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汕头市2015—2016学年度高一期末统考数学试题 (含word答案)


高一期末统考数学参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 A 5 B 6 C 7 D 8 D 9 A 10 D 11 B 12 D

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.

1 ; 10

14. 4;

15.

1;

16. 4

1. 【 解 析 】

B ? ?x x ? ?2, 或x ? 1?, A ? B ? ?x1 ? x ? 2?, 故 选 : B .

2. 【 解 析 】 ?sin160? ? sin?180? ? 20?? ? sin 20? , 所 以 , 原 式 = sin 20? cos 10? ? cos 20? sin 10? ? sin ?20? ? 10?? ? sin 30? ?
3

1 故 选 : A. 2
x

?1? 3. 【 解 析 】 奇 函 数 的 是 y ? x , y ? ? x , 减 函 数 的 是 y ? ? x , y ? ? ? 故 选 : C . ?2?
4. 【 解 析 】 ? a ? b ? a ? b ? 0 ? 3 ? 7 ? 12 x ? 0 ? x ? ?

7 ,故 选 : A . 4

5. 【 解 析 】

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ?

cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan2 ? 7 ? ? ? . 故 选 B. 2 2 2 25 sin ? ? cos ? tan ? ? 1

1 7 组 学 生 成 绩 中 位 数 是 8 9 , ? n ? 9 , ? m ? n ? 12 。 故 选 C

6. 【 解 析 】 ? 甲 组 学 生 成 绩 平 均 数 是 88 , ? (78 ? 88 ? 84 ? 86 ? 92 ? 90 ? m ? 95) ? 88 , ? m ? 3 , ? 乙

7. 【 解 析 】解 : ? 0 ? x ? a ,且 0 ? a ? 1 , ?loga x ? loga a ? 1 ,同 理 , loga y ? 1 , ?loga x ? loga y ? 2 ,

?loga xy ? 2 故 选 : D .
8. 【 解 析 】 解 : ? y ? s i n ? ? 2x ?

? ?

??

?? ? ? 2? x ? ? , 故 选 D . ? ? sin 4? 8? ?
O

B

9. 【解析】解:如图,令 OA ? 2a, OB ? b, 则 BA ? 2a ? b ,

? 2 a ? b ? 2a ? b ? 0 , ? ?OAB 是等边三角形,故 选 : A .
10. 【 解 析 】 解 :

A

1 1 ? 1? 2 2 1 1 2 S? ? ? 2 2?3 3 2 1 3 S? ? ? 3 3? 4 4 S ? 0?

k?2 k ?3 k?4

3 1 4 ? ? 4 4?5 5 4 1 5 S? ? ? 5 5? 6 6 S?
故 选 : D. 11. 【 解 析 】 解 :

k ?5

4 9 ? 4 9? 4b 9a ? ? ? ? ??a ? b ? ? 4 ? ? ? 9 ? 13 ? 2 36 ? 25 ,故 选 : B a b ?a b? a b
1 ? x ? 1 ,故 选 : D 2

12. 【 解 析 】 解 : 依 题 意 得 2 ? 2 x ? 1 ? 3 , ?1 ? 2 x ? 2 ,?

13. 【解 析 】解:将 2 名男生分别记为 1,2 ,将 3 名女生分别记为 a, b, c ,从中任意选出 2 人的所有可能的结果是:

?1,2?, ?1, a?, ?1, b?, ?1, c? , ?2, a?, ?2, b?, ?2, c? , ?a, b?, ?a, c?, ?b, c? ,共有 10 种,其中选出的 2 人都是男生的是 1 种,故所
求概率为

1 1 ,故答案为: 。 10 10

14. 【 解 析 】 解 : 若 2 x ﹣ y+ m ≥ 0 总 成 立 ? m ≥ y ﹣ 2x 总 成 立 即 可 , 设 t=2x+ y , 先 求 出 z 的 最 大 值 即 可 , 作出不等式组对应的平面区域如图: 由 t=2x+ y 得 y= -2x+ t , 平 移 直 线 y= -2x+t , 由 图 象 可 知 当 直 线 经 过 点 B ( 5 , 2 ) 时 , 直线的截距最大,此时 t 最大, 此 时 t ? 2 x ? y 的 最 大 值 为 12 , 又 ? z ? 2 x ? y ? a 的 最 大 值 为 8 ,

?a ? 4 , 故 答 案 为 : 4
15. 【 解 析 】 f ? x ? ?

a 1 ? ?? ? sin 2 x ? cos 2 x , ? 函 数 f ?x ? 的 一 条 对 称 轴 为 x ? , 则 f ?0? ? f ? ? , 2 2 6 ?3?

1 a 2 1 2 3 1 ?? ? ? ? sin ? ? cos ? , ? a ? 3 , ? f ?x ? ? sin 2 x ? cos2 x ? sin? 2 x ? ? , 2 2 3 2 3 2 2 6? ?

