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浙江省杭州外国语学校2013-2014学年高二上学期期中考试数学(文)试题


浙江省杭州外国语学校 2013-2014 学年(第一学期)高二期中考试文科数学试卷
注意事项:
1、 考试时间 100 分钟,本试卷满分 100 分; 2、 本场考试不准使用计算器等计算工具; 3、 请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔答题,在答题卷相应处写上班级、姓名、学号,所有答案均 做在答卷的相应位置上,做在试题卷上无效.

一、选择题(本大题共

10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要
求的)

y2 ? 1的渐近线方程是 ( ) 3 1 3 A. y ? ? x B. y ? ? x C. y ? ? 3x D. y ? ? x 3 3 2. 若命题“ p ? q ”为假,且“ ? p ”为假,则 ( ) A. “ p ? q ”为假 B. q 假 C. q 真 D. 不能判断 q 的真假 1 2 3.抛物线 y ? x ? 0 的准线方程为 ( ) 2 1 1 1 1 A. x ? B. x ? ? C. x ? D. x ? ? 4 4 8 8 2 4、命题“存在 x ? Z ,使 x ? 2 x ? m ≤ 0 ”的否定是 ( ) 2 2 A. 存在 x ? Z 使 x ? 2 x ? m ? 0 B. 对任意 x ? Z 使 x ? 2 x ? m ? 0 2 C. 对任意 x ? Z 使 x ? 2 x ? m ≤ 0 D. 不存在 x ? Z 使 x 2 ? 2 x ? m ? 0
1、双曲线 x ?
2

5. 一个三角形在其直观图中对应一个边长为 1 的正三角形,原三角形的面积为 (



3 3 6 C. D. 4 2 2 2 2 b?c x y 6. 已知 c 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的半焦距, 则 的取值范围是 a a b
A. B.
A. (1, ? ?) B. ( 2 , ? ?) C. (1,

6 4

(

)

2)

D. (1,

2]

x2 y 2 x2 y 2 7. 双曲线 2 ? 2 ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0,m>b>0)的离心率互为倒数, a b m b
那么以 a、b、m 为边长的三角形一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 8.如图, ABCD? A1 B1C1 D1 是正方体, B1 E1 ? D1 F1 ? 则 BE1 与 DF 所成角的余弦值是 1 ( D. 等腰三角形

A1 B1 , 4


8 1 3 C. D. 2 17 2 9. 若直线 l // 平面 ? , 直线 m ? ? , l 与 m 的位置关系是 则 ( ) A. l // m B. l 与 m 异面 C、 l 与 m 相交 D、 l 与 m 没有公共点
A. B.

15 17

第 8 题图

B 10. 已 知 A、 为 平 面 内 两 定 点 , 过 该 平 面 内 动 点 M 作 直 线 AB 的 垂 线 , 垂 足 为 N . 若

???? 2 ? ???? ??? ? MN ? ? AN ? NB , 其 中 ? 为 常 数 , 则 动 点 M 的 轨 迹 不 可 能 是

( ) A.圆 www.1haoti.com

B.椭圆

C.抛物线

D.双曲线

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.已知 a ? R ,则“ a ? 3 ”是“ a ? 3a ”的 条件. 12. 棱长为 4 的正方体的各顶点都在球面上,则该球的表面积为 13. 已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所示(单位 cm) ,
2

cm3 14.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0
则它的体积为 的最大距离与最小距离的差是为 . 15. 已知双曲线的中心为原点,F(3,0)是焦点, F 的直线 l 与双曲线相交 过 于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15), 则双曲线的方程 . 2 2 16.若直线 mx+ny=4 与圆 O:x +y =4 没有交点,则过点 P(m,n)的直 x2 y2 线与椭圆 9 + 4 =1 的交点个数为 __________ __ 三、解答题(本题有 5 小题,总共 46 分,请写出必要的解答过程。 ) 17. 如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的菱形,

O

?ABC ?

