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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 计时双基练41 数学归纳法 理 北师大版

时间:2016-07-01


计时双基练四十一

数学归纳法

A 组 基础必做 1.一个关于自然数 n 的命题,如果验证当 n=1 时命题成立,并在假设当 n=k(k≥1 且 k∈N+)时命题成立的基础上, 证明了当 n=k+2 时命题成立, 那么综合上述, 对于( A.一切正整数命题成立 C.一切正偶数命题成立 B.一切正奇数命题成立 D.以上都不对 )

解析 对 n=1,3,5,7,?命题成立,即命题对一切正奇数成立。 答案 B 2.设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足:“当 f(k)≥k 成立时,总可推 出 f(k+1)≥(k+1) 成立。”那么,下列命题总成立的是( A.若 f(1)<1 成立,则 f(10)<100 成立 B.若 f(2)<4 成立,则 f(1)≥1 成立 C.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1 时,均有 f(k)≥k 成立 D.若 f(4)≥16 成立,则当 k≥4 时,均有 f(k)≥k 成立 解析 选项 A,B 与题设中不等号方向不同,故 A,B 错;选项 C 中,应该是 k≥3 时, 均有 f(k)≥k 成立;选项 D 符合题意。 答案 D 1 1 1 1 3.已知 f(n)= + + +?+ 2,则( n n+1 n+2 n 1 1 A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 2 C.f(n)中共有 n -n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 2 D.f(n)中共有 n -n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 1 2 解析 由 f(n)可知,共有 n -n+1 项,且 n=2 时,f(2)= + + 。 2 3 4 答案 D 4.凸 n 多边形有 f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数 f(n+1)为( A.f(n)+n+1 C.f(n)+n-1 B.f(n)+n D.f(n)+n-2 ) )
2 2 2 2 2

)

解析 边数增加 1,顶点也相应增加 1 个,它与和它不相邻的 n-2 个顶点连接成对角 线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加 n-1 条。

1

答案 C 1 5. 在数列{an}中, a1= , 且 Sn=n(2n-1)an, 通过求 a2, a3, a4, 猜想 an 的表达式为( 3 A. C. 1 ?n-1??n+1? 1 ?2n-1??2n+1? B. D. 1 2n?n+1? 1 ?2n+1??2n+2? )

1 1 1 1 1 1 1 解析 由 a1= ,Sn=n(2n-1)an,求得 a2= = ,a3= = ,a4= = 。 3 15 3×5 35 5×7 63 7×9 1 猜想 an= 。 ?2n-1??2n+1? 答案 C 6.对于不等式 (1)当 n=1 时,

n2+n<n+1(n∈N+),某学生采用数学归纳法证明过程如下:
1 +1<1+1,不等式成立。
2

(2)假设 n=k(k∈N+)时,不等式成立,即 ?k+1? +?k+1?= < =
2 2

k2+k<k+1,则 n=k+1 时,

k2+3k+2

?k +3k+2?+?k+2? ?k+2? =(k+1)+1。
2

∴当 n=k+1 时,不等式成立。 上述证法( )

A.过程全部正确 B.n=1 的验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 解析 n=1 的验证及归纳假设都正确, 但从 n=k 到 n=k+1 的推理中没有使用归纳假 设,而是通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求。 答案 D 7.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,x +y 能被 x+y 整除”,当第二步假设 n= 2k-1(k∈N )命题为真时,进而需证 n=________时,命题亦真。 解析 n 为正奇数,假设 n=2k-1 成立后,需证明的应为 n=2k+1 时成立。 答案 2k+1 1 1 1 * 8.用数学归纳法证明:“1+ + +?+ n <n(n>1,n∈N )”,由 n=k(k>1)不等式 2 3 2 -1 成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项的项数是________。
*

n

n

2

1 1 1 解析 当 n=k 时,不等式为 1+ + +?+ k <k。 2 3 2 -1 则 n=k+1 时,左边应为: 1 1 1 1 1 1 1+ + +?+ k + k+ k +?+ k+1 2 3 2 -1 2 2 +1 2 -1 则增加的项数为 2 答案 2
k k+1

-1-2 +1=2 。

k

k

9.设平面上 n 个圆周最多把平面分成 f(n)片(平面区域),则 f(2)=________,f(n) =________。(n≥1,n 是自然数) 解析 易知 2 个圆周最多把平面分成 4 片; n 个圆周最多把平面分成 f(n)片, 再放入第

n+1 个圆周, 为使得到尽可能多的平面区域, 第 n+1 个应与前面 n 个都相交且交点均不同,
有 n 条公共弦,其端点把第 n+1 个圆周分成 2n 段,每段都把已知的某一片划分成 2 片,即
2 f(n+1)=f(n)+2n(n≥1), 所以 f(n)-f(1)=n(n-1), 而 f(1)=2, 从而 f(n)=n -n+2。