?函 数 f ?x ? 的 最 大 值 为 1 , 故 答 案 为 ,1 .
3 1 ? 2 3 x ? 6 x , ? x ? ? ? 2 2 16. 【 解 析 】 解 : 依 题 意 得 f ? x ? ? ? 作 出 函 数 的 图 像 可 知 函 数 f ?x ? 的 最 大 值 3 1 2 ?? x ? 2 x ? 3, x ? ? 或x ? ? 2 2 ?
为 4, 故 答 案 为 : 4.

三、解答题 17.解: ⑴ 设等差数列 ?an ? 的公差为 d , 则由 a1 ? ?15, s 5 ? 5a1 ?

5? 4 d 得 ? 15 ? 5 ? 10 d ? ?55 , 2

解得 d ? 2 ,

∴ an ? ?15 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 17, ⑵由⑴得 S n ?

所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 17 ,

n(?15 ? 2n ? 17 ) ? n 2 ? 16 n , 2

∵ S n ? n 2 ? 16n ? (n ? 8) 2 ? 64 ? ?64 ∴对于任意的 n ? N* , S n ? ?64 恒成立, ∴若不等式 S n ? t 对于任意的 n ? N* 恒成立,则只需 t ? ?64 , 因此所求实数 t 的取值范围为 (??,?64) 。 18.解:⑴ ∵ c sin A ? 3a cos C ? 0 , ∴由正弦定理得 sin C sin A ? 3 sin A cosC , ∵0 ? A ? ? , ∴ sin A ? 0 , ∴ tanC ? 3

∵ 0 ? C ? ? ,∴ C ?

?
3

2 2 2 ⑵由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cosC ,又 c ? 2 , C ?

?
3

2 2 2 2 ∴ 4 ? a ? b ? ab , ∵ a ? 0 , b ? 0 ∴ ab ? 4 ? a ? b ? 2ab ,

∴ ab ? 4 ,当且仅当 a ? b ? 2 时等号成立, ∴ S ?ABC ?

1 3 absin C ? ab ? 3 ,当且仅当 a ? b ? 2 时等号成立, 2 4

∴△ABC 的面积 S 的最大值为 3 。 19. 解:⑴由已知数据,可得 x ?

1 (150 ? 155 ? 160 ? 165 ? 170 ) ? 160 , 5

y?

1 (43 ? 46 ? 49 ? 51 ? 56) ? 49 , 5

? (x
i ?1

5

i

? x )( yi ? y ) ? (150 ? 160)(43 ? 49) ? (155? 160)(46 ? 49) ? (160 ? 160)(49 ? 49) ?
(165? 160)(51? 49) ? (170? 160)(56 ? 49) ? 155

? (x
i ?1

5

i

? x ) 2 ? (150 ? 160) 2 ? (155? 160) 2 ? (160 ? 160) 2 ? (165? 160) 2 ? (170 ? 160) 2 ? 250,

?? ∴b

? (x
i ?1 5

5

i

? x )( y i ? y )
i

? (x
i ?1

?

? x)2

155 ? 0.62 , 250

?x ? 49 ? 0.62?160 ? ?50.2 ? ? y ?b a
∴ y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 0.62x ? 50.2 ,

? ? 0.62 ? 168? 50.2 ? 53.96 (kg) ⑵由⑴知,当 x ? 168 时, y ? 为 53.96kg。 因此,当身高为 168cm 时,体重的估计值 y
20. 解:⑴∵ f ( x) ? ax ? (a ? 1) x ? 1 ,
2

∴不等式 f ( x) ? m x 等价于 ax2 ? (a ? m ? 1) x ? 1 ? 0 , 依题意知不等式 ax ? (a ? m ? 1) x ? 1 ? 0 的解集为 x 1 ? x ? 2 ,
2 2 ∴ a ? 0 且 1 和 2 为方程 ax ? (a ? m ? 1) x ? 1 ? 0 的两根,

?

?

? ?a ? 0 ? a ? m ?1 ? ∴ ?1 ? 2 ? , a ? 1 ? 1? 2 ? ? a ?

1 ? ?a ? 解得 ? 2, ? ?m ? 0

∴实数 a 、 m 的值分别为 a ? 1 、 m ? 0 , ⑵不等式 f ( x) ? 0 可化为 (ax ? 1)(x ? 1) ? 0 , (ⅰ)当 a ? 0 时,不等式 f ( x) ? 0 等价于 ? x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 1 ,故原不等式的解集为 x x ? 1 , (ⅱ)当 a ? 0 时,不等式 f ( x) ? 0 等价于 ( x ? ①当 0 ? a ? 1 时

?

?

