 1 ? ? n ?1 ? T n 2. 设矩阵 ? ? ? ? 1 ? , A ? ? ? ,求 A . (答: 3 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ?
-7-

?1 1 ?1

1 ? ? ?1 ) ? 1 ? ?

《高等代数》教案-2

小结:

课后作业:

§2.4
1. 分块矩阵的概念

分块矩阵及其运算

将 A 用若干条横线和纵线分成许多个小矩阵, 以子块为元素形成的矩阵称为分块 矩阵。
? a 11 ? 如 A ? ? a 21 ?a ? 31 a 12 a 22 a 32
m?n

a 13 a 23 a 33

a 14 ? ? ? A 11 a 24 ? ? ? ?A ? 21 ? a 34 ?

A 12 ? ? A 22 ? ?

在矩阵 A ? ? a ij ?

中,以它的行作为子块,可得到 m ? 1 分块矩阵
? ?1 ? ?2 A ? ? ? ? ? ?? m ? ? ?, ? ? ?

其中
? i ? ? a i 1 , a i 2 , ? ? ?, a in ? , ? i ? 1, 2, ? ? ?, m ? .

如果以它的列作为子块,可得到 1 ? n 分块矩阵
A ? ? ? 1 , ? 2 , ? ? ?, ? n ? ,

其中
? j ? ? a 1 j , a 2 j , ? ? ?, a m j ? , ? j ? 1, 2 , ? ? ?, n ? .
T

2. 分块矩阵的运算 (1)线性运算(加法与数乘) (2)乘法
-8-

《高等代数》教案-2

注(只要下列运算有意义) a) A ? ? 1 , ? 2 , ? ? ?, ? n ? ? ? A ? 1 , A ? 2 , ? ? ?, A ? n ? ;
? ?1 ? ?2 b) ? ? ? ? ?? m ? ? ?1A ? ? ? ? ? A ?A ?? 2 ?; ? ? ? ? ? ? ? ? ?? m A ?

? A1 ? c) ? ? ? ?

A2 ?

? ? B1 ?? ?? ?? ?? An ? ?

B2 ?

? ? A1 B1 ? ? ??? ? ? ? ? Bn ? ?

A2 B 2 ?

? ? ?. ? ? An B n ?

(3)转置
? 1 ? ? 0 例 2.10 已知 A ? ? ?1 ? ? ? 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0? ? 1 ? ? 0? ??1 ,B ? ? 1 0? ? ? ? ? 1? ??1 0 2 0 ?1 0? ? 0? ,求 AB ? B . 1? ? ? 1?

§2.4
1. 方阵的行列式

方阵的行列式与逆矩阵

定义 2.7 由 n 阶矩阵 A 的元素 (按原来的位置) 构成的行列式, 称为方阵 A 的 行列式, 记为 A 或 detA. 性质(其中 A、B 是 n 阶矩阵) (1) A
T

? A ;
n

(2) ? A ? ? A ; (3) AB ? A B . 证 仅证(3)设 A ? ? a ij ?
n? n

, B ? ? b ij ?

n?n

. 构造如下 2 n 阶行列式

-9-

《高等代数》教案-2

a1 1 ? D ? a n1 ?1

???

a1 n ? 0 ? b1 n ? ??? bnn A ?I 0 B ? A B ,

???

a nk b1 1 ???

? ?1

? bn1

在 D 中以 b1 j 乘第 1 列, b 2 j 乘第 2 列,?, b n j 乘第 n 列,都加到第 n ? j 列上

?

j ? 1, 2 , ? ? ? , n ? ,有
D ? A ?I C O



其中 C ?

? c ?,
i j

c i j? a i b i?j 1

2

a

i2

b ? j ? ? ? ? a i, 故 C ? A B . 再 对 D 的 行 交 换 b nj n

ri ? rn ? i ? i ? 1, 2 , ? ? ?, n ? ,得到
D ? ? ? 1?
n

?E A

O C

? ? ? 1?

n

? E C ? C ? AB .

故 AB ? A B . 证毕. 注 一般地, A B ? B A ,但是 AB ? BA 却成立;将性质(3)推广得到
A1 A 2 ? ? ? A n ? A1 A 2 ? ? ? A n .

n 例 2.11 设 ? ? ? 1, 0 ? 1 ? ,矩阵 A ? ? ? , n 为正整数,求 a I ? A .

T

T

解 由题意知 ? ? ? 2 ,且
T

A ? ?? ?
n

T

? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??
T T

T

?

? ??

T

? ? ? ? ? ?? ? ? ?
T

T

? 2

n ?1

?? .
T


??
T

? 1 ? ? 0 ? ? ?1 ?

