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高数(1)试卷2010-2014

时间:2017-10-25


2010 级高等数学(1)试卷 一.填空题(每小题 3 分,总计 24 分 ) 1. 设 f ( x) e x , f ( ( x)) 1 x, ( x) 0,则 ( x)= 。 2. 曲线 y 程为 3. 已知当 x
2

定义域为

1 ln(1 e x ) 的水平渐近线方程为 x 。
1

,垂

直渐近线方

则常数 a (1 ax 2 ) 3 -1与ln(1-x 2 ) 是等价无穷小, 0 时,



4.设 f (0) 0, f (0) 1, 则 lim
h 0

f (eh 1) h

。 。

1 ln[ f (1) f (2) f (n)] n n2 d 1 2 1 6.设 ( f ( 2 )) 。 ,则 f ( ) dx x x 2 f ( x) 7.设 f ( x) 在 x 2 处连续,且 lim 1, 则 f (2) x 2 x 2
5.设函数 f ( x) 3x , 则 lim 8.函数 y

, f (2) ,曲线的拐点坐标是



ln(1 x 2 ) 的下凸区间是

和 。 二.选择题(每小题 3 分,总计 9 分 ) 1. 设函数 y 且 f ( x) 0, f ( x) 0, x 是自变量在点 x0 处 f ( x) 具有二阶导数,

的增量, y 与 dy 分别为 f ( x) 在点 x0 处对应的增量与微分,若 x 0, 则 (A) 0< y <dy ; 2 当x
0 时,函数

(B) 0<dy

y ; (C)

y <dy <0 ;

(D) dy

y <0 。

1 1 cos 是 2 x x
(B)无穷大; (D)无界的,但不是无穷大。

(A)无穷小; (C)有界的,但不是无穷小;

3.设 f ( x) ( x2 3x 2)sin x, 则 f ( x) 0 在 (0, ) 内根的个数为 (A)0 个; (B)2 个; (C) 至少 3 个; (D) 至多 1 个。 三.解答下列各题(每小题 6 分,总计 30 分 )

x 2 。 1.求极限 lim x 1 ln(1 x ) ln tan
2.写出 f ( x) sin x ln(1 x) 的带佩亚诺余项的 3 阶麦克劳林公式。
1

3. 设 f ( x)

1 x , 求 f ( n ) ( 1) 。 1 x
1 x x x 0

4.求极限 lim(2sin x e ) 。 5. 设 y

ax

xn

xsin x

,求 d y 。
1 所确定,求曲线 y
y( x) 在点 (0,1) 处

四. (7 分)设函数 y 的法线方程。

y( x) 由方程 y xe y

五. (8 分)设曲线的参数方程为

x y

a(ln tan a sin t

t cos t ) dy d 2 y ,求 和 2 。 2 dx dx

六.(8 分) 设 f ( x)

1 cos x ,x 0 , 讨论函数 f ( x) 在 x 0 点的连续性和可导性。 x 2 x xe , x 0

七. ( 5 分)设函数 f ( x) 在 [a, b] 连续,在 (a, b ) 可导,并且 b a 4, 证明:存在
(a, b ),使得 f ( ) 1 [ f ( )]2 。

八. (9 分)求抛物线 y 1 x2 ,(0

x 1) 上的一点 M ,使得曲线在点 M 的切线与

两坐标轴围成的三角形面积最小。 2011 级高等数学(1)试卷 一.填空题(每小题 4 分,总计 40 分 ) 1. lim
x 0

1 x sin x 1 x2
x x a 2 ) x 1



2.设 lim(
x

e3 , 则常数 a f ( x) 2 x 3 x2



3.设 f ( x) 是多项式, 且 lim
x

2, lim
x 0

f ( x) x

3 , 则 f ( x)
。 。



4.设函数 y

1 2ln 2 x ,则导数 y

5.设 y sin x x cos x , 则 dy 6. 设y

y x 由方程 x y e x e y

0 所确定, 则
2

dy dx

x 0

d2 y , 2 dx


x 0

7.曲线 8.曲线 y

x t2 1 y t3 t

在 t 1 所对应的点处的切线方程为



xe x 的拐点坐标是

。 。 ,b 。

9.写出 f ( x) 10.设 f ( x)

