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北师大版高考总复习:圆锥曲线中的最值、范围、证明问题解析版(精炼基础,链接高考)

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北师大版高考总复习 圆锥曲线中的最值、 范围、 证明问题解析版 (精炼基础, 链接高考) 精炼基础 1.已知点 F 为抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点,点 A(2,m)在 抛物线 E 上,且|AF|=3. (1)求抛物线 E 的方程; (2)已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切. p p 解: (1)由抛物线的定义得|AF|=2+ .因为|AF|=3, 即 2+ =3, 2 2 解得 p=2,所以抛物线 E 的方程为 y2=4x. (2)证明: 因为点 A(2, m)在抛物线 E: y2=4x 上, 所以 m=±2 由抛物线的对称性,不妨设 A(2,2 2). 由 A(2,2 2),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1).由 2. 第 1 页 共 11 页 北师大版高考总复习 ?y=2 2?x-1?, ? ?y2=4x, ?1 从而 B? ,- ?2 2 得 2x2-5x+2=0,解得 1 x=2 或 x= , 2 2?.又 G(-1,0), 2-0 2 2 ? ? 所以 kGA= = , 2-?-1? 3 kGB= 1 -?-1? 2 - 2-0 2 =- 2 , 3 所以 kGA+kGB=0, 从而∠AGF=∠BGF, 这表明点 F 到直线 GA, GB 的距离相等,故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切. x2 2.(2017·湖北黄冈一模)如图,已知点 F1,F2 是椭圆 C1: + 2 y2=1 x2 的两个焦点,椭圆 C2: +y2=λ 经过点 F1,F2,点 P 是椭圆 2 C2 上异于 F1,F2 的任意一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆 C1 的交点分别 是 A,B 和 C,D.设 AB,CD 的斜率分别为 k,k′. 第 2 页 共 11 页 北师大版高考总复习 (1)求证:k·k′为定值; (2)求|AB|·|CD|的最大值. 解:(1)证明:因为点 F1,F2 是椭圆 C1 的两个焦点,故 F1,F2 的坐标是 F1(-1,0),F2(1,0).而点 F1,F2 是椭圆 C2 上的点,将 F1, 1 F2 的坐标代入 C2 的方程得,λ = . 2 设点 P 的坐标是(x0,y0), ∵直线 PF1 和 PF2 的斜率分别是 k ,k′(k≠0,k′≠0),∴kk′= · = ① x0+1 x0-1 x2 0- 1 x2 1 0 2 又点 P 是椭圆 C2 上的点,故 +y0= ,② 2 2 1 联立①②两式可得 kk′=- ,即 k·k′为定值. 2 (2)直线 PF1 的方程可表示为 y=k(x+1)(k≠0),与椭圆 C1 的方 y0 y0 y2 0 第 3 页 共 11 页 北师大版高考总复习 ?y=k?x+1?, 程联立,得到方程组?x +y =1, ?2 2 2 由方程组得(1+2k2)x2+ 4k2x+2k2-2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- 2k2-2 x1x2= . 1+2k2 |AB|= = = 2 1+k2|x1-x2| ?x1+x2?2-4x1x2 . 2?1+4k2? , 1+2k2 , 1+2k2 4k2 1 +k 2 · 2?1+k2? 1+2k2 同理可求得|CD|= 则|AB|·|CD|= 4?4k4+5k2+1? ?1+2k2?2 ?1 + 1

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