?
3

, OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点。
M A B C

(1)求三棱锥 B ? OCD 的体积; (2)求异面直线 AB 与 MD 所成角的余弦值; 【注:若直线 a ? 平面 ? ,则直线 a 与平面 ? 内的所有直线都垂直。 】 18.已知命题 p : ? x ? [2,3] ,使得不等式 x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 成立;
2

D

命题 q :方程 mx ? (m ? 5) y ? 1 表示双曲线。 若 p 或 q 为真命题, p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围。
2 2

19.已知双曲线 点M

?
2

x2 y 2 ? ? 1(b ? a ? 0) , O 为坐标原点,离心率 e ? 2 , a 2 b2 5 , 3 在双曲线上.

?

(1)求双曲线的方程;

(2)若直线 l 与双曲线交于 P, Q 两点,且 OP ? OQ ? 0 .问:

??? ???? ?

1 OP

?

1 OQ
2

是否为定值?若是请求出该定值,若不是请说明理由。

20.已知抛物线 C : y ? 4 x 的准线与 x 轴交于 M 点,过 M 点斜率为 k 的直线 l
2

与抛物线 C 交于 A 、 B 两点( A 在 M 、 B 之间). (1) F 为抛物线 C 的焦点,若 | AM |? (2)若 MB ? 4MA ,求 ?FMB 的面积

????

????

5 | AF | ,求 k 的值; 4

3 1 x2 y 2 =1(a >b>0) 经过点 P(1, ), 离心率 e = , 2 2 2 a b 直线 l 的方程为 x =4 . (1)求椭圆 C 的方程; (2) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ),设直线 AB 与 直线 l 相交于点 M ,记 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 ,k2 ,k3 . 则存在常数 ? ,使得 k1 +k2 =?k3 . 求 ? 的值
21. 如图,椭圆 C: 2 +

杭州外国语学校 2013-1 高二年级期中考试数学答题卷
一、选择题: 题 号 : 考试序号 班级: 姓名: 。。。。。。。。。. 。。。。。。。。。。。。线。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。密。。。。。。。。。。。。。。。封。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 答 案 二、填空题: 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

15.



16.



三、解答题: 17 如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的菱形,

?ABC ?

?
3

O

, OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点。
M A B C

(1)求三棱锥 B ? OCD 的体积; (2)求异面直线 AB 与 MD 所成角的余弦值;

D

2 18. 已知命题 p : ? x ? [2,3] ,使得不等式 x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 成立;

命题 q :方程 mx2 ? (m ? 5) y 2 ? 1 表示双曲线。 若 p 或 q 为真命题, p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围。

x2 y 2 19. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(b ? a ? 0) , O 为坐标原点,离心率 e ? 2 , a b 点 M 5 , 3 在双曲线上.

?

?

(1)求双曲线的方程;

(2)若直线 l 与双曲线交于 P, Q 两点,且 OP ? OQ ? 0 .问:

??? ???? ?

1 OP
2

?

1 OQ
2

是否为定值?若是请求出该定值,若不是请说明理由。

20. 已知抛物线 C : y 2 ? 4 x 的准线与 x 轴交于 M 点,过 M 点斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 交于 A 、 B 两点( A 在 M 、 B 之间). (1) F 为抛物线 C 的焦点,若 | AM |? (2)若 MB ? 4MA ,求 ?FMB 的面积

????

????

