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2014理科数学高考解答题基本题型---数列(广东)

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理科数学高考解答题基本题型---数列
一、考试大纲 (1)数列的概念和简单表示法 ① 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式) ② 了解数列是自变量为正整数的一类函数。 (2)等差数列、等比数列 ① 理解等差数列、等比数列的概念 ② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式 ③ 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识

解决相应的问 题 ④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系 二、考情分析 数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,因此在高考中占有重要地位。高 考对数列的考察比较全面,一方面考查等差、等比数列的基础知识和基本技能,另一方面常 和函数、导数、方程、不等式等内容交汇在一起,综合性强。 1、 分组转化求和法 考向:把数列求和转化为几组分别求和,分段后求和,分类后求和等. 2、 裂项相消求和法 考向:通过对数列的通项公式的分解(裂项) ,使之产生相互抵消的项,达到数列求和 的目的. 3、 错位相减求和法 考向:在等差数列、等比数列的混合问题中,出现一个等差数列与一个等比数列对应项 相乘后的新数列,这个数列的求和使用乘等比数列的公比后,错位相减的方法. 4、 数列的简单应用 考向:数列在解决实际问题中的应用. 5、数列证明问题中的运算 考向:①在数学证明中,证明过程往往是以计算为主的,即通过计算的结果达到证明的 目的, 这说明运算求解能力在数学证明中具有重要地位. 典型的是函数导数试题中不等式的 证明、数列问题中不等式的证明. ②数列中的证明问题有等式的证明、不等式的证明、数列性质的证明等,在数列的证明 问题中计算是完成证明的关键,运算求解能力是数列证明的核心. 6、递推关系 考向:多种递推关系,大家要熟悉。 三、高考原题 1.(2011 广东理数 20)设 b ? 0 ,数列 {a n } 满足 a1 ? b , an ?

nban ?1 (n ? 2) . an ?1 ? 2n ? 2

(1)求数列 {a n } 的通项公式;

(2)证明:对于一切正整数 n , an ?

b n ?1 ?1 . 2n ?1

解:方法 1:∵ an ?

nban ?1 (n ? 2) ,∴ an an?1 ? 2(n ? 1)an ? nban ?1 , an ?1 ? 2n ? 2



n 2 (n ? 1) 1 ? ? , an b an ?1 b
∴当 n ? 2 时, ?

当 b ? 2 时, ∴

n n ?1 1 ? ? , an an ?1 2

1 1 1 ?n? ? 是以 ? ? 为首项,公差为 1 的等差数列, a1 b 2 ? an ?



n 1 1 ? ? (n ? 1) ?1 ? n ? , ∴ an ? 2n . an 2 2 2n ? 1

∵ a1 ? 2 也符合, ∴ an ? 当 b ? 2 时, 令 ∴

2n , n? N . 2n ? 1

n 2 n ?1 n 2 (n ? 1) 2 ?t ? ( ? t) , ∴ ? ? ? t ( ? 1) ,∴ t ? 1 , an b an ?1 an b an ?1 b 2?b

n 1 2 n ?1 1 ? ? ( ? ) ∴ an 2 ? b b an ?1 2 ? b

n 1 ? ) an 2 ? b 2 ? , ∴ n ?1 1 b ? an ?1 2 ? b (

∴当 n ? 2 时, ?

1 1 1 1 2 ?n 1 ? ? ? ? ? 为首项,公比为 ? 是以 ? a1 2 ? b b 2 ? b b(2 ? b) ? an 2 ? b ?
n n 1 2 2 1 2 ? ? ( ) n ?1 ? ( ) n , ∴ an ? n(2 ? b)b . an 2 ? b b ( 2 ? b ) b ( 2 ? b) b 2n ? b n

2 的等比数列, b



∵ a1 ? b 也符合, ∴ an ?

n(2 ? b)b n , n? N . 2n ? b n
当 b ? 1时, an ?