0 0 0

?1? ? 0 , ? 1 ? ?

因此,
a?2 aI ? A
n n ?1

0 a 0

2

n ?1

? 2

0
n ?1

0 a?2
n ?1

? a

2

?a ? 2 ?.
n

练习: A 为 n 阶方阵, A ? a , 为 m 阶方阵, B ? b , 设 B 则

O 3B

2A O

为 (



- 10 -

《高等代数》教案-2

? (A) 6 a b ,

? (B) 2 3 a b , (C) ? 1 ? ?
n m

mn

2 3 ab ,

n

m

(D) ? 1 ? ?

m?n

2 3 ab .

n

m

2. 伴随矩阵 定义 2.8 设 A 是 n 阶矩阵,由行列式 |A| 的各元素的代数余子式 Aij 所构成的 矩阵
? ? ? ? A ?? ? ? ? A11 A12 ? A1 n A 21 A 22 ? A2 n ? ? ? ? An1 ? ? An 2 ? , ? ? ? A nn ? ?

称为矩阵 A 的伴随矩阵. 性质 A A ? A A ? A I .
? ?

3. 逆矩阵 定义 2.9 设 A 是 n 阶矩阵,如果存在 n 阶矩阵 B,使 AB = BA = E 则称 A 是可逆 矩阵,且称 B 为 A 的逆矩阵. 如果矩阵 A 可逆,那么 A 的逆矩阵是唯一的. 事实上,设 B , C 都是 A 逆矩阵, 则有
B ? BI ? B ? AC

? ? ? BA ? C
?1

? IC ? C ,
?1

所以 A 的逆矩阵是唯一的. A 的逆矩阵记作 A . 即若 AB = BA = I,则 B ? A .

性质 (1)可逆阵 A 的逆矩阵仍可逆,且 ( A
?1

)

?1

? A;
?1

(2)? ? 0 时,可逆阵的数乘 ? A 仍可逆,且 ( ? A )

?

1

?

A
?1

?1


?1

(3)若 A、B 为同阶可逆矩阵,则 AB 仍可逆,且 ( AB )
m (4)可逆阵 A 的乘方仍可逆,且 ( A ) ?1

? B

A

?1



? ( A ?1 ) ;
m

(5)可逆阵 A 的转置仍可逆,且 ( A )

T

?1

? (A

?1

) ;

T

?1 (6) A 的行列式等于其行列式的倒数. 即 A

?1

?

1 A



(7) A 是可逆阵,若 A B ? A C ,则 B ? C (左消去律) ;
- 11 -

《高等代数》教案-2

若 B A ? C A ,则 B ? C (右消去律).

定理 2.1 n 阶方阵 A 可逆的充要条件是 A ? 0 ,且可逆时 A

?1

?

1 A

A .

?

推论 若存在 B,使得 A B ? I (或 B A ? I ),则 A 可逆,且 B = A 证 A B ? A B ? I ? 1 ,故 A ? 0 ,因而 A 可逆,于是
B ? IB ?

?1

.

?A

?1

A? B ? A

?1

? AB ? ?
?a ?c

A I ? A .

?1

?1

例 2.12 设 a d ? b c ? 0 ,求二阶矩阵 A ? ?

b? ? 的逆矩阵. d ?

?1 ? 例 2.13 求矩阵 A ? ? 1 ?1 ?

2 3 4

3? ? 4 ? 的逆矩阵. 4? ?

练习:
?1 ? 1. 求方阵 A ? ? 2 ?3 ? 2 2 4

? 1 3? ? 2 ? ?1 1 的逆矩阵. (答: A ? ? ? ? ? 3 3? ? ? 1 ?

3 ?3 1

?2 ? ? 5 ?) 2 ? ?1 ? ?

2. 设
?1 ? A ? 2 ? ?3 ? 2 2 4 3? ?2 ? 1 ,B ? ? ? ?5 3? ? ?1 1? ? ?,C ? ? 2 3? ?3 ? 3? ? 0 , ? 1? ?

? ?2 1 ? ? ? 且 A X B ? C ,求矩阵 X . (答: X ? ? 1 0 ? 4 ? ) ? ?10 4 ? ? ?



- 12 -

《高等代数》教案-2

? ?1 ? (1)若 ? ? ? ? ? ?

?2
?

? ? ? 是对角阵,且 ? ? 0 ? i ? 1, 2 , ? ? ?, n ? ,则 A 可逆, i ? ? ?n ?


? ?1 ? ?? ? ? ? ?
?1

?