tan x 的带佩亚诺余项的 3 阶麦克劳林公式

ae2 x , x 0 在x b ln(1 x) 3, x 0

0 处可导,则 a

二.选择题(每小题 3 分,总计 18 分 ) 1. 设函数 f ( x) 在点 x 0 处连续,则函数 f ( x) 在点 x 0 处( (A)必可导; (C)可导与否不确定; 2. 曲线 y
3



(B)必不可导; (D)可导与否与在点 x 0 处连续无关。 )

x 在点 x

0 处(

(A)可微; (C)无切线;

(B)不连续; (D)有切线,但该切线的斜率不存在. )

3. 以下结论正确的是(

(A) 函数 f ( x) 的导数不存在的点,一定不是 f ( x) 的极值点; (B) 若 x 0 为函数

f ( x) 的驻点,则 x 0 必为 f ( x) 的极值点;

(C)若函数 f ( x) 在 x 0 处有极值,且 f ( x0 ) 存在,则必有 f ( x0 ) 0 ; (D)若函数 f ( x) 在点 x 0 处连续,则 f ( x0 ) 一定存在。 4. 函数 y

x arctan x 在区间 (

,

) 内(



(A)单调减少; (C)不单调; 5. 若 lim
x

(B)单调增加; (D)不连续。

x0

f ( x) f ( x0 ) x x0

A

0 ,则
(B) f ( x0 ) 为 f ( x) 的极小值; (D)以上都不对。

(A) f ( x0 ) 为 f ( x) 的极大值; (C) ( x0 , f ( x0 )) 为曲线 y 6.设函数 f ( x)
x 在( a ebx

f ( x) 的拐点;

,

) 上连续, xlim f ( x) 0 ,则常数 a, b 满足
3

(A) a (C) a

0, b 0, b

0; 0;

(B) a (D) a

0, b 0 ; 0, b 0 。

三.解答下列各题(每小题 6 分,总计 24 分 ) 1.设函数 f ( x)

2 1 e
1 x

sin x , 求极限 lim f ( x) 。 x 0 x

2 2.求极限 lim x

3

x

x 2 2 x 1

x 。

3. 设 y

x 2e2 x , 求 y ( 20) 。

4. 求函数

f ( x) ( x 1) x
x 2

2 3

的极值。

四. (7 分)证明 0

时, 成立不等式

sin x x

2



五. (7 分)设曲线的参数方程为

dy d 2 y x ln 1 t 2 ,求 和 2 。 dx dx y arctan t
(1, e), 使得 sin1 cos ln .

六.(4 分)试证至少存在一点,存在

2012 级高等数学(1)试卷 一.填空题(每小题 4 分,总计 40 分 ) 1、 lim
x 1

5x 4 x 1
x

x



2、计算 lim (

2x 3 x 1 ) = 2x 1
3 sin( x 1) , x 1 在( x 1 e ax 1, x 1



3、设 f ( x)

,

)上连续,则常数 a =



4、设 y

3 tan(x

2

1)

,则 dy
f (ln x) ,则 y =
y

。 。

5、设 f ( x) 存在,函数 y

6、设函数 y

y( x) 由方程 e x

xy 1所确定,求
4

dy dx


x 0

7、求曲线

x

ln 1 t 2 在t y arctan t
1

1 点处的切线方程



8、曲线 y 9、曲线 y

x 3 的拐点坐标是

。 。 。

arctan x 的上凸区间是

10、写出 f ( x)

x 2 e x 的带佩亚诺余项的 n 阶麦克劳林公式

二.选择题(每小题 3 分,总计 18 分 ) 1、若 lim f ( x)
x 2

3 ,则必定有[

] (C)在 x 2 处无定义;
3。

(A) f (2)
f ( x)