综上:当 b ? 2 时, an ? 1 , n ? N . 方法 2: (ⅰ)当 b ? 2 时, ?bn ? 是以 即 bn ?

n(1 ? b)b n , n? N . 1 ? bn

1 1 为首项, 为公差的等差数列, 2 2

1 1 1 ? (n ? 1) ? ? n ,∴ an ? 2 2 2 2
2b 2 2b 2 (b ? 2) 3b3 3b3 (b ? 2) ? 2 a ? ? , , 2 b?2 b ? 22 b 2 ? 2b ? 4 b 3 ? 23

(ⅱ) 当 b ? 2 时,a1 ? b ,a2 ? 猜想 an ?

nb n (b ? 2) ,下面用数学归纳法证明: b n ? 2n kb k (b ? 2) ,则 b k ? 2k

①当 n ? 1时,猜想显然成立; ②假设当 n ? k 时, ak ?

ak ?1 ?

(k ? 1)b ? ak (k ? 1)b ? kb k (b ? 2) (k ? 1)b k ?1 (b ? 2) ? k ? , ak ? 2(n ? 1) kb (b ? 2) ? 2k ? (b k ? 2k ) b k ?1 ? 2k ?1

所以当 n ? k ? 1时,猜想成立, 由①②知, ?n ? N * , an ?

nb n (b ? 2) . b n ? 2n

( 2 ) 证 明 : 当 b ? 2 时 , an ?

2n 2n ? 1 ? 1 1 1 ? ? 1? ? 1? ?2 , 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 ?1
b n ?1 ?1 . 2n ?1

b n ?1 2n ?1 ? 1 ? ?1 ? 2 . 2n ?1 2n ?1
当 b ? 2 时, ∴ an ?

∴对于一切正整数 n , an ?

n(2 ? b)b n , 2n ? b n

∴要证 an ?

b n ?1 ?1 . 2n ?1

n(2 ? b)b n b n ?1 即证 ? n ?1 ? 1 . 2 2n ? b n
即证

n b 1 ? n ?1 ? n n 即证 2 ? b 2 b . 2?b
n

2

n ?1

?2

n?2

?b ? 2

n ?3

n b 1 ? n?1 ? n . 2 n?2 n ?1 ?b ? ??? ? 2 ?b ? b 2 b

b 1 ? n )( 2n?1 ? 2n?2 ? b ? 2n?3 ? b 2 ? ? ? ? ? 2 ? b n?2 ? b n?1 ) ? n . n ?1 2 b b 1 n ?1 n?2 n ?3 2 n?2 n ?1 设 S ? ( n ?1 ? n )( 2 ? 2 ? b ? 2 ? b ? ? ? ? ? 2 ? b ? b ) , 2 b
即证 ( ∴S ? (

b b 2 b3 bn 2 n ?1 2 n ?2 2n ?3 1 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? ( n ? n ?1 ? n ?2 ? ? ? ? ? ) 2 2 2 2 2 b b b b b 1 b2 2 b3 22 2 n ?1 b n ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? ) 22 b 23 b 2 24 b3 b n 2 n ?1

?(

∴根据均值不等式得:

S?2

b 1 b2 2 b3 22 2 n ?1 b n ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 ? 22 b 23 b 2 24 b3 b n 2 n ?1

? 1?1?1? ? ? ? ?1 ? n .
∴当 b ? 2 时,对于一切正整数 n , an ?

b n ?1 ?1 . 2n ?1

综上:对于一切正整数 n , an ?

b n ?1 ?1 . 2n ?1
n ?1

2.(2012 广东理数 19)设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 2Sn ? an ?1 ? 2

? 1 , n ? N* ,

且 a1 , a2 ? 5 , a3 成等差数列.(1)求 a1 的值; (2)求数列 ? an ? 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2
2

解: (1)当 n ? 1 时, 2S1 ? 2a1 ? a2 ? 2 ? 1 ,得 a2 ? 2a1 ? 3 当 n ? 2 时, 2S2 ? 2(a1 ? a2 ) ? a3 ? 2 ? 1 ,得 a3 ? 6a1 ? 13
3

因为 a1 , a2 ? 5 , a3 成等差数列 所以 2( a2 ? 5) ? a1 ? a3 ,即 2(2a1 ? 3 ? 5) ? a1 ? 6a1 ? 13 ,解得 a1 ? 1 (2) 2Sn ? an ?1 ? 2
n ?1