?1

?2

?1

?

? ? ?. ? ? ?1 ?n ? ?

? A1 ? (2)若 A ? ? ? ? ?

A2 ?

? ? ? 是分块对角阵(或称为准对角阵) ,且每一个 ? ? An ?

子块 Ai ? i ? 1, 2 , ? ? ?, n ? 都是可逆阵,则 A 可逆,且
? A1 ? ?? ? ? ? ?
?1 ?1

A

?1

A2

?

? ? ?. ? ? ?1 An ? ?

(3)若 P 是可逆阵, A ? P ? P

?1

,则
n ?1

A ? P? P
n

.
m

(4)设
? ? x ? ? a 0 ? a1 x ? ? ? ? ? a m x

为 x 的 m 次多项式, A 为 n 阶矩阵,记
? ? A ? ? a 0 I ? a1 A ? ? ? ? ? a m A
m

称之为矩阵 A 的 m 次多项式. 矩阵 A 的两个多项式 ? ? A ? 与 f ? A ? 总是可交换的,即
? ? A? f

? A? ?

f

? A ?? ? A ? .

k k k k 如果 ? ? d ia g ? ? 1 , ? 2 , ? ? ?, ? n ? 是对角阵,则 ? ? d ia g ? ? 1 , ? 2 , ? ? ?, ? n ? ,从而

- 13 -

《高等代数》教案-2

?1 ? ? ? ? ? ? a0 ? ? ? ?
? ? ? ?1 ? ? ?? ? ? ? ?

1 ?

? ?1 ? ? ? ??a ? 1 ? ? ? ? 1? ?

?2
?

? ?1 ? ? ? ? ? ??? ? a ? m ? ? ? ? ? ?n ? ?

m

?2

m

?

?n

m

? ? ? ? ? ? ?

? ? ?2 ?
?

? ? ?. ? ? ? ? ?n ? ? ?

例 2.14 设 P ? ? 解 P ? 2, P
?1

?1 ?1 ?

2? ?1 ?,? ? ? 4? ? 1? 4 ? 2 ? ?1

? n ? , A P ? P ? ,求 A . 2?

?2 ? ? ,而 1 ? ? ?1 n ? , ? ? ?, ? ? ? 2 ? ?
2

?1 ? ? ? ?

? ?1 2 ?,? ? ? 2? ?

? ?, 2 ?
n

所以,
A ? P? P
n n ?1

?1 ? ? ?1

2??1 ?? 4??0

0 ?1? 4 ? n ? 2 ? 2 ? ?1

?2 ? ? 2 ? 2n ?? ? 1 ? ? 2 ? 2 n ?1

2 ?1 ? ?. n ?1 2 ? 1?
n

例 2.15 设 A , B 分别是 m , n 阶可逆阵,试证 D ? ? 证 设X ? ?
? X 11 ? X 21 X 12 ? ? ,且 D X ? I ,即 X 22 ?
? A ? ?C O ? ? X 11 ?? B ? ? X 21 X 12 ? ? I m ?? ? X 22 ? ? 0

?A ?C

O? ?1 ? 是可逆阵,并求 D . B?

O ? ?. In ?

由分块矩阵的乘法,比较等式两端得
A X 11 ? I m ? ? A X 12 ? O ? ? ? C X 11 ? B X 21 ? O ?C X ? BX ? I 12 22 n ?

于是,
X 11 ? A , X 12 ? O , X 21 ? ? B C A , X 22 ? B
- 14 ?1 ?1 ?1 ?1



《高等代数》教案-2

故矩阵 D ? ?

?A ?C

O? ? 可逆,且 B?

D

?1

? A ? ? ?1 ?1 ? ?B CA

?1

O ? . ?1 ? B ?

例 2.16 方阵 A 满足 A ? A ? 2 I ? 0 ,证明 A 及 A ? 2 I 都可逆,并求 A
2

?1



(A ? 2I )

?1

.
2

解 由 A ? A ? 2 I ? 0 知, A ? A ? 2 I ,即
2

A?A ? I

??

2I .

故 A 可逆,且 A

?1

?

1 2

? A ? I ?.

其次,由 A ? A ? 2 I ? 0 得
2

? A ? 2I ? ? A ? 3I ? ?
故 A ? 2 I 可逆,且
(A ? 2I)
?1

?4 I .

?

1 4

?3I

? A?.

例 2.17 设 A 是三阶矩阵,且 A ? 解 由 A A ? A I 知, A
A 可逆时). 因此
?

1 2

,求 ? 2 A ?

?1

? 5A
n

*

.
n ?1

?1

?