(B) f ( x) 在 x 3;

2 的某去心邻域中,

(D)在 x 4;

2 的某去心邻域中, f ( x)
1 1

2、设 f ( x)

x2 1 x e x 1

,则下面结论正确的是[

]

(A) lim f ( x) 存在,但 f ( x) 在 x 1处不连续;
x 1

(B) lim f ( x) 和 lim f ( x) 存在,但 lim f ( x) 不存在;
x 1 x 1 x 1

(C) lim f ( x) 存在, lim f ( x) 不存在; (D) lim f ( x) 不存在, lim f ( x) 存在
x 1 x 1 x 1 x 1

3、下列极限正确的是[ ] sin x (A) lim 1; x x 1 1 (C) lim sin 不存在; x x x 4、 设方程 x n

(B) lim x sin
x

1 1; x sin x (D) lim 1; x x

a1 x n

1

an 1 x an

0 (a1 , a2 ,

, an 为常数) ,且 a n

0 ,则[ ]

(A)方程没有实根; (B)方程至少有一个负实根; (C)方程至少有一个正实根; (D)方程至少有一个正实根和一个负实根 5、 设 是实数, f ( x)
1 1 cos , x 1 在 x 1处可导,则 x 1 ( x 1) 0, x 1
0;

满足[
1。

]

(A) a

1; (B) 1 a

(C) 0

1;

(D) ]

6、设 f ( x) 具有二阶连续导数,且 f (1) (A) f (1) 为 f ( x) 的极大值;
5

0, lim
x

f ( x) 1 ( x 1) 2

1 ,则[ 2

(B) f (1) 为 f ( x) 的极小值;

(C) (1, f (1)) 为曲线 y

f ( x) 的拐点;

(D)以上都不对。

三.解答下列各题(每小题 6 分,总计 24 分 ) 1、求 lim
x 0

sin x tan x (3 1 x 2
0

1)( 1 sin x 1)



2、计算 lim (
x

1 x tan x

1 )。 x2

3、设函数 y 4、设 f ( x)

x 2 e x ,求 y (50) 。
lim

1 x ,讨论 f ( x) 的间断点。 n 1 x 2n 四、 (7 分)气球充气时,半径 r 以 1 cm / s 的速度增大,设在充气过程中气球保 持球形,求当半径 r 10cm 时,气球体积 V 增加的速率。 五、 (7 分)某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售,每天可销售 100 件,现在他采取提高售出价、减少进货量的办法增加利润。已知这种商品 每涨价 1 元,其销售量就要减少 10 件,问他将售出价定为多少时,才能使每天 得到的利润最大?并求此最大利润。
六、 (4 分) 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 又b
a

求证: , 0。

(a, b)

使得 f ( )

b f ( ) a 。 b a ln

2013 级高等数学(1)试卷 一.填空题(每小题 4 分,总计 40 分 )
1 1 )(1 2 ) 2 n 2 3 3x 1 x 2、计算 lim( ) = x 3x 1

1、 lim(1

(1

1 ) n2




3、计算 lim n 1 2n 3n
n

。 。 。 。 。

4、设 y
5、设 y

x x ,则 dy
f (x

y) ,其中 f 二阶可导,则 y =

6、设 g ( x) 7、求曲线

f (ln x)e f ( x ) , f 一阶可导,求 g (1)
x t sin t , 在t y 2 cos t

1 点处的法线方程
6

8、曲线 y 9、曲线 y 10、 f ( x)

shx 的拐点的横坐标是

。 。 。

x2

x 1 的渐近线有 x 1

xe x 按 x 的幂展开的 n 次泰勒多项式

二.选择题(每小题 3 分,总计 18 分 ) 1、下列判断是错误的[ ] (A)两个无穷小量之和仍是无穷小量; (B)两个无穷大量之和仍是无穷大量; (C)两个无穷小量之积仍是无穷小量; (D)两个无穷大量之积仍是无穷大量; 2、当 x