1 )( x ? 1) ? 0 , a

1 1 ? ? 1 ,不等式 ( x ? )( x ? 1) ? 0 的解集为 ? x 1 ? x ? a a ?

? 1? ? ,即原不等式的解集为 ? x 1 ? x ? a? ?

1? ?, a?

②当 a ? 1 时,不等式 ( x ?

1 )( x ? 1) ? 0 的解集为 ? ,即原不等式的解集为 ? , a

③当 a ? 1 时

1 1 ? 1 ? ? 1 ,不等式 ( x ? )( x ? 1) ? 0 的解集为 ? x ? x ? 1? , a a ? a ?

即原不等式的解集为 ? x

? 1 ? ? x ? 1? , ? a ?
1 1 )( x ? 1) ? 0 ,∵ a ? 0 ,∴ ? 1 , a a

(ⅲ)当 a ? 0 时,不等式 f ( x) ? 0 等价于 ( x ? ∴不等式 ( x ?

1 ? ? ? ? 1 1 )( x ? 1) ? 0 的解集为 ? x x ? 或x ? 1? ,即原不等式的解集为 ? x x ? 或x ? 1? , a a a ? ? ? ?

综上所述,当 a ? 1 时不等式 f ( x) ? 0 的的解集为 ? x 当 a ? 1 时不等式 f ( x) ? 0 的的解集为 ? , 当 0 ? a ? 1 时不等式 f ( x) ? 0 的的解集为 ? x 1 ? x ?

? 1 ? ? x ? 1? , ? a ?

? ?

1? ?, a?

当 a ? 0 时不等式 f ( x) ? 0 的的解集为 x x ? 1 , 当 a ? 0 时不等式 f ( x) ? 0 的的解集为 ? x x ?

?

?

? ?

? 1 或x ? 1? 。 a ?

21. 解:⑴∵ s n ? 2an ? n ? 4 ∴当 n ? 1 时, s1 ? 2a1 ? 1 ? 4 ,解得 a1 ? 3 ⑵证明:∵ s n ? 2an ? n ? 4 , ∴当 n ? 2 时, sn?1 ? 2an?1 ? (n ? 1) ? 4 ,

sn ? sn?1 ? (2an ? n ? 4) ? (2an?1 ? n ? 5) ,即 an ? 2an?1 ? 1,
又 bn ? an ? 1,所以 bn ? 2bn?1 ,且 b1 ? a1 ? 1 ? 2 ? 0 , 所以数列 ?bn ? 是以 b1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。 ⑶由⑵得 bn ? 2n ,所以 an ? 2 n ? 1 ∴

∴ an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ,

1 1 1 ? n ? n, an 2 ? 1 2



1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 ? ( )n ? 1 a1 a 2 an 2 2 2 2 2

22.解:⑴若 f ( x) ? 2 x ? 3 ,则 f ? f ( x)? ? 2(2 x ? 3) ? 3 ? 4 x ? 9 , 由 f ? f ( x)? ? x ,得 4 x ? 9 ? x ,解得 x ? ?3 , ∴函数 f ( x) ? 2 x ? 3 的二阶不动点为 x ? ?3 , ⑵证明:∵ x0 是函数 f ( x) 的二阶不动点, ∴ f ? f ( x0 ? ? x0 , 记 f ( x0 ) ? t ,则 f (t ) ? x0 , 若 t ? x0 ,则由 f ( x) 在区间 D 上为增函数,有 f (t ) ? f ( x0 ) ,即 x0 ? t ,这与假设 t ? x0 相矛盾; 若 t ? x0 ,则由 f ( x) 在区间 D 上为增函数,有 f (t ) ? f ( x0 ) ,即 x0 ? t ,这与假设 t ? x0 相矛盾; ∴ t ? x0 ,即 f ( x0 ) ? x0 , ∴ x0 是函数 f ( x) 的一阶不动点,命题得证;
x ⑶函数 f ( x) ? e ? x ? a 在 R 上单调递增,则由⑵可知,若 f ( x) 在 ?0,1? 上存在二阶不动点 x0 ,

则 f ( x) 在 ?0,1? 上也必存在一阶不动点 x0 ;反之,若 f ( x) 在 ?0,1? 上存在一阶不动点 x0 , 即 f ( x0 ) ? x0 ,那么 f ? f ( x0 ? ? f ( x0 ) ? x0 ,故 f ( x) 在 ?0,1? 上也存在二阶不动点 x0 。 所以函数 f ( x) 在 ?0,1? 上存在二阶不动点 x0 等价于 f ( x) ? x 在 ?0,1? 上有解, 即方程 e ? x ? a ? x 在 ?0,1? 上有解,
x

∴ a ? ?e 在 ?0,1? 上有解,
x

由 x ? ?0,1? 可得 e ? ?1, e?,∴ ? e ? ?? e,?1?,
x x

∴ a 的取值范围是 ?? e,?1? 。


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