1 A

A , A ? ? A ? A ,因此, A ? ? A

?

(当

?2A?

?1

? 5A

*

?

1 2

A

?1

? 5A

*

?

1 2

?2A ? 5A
*

*

? ?4 A

*

? ? ?4 ?

3

A

*

? ? ?4 ?

3

?1? ? ? ? ? ?16 . ?2?

2

注 伴随矩阵有如下性质 (1) A ? A A ;
* ?1

(2) A ? A
*
*

n ?1


A
*

(3) ? k A ? ? k (4) ? A
*

n ?1

?k

? 0? ;

?

*

? A

n?2

A;
- 15 -

《高等代数》教案-2

(5) ? A (6) ? A

T

?

*

?

?A ?
*

T


*

*

?

?1

?

?A ?
?1

?

1 A

A.

练习: 1. 设 A , B 分别是 m , n 阶可逆阵,试证 D ? ?
? A ?O C? ?1 ? 是可逆阵,并求 D . B?

* ?1 2. 设 A , B 都是 n 阶阵,且 A ? 2 , B ? ? 3 ,求 3 A B .

3. 设 n 阶矩阵 A 可逆,求证 A 的伴随阵是 A 也可逆,且 ? A
*

*

?

?1

?

?A ?
?1

*

.

?1 ? 4. 若 A ? ? 1 ?1 ?

1 2 1

1? ?1 ? * 1 ,求 ? A ? . ? 3? ?
2

5. 设 n 阶 矩 阵 A 满 足 A ? 3 A ? 2 I ? O , 证 明 A 与 A ? E 都 可 逆 , 并 求
A
?1

,? A ? I

?

?1

.

6. 设 A P ? P ? ,其中 P ? ?

? ?1 ? 1

?4 ? ? ?1 ?,? ? ? 1 ? ? 0

0? 11 ? ,求 A . 2?

0 0 ?1 ? 0 1 0 7. 已知矩阵 A 的伴随矩阵 A * ? ? ?1 0 1 ? ? 0 ?3 0 1 1 ?1 ?1 答:4. A ? ? A ? 3 I ? , ? A ? I ? ? ? A ? 2 4
1 ? 1? 2 6. ? 11 3 ? ?1 ? 2
13

0? ? 0 ? , A B A ?1 ? B A ?1 ? 3 I , B . 且 求 0? ? 8?
2I

? ;

? ? 2731 ? ? 11 ? ?4 ? 2 ? ? ?683 4?2
13

2732 ? ?; ?684 ?

?6 ? 0 7. B ? ? ?6 ? ?0

0 6 0 3

0 0 6 0

0 ? ? 0 ?. 0 ? ? ?1?

小结:

课后作业:
- 16 -

《高等代数》教案-2

§ 矩阵的初等变换与初等矩阵 2.6
1. 矩阵的初等变换 定义 2.10 下列三种变换称为矩阵的初等变换: (1)对调第 i , j 两行(列) ,记作 ri ? r j ? c i ? c j ? ; (2)以数 k ? 0 乘以第 i 行(列)中的所有元素,记作 ri ? k ? c i ? k ? ; (3)把第 j 行(列)的元素 k 倍加到第 i 行(列)对应的元素上去,记作
ri ? k r j ? c i ? k c j ? .

如果矩阵 A 经过有限次初等行(列)变换得到矩阵 B ,则称矩阵 A 与 B 行(列)
r

等价, 记作 A ~ B ? A ~ B ? .如果矩阵 A 经过有限次初等变换得到矩阵 B ,则称矩阵
? ?
A 与 B 等价,记作 A ~ B .

?

c

?

矩阵的等价关系有如下性质: (1)反身性 A~ A ; (2)对称性 如果 A~ B ,那么 B ~ A ; (3)传递性 如果 A~ B , B ~ C 那么 A~ C .

例 2.18 利用矩阵的初等行变换求解线性方程组
? x1 ? 3 x 2 ? x 3 ? 5 ? ? 2 x1 ? x 2 ? x 3 ? 2 . ? x ? x ? 5x ? ?7 2 3 ? 1

介绍系数矩阵、增广矩阵、行阶梯形、行最简形矩阵等概念(对增广矩阵施行初 等行变换,得到 x1 ? 1, x 2 ? 2, x 3 ? ? 2 ) 练习:利用矩阵的初等行变换求解线性方程组
? x1 ? 3 x 2 ? 2 x 3 ? 1 7 ? ? 2 x1 ? 4 x 2 ? x 3 ? 9 . ?3 x ? 2 x ? 25 2 ? 1

(答: x1 ? 1 1, x 2 ? 4 , x 3 ? ? 3 ) 2. 初等矩阵 定义 2.11 由单位矩阵经过一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.
- 17 -

《高等代数》教案-2

(1)交换两行(列)的位置
i列
j列

?1 ? ? ? ? ? ? ? E ? i, j ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? 1 0 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 0 1 ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1?