0 时, 2 x3

2 是 x 的[

]

(A)等价无穷小; (C)高阶无穷小;

(B)同阶无穷小; (D)低阶无穷小;

3、已知 ( x) 在 x a 处连续,则下列函数在 x a 处不可导的是[ (A) ( x a) ( x) ; (C) ( x a) ( x) ;
ex
1

]

(B) x a ( x) ; (D) ( x a)2 ( x) ;
2 1 arctan 2 1 x x x 0

4、 x 0 是 f ( x)

e

x

1

的[
0

]间断点.

(A)可去间断点; (C)跳跃间断点;

(B)无穷间断点; (D)振荡间断点;
f ( x) 在任一点 ( x, y) 和点 ( x, y) 处的切

5、若 f ( x) 为可导的偶函数,则曲线 y 线斜率[ ] (A)彼此相等; (C)互为倒数; 6、设 lim
x a

(B)互为相反数; (D)不能确定其关系。
1 ,则[

f ( x) f (a ) ( x a) 2

] (B) x a 为 f ( x) 的极小值点;

(A) x a 为 f ( x) 的极大值点;

(C) x a 为 f ( x) 的驻点,但不是极值点; (D)以上都不对。 三.解答下列各题(每小题 5 分,总计 15 分 )
7

1、求 lim
x 0

e x 1 sin x 1 1 x2


2

2、求函数 f ( x) (2 x 5) x 3 的单调区间。 3、设函数 y

32 x 5 ,求 y ( n ) 。
a(cos x 1) x 0 , 当 a, b 取何值时, f ( x) 在 ( x2 2 ax bx 1 x 0

四、 (8 分)设 f ( x)

,

) 内处

处可导? 五、 (7 分) 一个公司一天能制造 x 百个 A 级轮胎和 y 百个 B 级轮胎,其中 0 x 4 40 10 x 且y , A 级轮胎的利润是 B 级轮胎利润的 2 倍。为获得最大利润每类 5 x 轮胎应各制造多少? ( 5

2.236 )

六、 (7 分)直径为 8 米的一球形铁球被一层均匀的冰所覆盖。如果冰以 10 米3 / 分 的速率融化,当冰层厚为 2 米时冰层的厚度衰减会有多快? 七、 (5 分)设函数 f ( x) 在闭区间[-1,1] 上连续 ,在开区间 (-1,1)内可导 , 且有
f ( 1) 1, f (1) 1 试证明存在 ( 1,1) ,使 [ f ( )] f ( ) f ( ).

2014 级高等数学(1)试卷答案 一.填空题(每小题 4 分,总计 40 分 ) 1.函数 y 2. lim
x 1

1 3 x arctan 的定义域为 ( x
2 。 6
( x 0) ,则 f ( x)

,0) (0,3] 。

3 x 1 x 2 x x 2
x 1 x2

1 3.设 f ( ) x

1 x

1 1 x2 x
1

( x 0) 。


1 4.已知 lim [ln x ln( x ax 2 )] x 0 x
5.设 y

1 ,则 a

e

sin 2

1 x

,则导数 y

1 2 sin 2 1 sin e x。 x2 x

8

6.设 y

y x 由方程 y sin( x y) 所确定,则
x t (t 1) y tet 1

dy dx

cos( x y ) 。 1 cos( x y )
x 1。

7.曲线

在t

0 所对应的点处的切线方程为 y

8.曲线 y

1 arctan 1 2 )。 earctan x 的拐点坐标是 ( , e 2 1 x2 ,则 dy 1 x2
2x dx 。 1 x4

9.设 y

arctan

10.已知函数 f ( x)

a sin x

1 sin 3x 在 x 3

3

处取得极值,则 a

2



二.选择题(每小题 4 分,总计 16 分 ) 1. 已知函数 f ( x) (A) 2 ;
1

(cos x) a

x2

x x

0 在 x 0 处连续,则 a ( 0

C )

(B) 0;

(C) 1 ;

(D)

-1.