? 1 ……①
n

当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? an ? 2 ? 1 ……② ① ? ②得 2an ? an ?1 ? an ? 2 整理得 an ?1 ? 3an ? 2 则 an ?1 ? 2 即
n ?1

n

n

? 3(an ? 2n )

an ?1 ? 2 n ?1 ? 3 (n ? 2) an ? 2 n a2 ? 2 2 ?3 a1 ? 21

由(1)得 a2 ? 5 ,所以当 n ? 1 时,
n

所以 {an ? 2 } 是以 3 为首项, 3 为公比的等比数列 所以 an ? 2 ? 3 ? 3
n n n n ?1

* 所以 an ? 3 ? 2 , n ? N

(3) 证明: 当 n ? 1 时, 所以

1 3 1 1 1 1 ? 1 ? 当 n ? 2 时, ? n ?1 n ? n 3n ? 2n?1 所以 ? n n a1 2 an 3 ? 2 2 ?2 2

1 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 2 ? ?? ? ? 1? 2 ? 3 ?? ? n ? 1? 4 ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? ? n ? . 1 a1 a2 an 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2
所以对一切正整数 n ,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

3.(2013 广东理数 19)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .已知

a1 ? 1 ,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

(Ⅰ) 求 a2 的值;(Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有 解:(Ⅰ) 依题意, 2S1 ? a2 ?

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

1 2 ? 1 ? ,又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 ; 3 3 1 2 (Ⅱ) 当 n ? 2 时, 2Sn ? nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n , 3 3 1 2 3 2 2Sn?1 ? ? n ? 1? an ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? 3 3 1 2 两式相减得 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? ? 3n 2 ? 3n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? 3 3 a a a a 整理得 ? n ? 1? an ? nan ?1 ? n ? n ? 1? ,即 n ?1 ? n ? 1 ,又 2 ? 1 ? 1 n ?1 n 2 1 a ?a ? 故数列 ? n ? 是首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列, 1 ?n? an ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n ,所以 an ? n2 . n 1 7 1 1 1 5 7 (Ⅲ) 当 n ? 1 时, ? 1 ? ;当 n ? 2 时, ? ? 1? ? ? ; a1 4 a1 a2 4 4 4
当 n ? 3 时,

所以

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? ,此时 an n ? n ? 1? n n ? 1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 ?1 1? ?1 1? 1? ? 1 ? ?? ? ? 1? ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a1 a2 an 4 3 4 n 4 ? 2 3? ?3 4? ? n ?1 n ?
1 1 1 7 1 7 ? ? ? ? ? 4 2 n 4 n 4 1 1 1 7 综上,对一切正整数 n ,有 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4 ? 1?
四、拓展训练 1、在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),且 a1a3=4,a3+1 是 a2 和 a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=an+1+log2an(n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
2 ? ? ?a1a3=4, ?a2=4, ? ? 解: (1) 由 an>0 可知公比 q>0, 则可得 ? ? ?2(a3+1)=a2+a4 ? ? ?2(a3+1)=a2+a4

? ? ? ?a2=2, ?a2=2, ?a1=1, - ? ? ? ? ? 故 an=2n 1. 2 ?2(a2q+1)=a2+a2q ? ?q=2, ? ?q=2 ?

(2)∵bn=an+1+log2an=2n+(n-1) ,∴Sn=(21+22+23+?+2n)+[0+1+2+? 2(1-2n) n(n-1) n+1 n(n-1) +(n-1) ]= + =2 + -2. 2 2 1-2 x 2、 已知函数 f(x)= ,数列{an}满足 a1=1,an+1=f(an)(n∈N*). x+3 (1)求数列{an}的通项公式 an; 3n 1 (2)若数列{bn}满足 bn= anan+1,Sn=b1+b2+?+bn,求证:Sn< . 2 2 an 1 3 解: (1)由已知 an+1= ,取倒数得 = +1, an+3 an+1 an 变形为 1 1 1 ? 1 1? 1 1 3 + =3 + ,所以数列?a +2?是首项为 + = ,公比为 3 的等比数列, 2 a 2 a 2 2 ? n ? an+1 n 1 1

1 1 3 3n 2 - 所以 + = ×3n 1= , 所以 an= n . an 2 2 2 3 -1 2×3n 1 1 (2)证明:由(1)知 bn= = - + , + (3n-1)(3n 1-1) 3n-1 3n 1-1 所以 Sn = b1 + b2 +?+ bn = 1 1 < . 3 -1 2
n+1