(2)以非零数 k 乘某一行(列)
i列

?1 ? ? ? ? E ? i(k ) ? ? ? ? ? ? ? ?

? 1 k 1 ?

? ? ? ? ? ? (k ? 0) ? ? ? 1? ?

(3)把某一行(列)的 k 倍加到另一行(列)上 j列 i列
?1 ? ? ? ? E ? i, j (k ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ? ? ? 1? ?

? 1 ? ? k ? 1 ?

2. 初等矩阵的性质
- 18 -

《高等代数》教案-2

(1)初等矩阵都可逆,且逆矩阵仍为初等矩阵:
E ? i , j ? ? ? 1, E ? i ? k ? ? ? k , E ? i , j ? k ? ? ? 1 ;

E ? i, j ?

?1

? E ? i, j ? , E ? i ? k

??

?1

? ? 1 ?? ? E ? i ? ? ? , E ? i, j ? k ? ? k ??

??

?1

? E ? i, j (? k ) ? .

(2)初等矩阵的转置仍为初等矩阵.
E ? i, j ? ? E ? i, j ? , E ? i ? k ? ? ? E ? i ? k ? ? , E ? i, j ? k
T T

??

T

? E ?i, j (k ) ? .

定理 2.1 设 A 是 m ? n 矩阵, m 阶初等矩阵左乘 A 相当于对 A 作相应的初等行 用 变换;用 n 阶初等矩阵右乘 A 相当于对 A 作相应的初等列变换,即
E ? i , j ? A :交换 A 的 i , j 两行; A E ? i , j ? :交换 A 的 i , j 两列; E ? i(k ) ? A : 用数 k ( ? 0 ) 乘 A 的第 i 行; A E ? i ( k ) ? : 用数 k ( ? 0 ) 乘 A 的第 i 列; E ? i, j ? k

? ? A :用数 k ( ?

0 ) 乘 A 的第 j 行加到第 i 行上去; A E ? i , j ? k ? ? :用数

k ( ? 0 ) 乘 A 的第 i 列加到第 j 列上去.

推论 2.1

矩阵 A , B 等价的充要条件是,存在若干初等矩阵 P1 , P2 , ? ? ?, Pl ,

Q 1 , Q 2 , ? ? ?, Q s 使得 Pl ? ? ? P2 P1 A Q 1 Q 2 ? ? ? Q s ? B .

? 1 ? 例 2.19 设矩阵 A ? ? 2 ? ?1 ?

?1 3 2

0? ? 1 , 试将 A 表示成若干个初等矩阵与它的最简形 ? 3? ?

的乘积. 练习:试将 A 表示成若干个初等矩阵与它的最简形的乘积,设 (1) A ? ?
?1 ?2 2 5 2? ?; 3?

(2) A ? ?

?2 ?1

3? ?. 1?

- 19 -

《高等代数》教案-2

3. 矩阵的等价标准形与逆矩阵 定理 2.2 任意一个 m ? n 矩阵 A 总可以通过初等变换化成以下形式的矩阵
? Ir B ? ? ?O O? ?. O?

称之为矩阵 A 的等价标准形. 证 如果 A ? O ,那么它已经是标准形了. 以下不妨假定 A ? O ,经过初等变换 一定可以变成一左上角不为零的矩阵. 当 a 1 1 ? 0 时,把其余的行减去第一行的 a 1 1 a i 1 ? i ? 2 , 3, ? ? ?, m ? 倍,其余的列减去
?1

第 1 列的 a 11 a1 j ? i ? 2, 3, ? ? ?, n ? 倍. 然后,用 a 1 1 乘以第一行,A 就变成
?1
?1

?1 ? 0 ? ?? ? ?0

0

???

A1

0? ? ?, ? ? ?

A1 就是一个 ? m ? 1 ? ? ? n ? 1 ? 矩阵,对 A1 重复以上步骤,这样下去就得到所要的等价

标准形. 定理 2.2 有如下等价说法 (1)任意一个 m ? n 矩阵 A ,总存在若干初等矩阵 P1 , P2 , ? ? ?, Pl , Q 1 , Q 2 , ? ? ?, Q s , 使得
? Ir Pl ? ? ? P2 P1 A Q 1 Q 2 ? ? ? Q s ? ? ?O O? ?. O?

