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2015全国卷1文科数学试题(附答案)


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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 6 页。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡 上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答. 若在试题卷上作答,答案无效。 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 A={x|x=3n+2,n ? N},B={6,8,12,14},则集合 A ? B 中元素的个 数为 (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 (2)已知点 A(0,1) ,B(3,2) ,向量 AC =(-4,-3) ,则向量 BC = (A ) (-7,-4) (B) (7,4) (C) (-1,4) (D) (1,4) (3)已知复数 z 满足(z-1)i=i+1,则 z= (A)-2-I (B)-2+I (C)2-I (D)2+i (4)如果 3 个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组 勾股数,从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则 3 个数构成一组勾股 数的概率为 10 1 1 1 (A ) (B) (C) (D) 3 5 10 20 1 (5) 已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C: y?=8x 2 的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个焦点,则|AB|= (A)3 (B)6 (C)9 (D)12 (6) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今 有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙 角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一), 米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有

A.14 斛 (7)已知

B.22 斛

C.36 斛

D.66 斛 则 =4 , =

是公差为 1 的等差数列,

(A) (8)函数 f(x)=

(B)

(C)10

(D)12

的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为

(A) (k

- ,k - , 2k

- ),k - ),k

(A) (2k

(A) (k - , k - ),k

(A) (2k - , 2k - ),k (9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=

(A)5

(B)6

(C)7

(D)8 ,且 f(a)=-3,则 f(6-a)=

(10)已知函数 (A)-

7 5 3 1 (B)(C)(D)4 4 4 4 (11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几 何体三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16+20π ,则 r=

(A)1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 (12)设函数 y=f(x)的图像关于直线 y=-x 对称,且 f(-2)+f(-4)=1, 则 a= (A)-1 (B)1 (C)2 (D)4

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 第Ⅱ卷
注意事项: 第Ⅱ卷共 3 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答, 答案无效。 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考 生都必须作答。第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13)在数列{an}中, a1=2,an+1=2an, Sn 为{an}的前 n 项和。若-Sn=126,则 n=. (14 )已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点( 1 , f(1) )处的切线过点( 2,7 ) ,则 a= .

(15)x,y 满足约束条件 (16) 已知 F 是双曲线 C: x2-

,则 z=3x+y 的最大值为.
y2 =1 的右焦点, P 是 C 的左支上一点, A (0,6 6 ) . 8

当△APF 周长最小是,该三角形的面积为 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B=2sinAsinC (Ⅰ)若 a=b,求 cosB; (Ⅱ)设 B=90°,且 a= 2 ,求△ABC 的面积

(18) (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 的交点,BE⊥平面 ABCD. (Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 BED; (Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥—ACD 的体积为
6 ,求该三棱锥的侧 3

面积 (19) (本小题满分 12 分) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位: 千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的

年宣传费 和年销售量 (i=1,2, · · · ,8)数据作了初步处理,得到下面的散点 图及一些统计量的值。

x

y

w

?
i ?1

8

(x1- x )2

?
i ?1

8

(w1- w )2

(y- y ) ? ? (x - x )
1
i ?1 i ?1

8

8

(w1- w )

(y- y ) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8

表中 w1 = x 1,

, w =

1 8

?w1
i ?1

8

(1) 根据散点图判断, y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的 回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结果 回答下列问题: (i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)??.. (un 的斜率和截距的最小二乘估计分别为: vn),其回归线 v= ? ? ? u

(20) (本小题满分 12 分) 已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (1) 求 K 的取值范围; (2) 若 OM · ON =12,其中 0 为坐标原点,求︱MN︱.

(21).(本小题满分 12 分) 设函数 x 。 (Ⅰ)讨论 f ( x) 的导函数 f '( x) 零点的个数;
2 。 a 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则安所做的第一题 计分。作答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙ O 的直径,AC 是⊙ O 的切线,BC 交⊙ O 于点 E。 (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙ O 的切线;

(Ⅱ)证明:当 a ? 0 时, f ( x) ? 2a ? a ln

(Ⅱ)若 CA= 3 CE,求∠ACB 的大小。

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 :x= ?2 ,圆 C2 : ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,以坐标原 点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求 C1

,C2 的极坐标方程。

(2)若直线 C3 的极坐标为 ? =

? (ρ ? R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面积 4

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,则 a>0. (1) 当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2) 若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.


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