1 1 1 1 1 1 1 - + - +?+ n - + = - 31-1 32-1 32-1 33-1 3 -1 3n 1-1 2

3、已知数列{an}满足 a1=1,且 an=2an-1+2n(n≥2 且 n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; Sn (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 Sn,并证明: n>2n-3. 2 解: (1)∵an=2an-1+2n(n≥2 且 n∈N*) , an an-1 ∴ n= n-1+1, 2 2 an an-1 an 1 an 即 n- n-1=1(n≥2,且 n∈N*) ,∴数列 n是等差数列,公差 d=1,首项为 ,于是 n 2 2 2 2 2 1 1 1 = +(n-1)· 1=n- ,∴an=n- ·2n. 2 2 2 1 3 1 (2)由(1)得 Sn= ·21+ ·22+?+n- ·2n,① 2 2 2 1 3 5 1 + 2Sn= ·22+ ·23+ ·24+?+n- ·2n 1,② 2 2 2 2 1 + ①-②得-Sn=1+22+23+?+2n-n- ·2n 1 2 1 + =2+22+23+?+2n-n- ·2n 1-1 2 = 2(1-2n) 1 + -n- ·2n 1-1 2 1-2

=(3-2n)· 2n-3. ∴Sn=(2n-3)· 2n+3.

Sn ∵Sn=(2n-3)· 2n+3>(2n-3)· 2n,∴ n>2n-3. 2 4、 某校高一学生 1000 人,每周一次同时在两个可容纳 600 人的会议室开设“音乐欣 赏”与“美术鉴赏”的本校课程. 要求每个学生都参加, 且第一次听“音乐欣赏”课的人数 为 m(400<m<600, 其余的人听“美术鉴赏”课; 从第二次起, 学生可从两个课中自由选择. 据 往届经验,凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生,下一次会有 20%改选“美术鉴赏”,而 选“美术鉴赏”的学生,下次会有 30%改选“音乐欣赏”,用 an,bn 分别表示在第 n 次选 “音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数. (1)若 m=500,分别求出第二次、第三次选“音乐欣赏”课的人数 a2,a3; (2)①证明数列{an-600}是等比数列,并用 n 表示 an; ②若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过 5 800,求 m 的取值范围. 解: (1)由已知 an+bn=1000,又 a1=500,所以 b1=500. a2=0.8a1+0.3b1=550,b2=450. a3=0.8a2+0.3b2=575. (2)①由题意得 an+1=0.8an+0.3bn,又 an+bn=1 000, 所以 an+1=0.8an+0.3(1000-an)=0.5an+300. an+1-600=0.5an-300=0.5(an-600). 由于 a1=m∈(400,600) ,所以 a1-600≠0. 1 1 所以数列{an-600}是首项为 m-600, 公比为 的等比数列.所以 an-600= (m-600) × 2 2 1- n-1 ,即 an=600+(m-600)× n 1. 2 ②前十次听“音乐欣赏”课的学生总人次即为数列{an}的前 10 项和 S10. 1 1- 10 2 1023 S10=600× 10+(m-600)× =6000+(m-600)× . 1 512 1- 2 1023 1023 由已知 S10≤5800,即 6000+(m-600)× ≤5800,即 200≤(600-m)× ,即 512 512 200×512 200×512 600-m≥ ,即 m≤600- ≈499.9,故 m≤499. 1023 1023 所以 m 的取值范围是(400,499]且 m∈N*. 2 2 5、 (2013· 江西卷) 正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; n+1 5 (2)令 bn= 数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 证明: 对于任意的 n∈N*, 都有 Tn< . 2 2, 64 (n+2) an
2 2 解:(1)由 S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0,得 2 [Sn-(n +n)](Sn+1)=0. 由于{an}是正项数列,所以 Sn>0,Sn=n2+n. 于是 a1=S1=2,n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n. 综上,数列{an}的通项为 an=2n. n+ 1 (2)证明:由于 an=2n,bn= , (n+2)2a2 n 1 n+1 1 1 ? 则 bn= 2 = ? 2- 2 . 4n (n+2)2 16?n (n+2) ? 1 1 1 1 1 1 1 Tn= ?1-32+22-42+32-52+?+(n-1)2- 16? 1 1 1 1 1 1 1 1? 5 ? 1 + 2- 1+ ? (n+1)2 n (n+2)2?=161+22-(n+1)2-(n+2)2<16? 22?=64.


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