(2)任意一个 m ? n 矩阵 A ,总存在可逆阵 Pm ? m , Q n ? n ,使得
? Ir PAQ ? ? ?O O? ?. O?

定理 2.3 n 矩阵 A 可逆的充要条件是它可以表示成若干初等矩阵和乘积:
A ? P1 P2 ? ? ? Pm .

证 由定理 2.2 知, n 矩阵 A 可逆的充要条件是它可以通过若干次初等变换化成

- 20 -

《高等代数》教案-2

单位矩阵. 即存在若干初等矩阵 R1 , R 2 , ? ? ?, R l , Q 1 , Q 2 , ? ? ?, Q s ,使得
R l ? ? ? R 2 R1 A Q 1Q 2 ? ? ? Q s ? I n .

于是,
A ? R1 R 2 ? ? ? R l Q s ? ? ? Q 2 Q 1 .
?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1

而初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵,故 A 可以表示成若干初等矩阵和乘积:
A ? P1 P2 ? ? ? Pm .

证毕

推论 2.2 n 矩阵 A 可逆的充要条件是它可以通过若干次初等行变换化成单位矩 阵. 事实上,由定理 2.2 可知, A 可逆的充要条件是 A ? P1 P2 ? ? ? Pm ,即
Pm ? ? ? P2 P1 A ? I .
?1

?1

?1

故 A 可逆的充要条件是它可以通过若干次初等行变换化成单位矩阵. 如果矩阵 A 可逆,则
A
?1

? A, I ? ?

?I, A ? .
?1

这就是说, A 和单位阵 I 拼在一起, 把 构成矩阵 ? A , I ? , 对它们施行初等行变换, 把 A 变成单位矩阵,则 I 就变成了 A .
? 1 ? 例 2.20 利用矩阵的初等行变换求矩阵 A ? ? 3 ? ?1 ? ? 1 ? 解 ? 3 ? ?1 ? 2 1 0 ?1 0 ?2 1 0 0 0 1 0 0? [ 2 ? 1 ( ? 3 )] ? [ 3 ? 1 (1 )] 0 ???? ? ? ? 1? ?1 ? 0 ? ?0 ? 2 ?5 2 2 1 0 ?1? ? 0 的逆矩阵. ? ?2 ? ? ?1 3 ?3 1 ?3 1 0 1 0 0? ? 0 ? 1? ?
?1

- 21 -

《高等代数》教案-2

?1 ? 2(? ) ? ? 5? ? 0 ? ? ?0 ?
1

2 1 2

?1 ? 3 5 ?3

1 3 5 1

0 ? 1 5 0

? ?1 0? ? ? ? ? ?0 0 ? ? ? ? 1? ?0 ? ?

0

0

?

2 9

4 9 ? ? 1 3 2 9

1

0

2 3

0

1

1 9

1 ? ? 9 ? 1? . ? 3? ? 5 ? ? ? 9?

?0 ? 练习:求(1) A ? ? 1 ?2 ?

1 1 ?1

2? ?1 ? ? 4 , (2) A ? ? 2 ? ?3 0? ? ?

2 2 4

3? ? 1 的逆矩阵. ? 3? ?

(答: (1) A ? 1

? ? 2 ? ?? 4 ? 3 ?? ? 2

?1 ?2 1

? ? 1 1 ? ? ? 3 ?1 (2) A ? ? ? 1 ?; ? 2 1? ? 1 ? ? ? 2?

3 ?3 1

?2 ? ? 5 ?) 2 ? ?1 ? ?

利用矩阵的初等行变换,还可以求 A B :
A
?1

?1

? A, B ? ?

?I, A

?1

B?.

例 2.21 求矩阵 X ,使 A X ? B ,其中
?1 ? A ? 2 ? ?3 ? 2 2 4 3? ?2 ? ? 1 ,B ? 3 ? ? ?4 3? ? ? 5? ? 1 . ? 3? ?

(教材 P49,例 2.13)

练习:
? 4 ? 1. 设 A ? ? ? 1 ? 1 ?
? 1 ? 2. 设 A ? ? 0 ? ?1 ?

1 0 ?1
?1 1 0

?2 ? ?1 ? ? 1 ,B ? 2 ? ? ?3 0 ? ? ?

?3 ? ? 2 ,求矩阵 X ,使 A X ? B . ? ?1? ?

0 ? ? ? 1 , A X ? 2 X ? A ,求 X . ? 1 ? ?
- 22 -

《高等代数》教案-2

? 10 ? (答: (1) ? 1 5 ? ? ? 12

2 ? ? 0 ? ? (2) ? ? 1 ?3 ; ? ? ? 1 4 ? ?