答案 4

n2-n+2 bn
*

10.已知点 Pn(an,bn)满足 an+1=an·bn+1,bn+1= 2(n∈N ),且点 P1 的坐标为(1, 1-4an -1)。 (1)求过点 P1,P2 的直线 l 的方程; (2)试用数学归纳法证明:对于 n∈N ,点 Pn 都在(1)中的直线 l 上。 解 (1)由题意得 a1=1,b1=-1, -1 1 1 1 = ,a2=1× = , 1-4×1 3 3 3
*

b2=

?1 1? ∴P2? , ?。 ?3 3?
y+1 x-1 ∴直线 l 的方程为 = ,即 2x+y=1。 1 1 +1 -1 3 3
(2)证明:①当 n=1 时,2a1+b1=2×1+(-1)=1 成立。 ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N )时,2ak+bk=1 成立。
*

bk bk 1-2ak 当 n=k+1 时,2ak+1+bk+1=2ak·bk+1+bk+1= = =1, 2·(2ak+1)= 1-4ak 1-2ak 1-2ak
∴当 n=k+1 时,2ak+1+bk+1=1 也成立。 由①②知,对于 n∈N ,都有 2an+bn=1,即点 Pn 在直线 l 上。
*

? 1? 11 . 用 数 学 归 纳 法 证 明 : 对 一 切 大 于 1 的 自 然 数 , 不 等 式 ?1+ ? 3 ? ? ?1+1?·?·?1+ 1 ?> 2n+1均成立。 ? 5? ? 2n-1? 2 ? ? ? ?
3

1 4 5 证明 ①当 n=2 时,左边=1+ = ,右边= 。 3 3 2 ∵左边>右边,∴不等式成立。 ②假设当 n=k(k≥2,且 k∈N+)时不等式成立, 1 ? 2k+1 ? 1?? 1? ? 即?1+ ??1+ ?·?·?1+ ?> 2 。 3 5 2 k -1? ? ?? ? ? 则当 n=k+1 时, 1 ?1+1??1+1?·?·1+ 1 ?1+ ?> 2k+1·2k+2= 2k+2 ? 3?? 5? ? ? 2k-1? 2?k+1?-1? 2 2k+1 2 2k+1 ? ?? ? = 4k +8k+4 4k +8k+3 > 2 2k+1 2 2k+1 2k+3 2k+1 2?k+1?+1 = 。 2 2 2k+1
2 2



∴当 n=k+1 时,不等式也成立。 由①②知,对于一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立。 B 组 培优演练 1 1 1 127 * 1.用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n-1> (n∈N )成立,其初始值至少应取 2 4 2 64 ( ) A.7 C.9 1 1 1 解析 左边=1+ + +?+ n-1 2 4 2 1 1- n 2 1 = =2- n-1, 1 2 1- 2 代入验证可知 n 的最小值是 8。 答案 B 2.设函数 f(n)=(2n+9)·3 大值为( A.9 C.27 解析 f(n+1)-f(n)=(2n+11)·3
n+2 n+1

B.8 D.10

+9,当 n∈N 时,f(n)能被 m(m∈N )整除,猜想 m 的最

*

*

) B.18 D.36 -(2n+9)·3
n+1

=4(n+6)·3

n+1

,当 n=1 时,

f(2)-f(1)=4×7×9 为最小值,据此可猜想选项 D 正确。
答案 D

4

3. 用数学归纳法证明 1+2+3+?+n = 上加上________________。

2

n4+n2
2

, 则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础

解析 等式左边是从 1 开始的连续自然数的和,直到 n 。故 n=k+1 时,最后一项是(k +1) ,而 n=k 时,最后一项是 k ,应加上(k +1)+(k +2)+(k +3)+?+(k+1) 。 答案 (k +1)+(k +2)+(k +3)+?+(k+1)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

1 1 1 1 3 1 * 4.已知 f(n)=1+ 3+ 3+ 3+?+ 3,g(n)= - 2,n∈N 。 2 3 4 n 2 2n (1)当 n=1,2,3 时,试比较 f(n)与 g(n)的大小; (2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系,并给出证明。 解 (1)当 n=1 时,f(1)=1,g(1)=1,所以 f(1)=g(1);

9 11 当 n=2 时,f(2)= ,g(2)= , 8 8 所以 f(2)<g(2); 251 312 当 n=3 时,f(3)= ,g(3)= , 216 216 所以 f(3)<g(3)。 (2)由(1),猜想 f(n)≤g(n),下面用数学归纳法给出证明。 ①当 n=1,2,3 时,不等式显然成立, ②假设当 n=k(k≥3)时不等式成立,即 1 1 1 1 3 1 1+ 3+ 3+ 3+?+ 3< - 2。 2 3 4 k 2 2k 1 3 1 1 那么,当 n=k+1 时,f(k+1)=f(k)+ 3< - 2+ 3。 ?k+1? 2 2k ?k+1? 1 1 1 因为 2-[ 2- 3] 2?k+1? 2k ?k+1? =

k+3 1 -3k-1 3- 2= 3 2<0, 2?k+1? 2k 2?k+1? k

3 1 所以 f(k+1)< - 2=g(k+1)。 2 2?k+1? 由①②可知,对一切 n∈N ,都有 f(n)≤g(n)成立。
*

5


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