5 | AF | ,求 k 的值; 4

。。。。。。。。。. 。。。。。。。。。。。。线。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。密。。。。。。。。。。。。。。。封。。。。。。。。。。。。

y2 =1(a >b>0) 经过点 b2 3 1 P(1, ), 离心率 e = ,直线 l 的方程为 x =4 . 2 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ), 设直线 AB 与直线 l 相交于点 M ,记 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 ,k2 ,k3 . 则存在常数 ? ,使得 k1 +k2 =?k3. 求 ? 的值
21. 如图,椭圆 C: 2 +

x2 a

参考答案: CBCBDDBADC 充分非必要 80 ? 12 ? 6 2

x2 y2 ? ?1 4 5
2

3 2 (2) 6 4 18 p 真: m ? 4 , q 真: 0 ? m ? 5 ,结论: 4 ? m ? 5 或 m ? 0
17(1)

e 19. .解: (1)∵ ? 2 ,∴ ? 2a, b ? c ? a ? 3a , c
2 2 2 2

x2 y 2 双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ,即 3x 2 ? y 2 ? 3a 2 a 3a
∵ M 点

?

5 , 3 在双曲线上
2 2

?

15 ∴ ? 3 ? 3a ? a ? 4
∴ 所求双曲线的方程为 3x ? y ? 12
2 2

(2)设直线 OP 方程为 y ? kx ? k ? 0? ,联立 3x ? y ? 12
2 2

48 12 ? 2 ? x ? 12 ? 4k 2 ? 3 ? k 2 12(k 2 ? 1) ? ? | OP |2 ? x 2 ? y 2 ? 得? 2 3? k2 ? y 2 ? 12k ? 3? k2 ?

则 OQ 方程为 y ? ?

1 x ,有 | OQ |2 ? k

12(1 ?

1 ) 2 k 2 ? 12(k ? 1) 1 3k 2 ? 1 3? 2 k

20.(1)(1)法一:由已知 M (?1,0) 设 A( x1 , y1 ) ,则 | AM |? 1 ? k 2 | x1 ? 1 | ,

| AF |? ( x1 ? 1) 2 ? y1 ? ( x1 ? 1) 2 ? 4 x1 ?| x1 ? 1 | ,
2

由 4 | AM |? 5 | AF | 得, 4 1 ? k 2 ? 5 , 解得 k ? ?

法二:记 A 点到准线距离为 d ,直线 l 的倾斜角为 ? , 由抛物线的定义知 | AM |? ∴ cos? ? ?

3 4

5 d, 4

d 4 ?? , | AM | 5

3 4 2 ? y ? 4x (2)方法一: ? ? k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 k(x ? y ? ???? ? 1) ???? 又 MB ? 4MA ? x2 ? 1 ? 4( x1 ? 1) 4 求根公式代入可解出 k ? ? 5 2 ? y ? 4x 4 方法二: ? ? y2 ? y ? 4 ? 0 k ? y ? k ( x ? 1)
∴ k ? tan ? ? ?
2 2 ???? ???? 1 y1 ? y 2 ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2 y1 y 2 MB ? 4MA ? y 2 ? 4 y1 ? 4 ? ? ? 4 y1 y 2 y1 y 2 16 ?8 17 k 2 4 ? ? ?k ?? 4 4 5 1 ? S ?FMB ? ? 2 ? 4 ? 4 2 2 2 x y ? ?1 21.(1) 4 3 k ? k2 (2)F (1,0) , ? ? 1 k3 3 3 y1 ? y2 ? 2? 2 ,而 y ? k ( x ? 1) ? x ? 1 ? y1 , k1 ? k 2 ? 1 1 1 k x1 ? 1 x2 ? 1

y2 k 3k 1 1 k1 ? k 2 ? 2k ? ( ? ) 2 y1 y 2
同理 x 2 ? 1 ?

? y ? k ( x ? 1) 6 ? 3 ? ? ? 2 ? 1? y 2 ? y ? 9 ? 0 ? 2 2 k ? ?3x ? 4 y ? 12 ? 0 ? k
3k 1 1 3k 2 ( ? ) ? 2k ? ? ? 2k ? 1 2 y1 y 2 2 3k 3 3k ? 2 ?k?1 而 M( 4,3k ) ? k 3 ? 4 ?1 2 k ? k2 故? ? 1 =2 k3
所以 k1 ? k 2 ? 2k ?


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