1 0 ?1

?1? ? 1 ) ? 0 ? ?

类似地,如果要求 C A 位阵 I 时, C 就化成了 C A

?1

,则对矩阵 ? :

? A? ? 施行若干次初等列变换,当把 A 变成单 ?C ?

?1

? A ? ?1 ? I ? . ? ?A ? ? ?1 ? ?C ? ?CA ?

? 0 ? 练习: 设 A ? ? 2 ? ?3 ?

2 ?1 1

1 ? ? 1 ? 3 ,B ? ? ? ?2 ?1? ?

2 ?3

3? ? ,求 X ,使 X A ? B . 1?

(答: ?

?2 ? ?4

?1 7

?1? ?) 4 ?

4. 矩阵的分块初等变换及其应用 对分块矩阵,我们完全可以在分块运算有意义的前提下,类似定义“分块初等变 换”及“分块初等矩阵”的概念,并得到完全相同的运算性质. 例 2.22 设 A , B 都是 n 阶矩阵,求证 A B ? A B . 证 构造
? I ? ?O A?? A ?? I ???I O? ? O ?? ? B ? ??I AB ? ?. B ?

由于
? I ? ?O A?? A ?? I ???I O? I ? ? B? O A A O B I ?I ? A B .

作 n 次列交换,得到
O ?I AB B ? ? ? 1?
n

AB B

O ?I

? ? ? 1?

n

AB ? I ? AB .

故 A B ? A B 成立. 证毕. 或者,直接这样写证明过程 证法 2 首先,
- 23 -

《高等代数》教案-2

A ?I

O B

? A B .

其次,对左边分块行列式作分块初等列变换得
A ?I O B
c 2 ? c1 B

??

A ?I

AB O

? ? ? 1?

n

2

? I AB ? AB .

故 A B ? A B . 证毕.

注 作分块初等列变换,所乘的矩阵是乘在右边,注意“ c 2 ? c1 B ”这个写法, 不要随意交换次序;如果作分块初等行变换,则所乘的矩阵是乘在左边,如
A ?I O B
r1 ? A r2

??

O ?I

AB B

? ? ? 1?

n

2

? I AB ? AB .

注意“ r1 ? A r2 ”这个写法,不要随意交换次序.
?A ?C O? ?1 ? 是可逆阵,并求 D . B?

例 2.23 设 A , B 分别是 m , n 阶可逆阵,试证 D ? ? 证 对分块矩阵施行初等行变换
?A ? ?C O B ? ? I O O ? A ? r1 ? I ? ? ? I? ?C
r2 ? C ? r1
?1

O B

? ?

A

?1

O

O? ? I ?
?1 ?1

?

? I ? ?O

O B ?

?

A

?C A
?1

O ? ? I? O ? . ?1 ? B ?

B

? r2 ? I O A ? ? ?1 ?1 ?O I ?B CA

?1

故D ? ?

?A ?C

O? ? 是可逆阵,且 B?

D

?1

? A ? ? ?1 ?1 ? ?B CA

?1

O ? . ?1 ? B ?

这与例 2.15 的结果完全一致.

练习 1. 用分块初等矩阵的乘法写出例 2.23 的证明过程. 2. 设 A , B 分别是 m , n 阶可逆阵,试证 D ? ?
- 24 -

?C ?B

A? ?1 ? 是可逆阵,并求 D . O?

《高等代数》教案-2

3. 设 A 是 n 阶非奇异矩阵, ? 是 n ? 1 列矩阵, b 为常数,证明矩阵
? A Q ? ? T ??

? ?
? b?

可逆的充分必要条件是 ? A ? ? b .
T

?1

4. 证明行列式的第一降阶定理:设 M ? ? 则
M ?
?1

?A ?C

B? ? 是方阵,其中 A 是非奇异阵, D?

A C

B D

? A ? D ? CA B ? A ? M / A ,

?1

其中 M / A ? D ? C A B ,称为 Schur 补. 5. 证明行列式的第二降阶定理:设是方阵,其中 A , D 分别是 n , m 阶非奇异阵,
B , C 分别是 n ? m , m ? n 矩阵,则
D ? CA B ?
?1

D A

? A ? BD C .