2. 设 f ( x)

ex 1 e
1 x

,则 x 0 是 f ( x) 的( (B)第二类间断点; (D)无穷间断点.

C )

1

(A)连续点; (C)跳跃间断点;

0 f ( x) f ( x) f ( x) 3.对 未定式 lim ,极限 lim 存在是极限 lim 存在的( x x0 g ( x ) x x0 g ( x ) 0 g ( x)

B



条件 (A)充分必要; (B)充分非必要; (C)必要非充分; (D)非必要非充分。 4. x
0 时, 3 1
3

x 1 是 x 的(

A )阶无穷小。

1 (A) ; 3 1 (C) ; 9

1 (B) ; 6 2 (D) 。 3
9

三.解答下列各题(每小题 6 分,总计 24 分 ) 1.已知 y 解: y 所以

x3 1 x

,求 y ( n ) 。

x2
y

x 1
2x 1

1 1 x
1 (1 x)2 y 2 2 (1 x)3

y(n)

n! (n 3) (1 x)n 1

2.设函数

y

y( x) 由方程 y sin x
y c o sx d x s i n x (

cos( x y) 0 确定,求 dy 。

解:两边同时求微分得:
sin xdy y )d (x d y) 0

求解得:

dy

y c o sx s i n x( y ) dx s i nx( y ) s i xn

3. 设 f ( x) 存在,且 lim
x 0

解:

f (1 x) 1 ,求 f (1) 。 2x f (1) f (1 x) 1 [ f (1 x) f (1)] lim lim . x 0 x 0 2x 2 x
f (1) 2

f (1)

1 f (1) 2

1

所以

4. .一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于观察者的眼睛 1.8 m , 问观察者在距
墙多远处看图才最清楚(视角 最大) ? 解: 设观察者与墙的距离为 x m ,

1.4 1.8 1.8 x (0, ) = arctan arctan x x 1.4 ( x 2 5.76) 3.2 1.8 2 2 2 2 x 2 3.22 x 2 1.82 ( x 3.2 )( x 1.8 )

1.4
1.8

0, 令 x 2.4 (0, ) 得 根据实际问题可得,观察者站在 2.4 米看得最清楚。
10

四. (8 分)证明

ex e y 2

e

x y 2

(x

y) 。

证明:辅助函数 f (t ) et (t 则

R) R)

f (t ) et

0(t

所以,函数 f (t ) et (t

R) 的图形是凹的,因此,对任意的 x, y

R, x

y

1 恒有: [ f ( x) 2
即,

f ( y)]

f(

x y ) 2

ex e y 2

e

x y 2

(x

y)

得证。

五. (8 分)求曲线 x 解:

1 t 2 , y t t 3 在 t 1 处的曲率。
1
t 1

dy dx t

1

1 3t 2 2t
1 2t 2
1

d2y dx 2 t

3 2 2t
t 1

1

所以,t=1 处的曲率为

k

y (1 y )
2
3 2

2
t 1

3

2

2 4
1 ,证明: 3

六.(4 分)设函数 f ( x) 在[0,1]上连续,在(0.1)内可导,且 f (0) 0 , f (1)
存在 , ,使得 f ( )

f ( )

2

2



证明:令 F ( x)

f ( x)

1 3 x ,由题知 F (0) 3

F (1) 0

1 F ( x)在[0, ]上用拉格朗日中值定理得: 2 1 1 1 (0, ), F ( ) F (0) F( ) 2 2 2 1 F ( x)在[ ,1]上用拉格朗日中值定理得: 2 1 1 1 ( , 1), F (1) F ( ) F ( ) 2 2 2
两式相加即得 f ( )

f ( )

2

2

11


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