?1

小结:

课外作业:

§ 矩阵的秩 2.7
1. 矩阵的秩的概念 定义 2.12 如果在矩阵 A 中存在一个 r 阶子式 D 不等于零,且所有 r ? 1 阶子式 (如果存在的话)全等于零,那么称 D 为 A 的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的 秩,记作 R ? A ? . 规定零矩阵的秩等于零.
?1 ? 例如,在矩阵 A ? ? 2 ?4 ? 2 3 7 3 ? 1 ? ? 5 中,2 阶子式 ? 2 1 ? ?
2 3 ? ? 1 ? 0 ,且 A ? 0 ,因此

- 25 -

《高等代数》教案-2

?2 ? 0 R ? A ? ? 2 . 在矩阵 B ? ? ?0 ? ?0

?1 3 0 0

0 1 0 0

3

?2 ? 2 ? ?2 5 ? 中,3 阶子式 0 4 3 ? 0 ? 0 0 ?

?1 3 0

3 ?2 ? 24 ? 0 , 4

而全体 4 阶子式都等于零,故 R ? B ? ? 3 .

注 (1)当 A 中所有 r ? 1 阶子式全等于零时,所有高于 r ? 1 阶的子式也全等于 零,因此,矩阵 A 的秩 R ? A ? 就是 A 中不等于零的子式的最高阶数; (2)设 A 是 m ? n 矩阵,则 R ? A ? ? m in ? m , n ? ; (3) R ? A ? ? R ? A
T

?.

设 A 是 m ? n 矩阵, R ? A ? ? m , 若 则称 A 是行满秩矩阵, R ? A ? ?n , 若 则称 A 是列满秩矩阵.

2. 矩阵秩的计算 定理 3.6 初等变换不改变矩阵的秩. 证 (P79~80,略)

例 2.24 设矩阵
?2 ? 1 A ?? ?4 ? ?3 ?1 1 ?6 6 ?1 ?2 2 ?9 2 ? ? 1 4 ?, ?2 4 ? ? 7 9 ? 1

求矩阵 A 的秩,并求它的一个最高阶非零子式.

(答: R ? A ? ? 3 )

练习:求下列矩阵的秩,并求它的一个最高阶非零子式.
?3 ? 3 (1) A ? ? ?2 ? ?1 2 ?2 0 6 0 3 1 ?4 0 ? ?1 ? 6 ?1 ? ; (2) A ? ? 2 ? 5 ?3 ? ? ? ?7 ?1 4 ? 5
1 ?5 ?7 ?1 3 3 ?1? ? 2 . ? ? 1 ?

- 26 -

《高等代数》教案-2

注 以下结论是显然成立的 (1)设 A 是 m ? n 矩阵, P , Q 分别是 m , n 阶可逆阵,则 R ? P A Q ? ? R ? A ? . (2)设矩阵 A 有形如 ?
? Ir ?O O? ? 的等价标准形,则 R ? A ? ? r . O?

(3) n 阶矩阵 A 可逆 ? R ? A ? ? n ;
? A 可以通过有限次初等行变换化为单位矩阵 I n ; ? A 可以表示成有限个初等矩阵的乘积; ? 齐次线性方程组 A x ? 0 只有零解; ?
A ? 0.

关于矩阵的秩,还有以下重要性质(留待以后章节证明) 1. m ax ? R ? A ? , R ? B ?? ? R ? A , B ? ? R ? A ? ? R ? B ? ; 2. R ? A ? B ? ? R ? A ? ? R ? B ? ; 3. R ? A B ? ? m in ? R ? A ? , R ? B ?? ; 4. 若 A B ? O ,则 R ? A ? ? R ? B ? ? n .

例 2.26 设 A 为 n 阶矩阵, A 是它的伴随矩阵,则
R?A
*

*

?

若R ? A? ? n ? n, ? ? ?1, 若 R ? A ? ? n ? 1 . ?0, 若 R A ? n ? 1 ? ? ?
?

证 若 R ? A ? ? n ,则 A ? 0 . 由伴随矩阵的性质知, A A ? A I . 因此
A
?

A ? A

n



所以 A ? A

?

n ?1

? 0 ,即 R ? A

*

?? n.
*

若 R ? A ? ? n ? 1 , A ? 0 , A 中至少有一个代数余子式 Aij ? 0 , A ? O . 则 且 即 又 A A ? A I ? O . 由矩阵秩的性质 4 得
R ? A? ? R ? A
*

?

??n.

所以, R ? A

*

? ? 1 ,但 A

*

? O . 故R ? A

*

? ? 1.
证毕.

* * 若 R ? A ? ? n ? 1 , A 的任一代数余子式 Aij ? 0 , 则 因此,A ? O , R ? A ? ? 0 . 故

- 27 -

《高等代数》教案-2

小结:

课外作业:

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