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数学常用结论


高考数学常用结论集锦(2007.4)
1.德摩根公式 CU ( A 2A 3. 若A={ a1 , a2 , a3 2)个 4. 二 次 函 数 的 解 析 式 的 三 种 形 式 ① 一 般 式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; ② 顶 点 式

B) ? CU A CU B; CU ( A B) ? CU A CU B

. an },则A的子集有 2n 个,真子集有( 2n -1)个,非空真子集有( 2n -

B ? A ? A B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A CU B ? ? ? CU A B ? R

f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ;③零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) .
三次函数的解析式的三种形式①一般式 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ②零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 )(a ? 0) 5.设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?
则 f ( x) 为减函数.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在? a, b ? 上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在? a, b ? 上是减函数. x1 ? x2

设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 , 6.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性: ①函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? f (2a ? x) ? f ( x)

a?b 对称 ? f (a ? x) ? f (b ? x) ? f (a ? b ? x) ? f ( x) . 2 ③函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, 0) 对称 ? f ( x) ? ? f (2a ? x)
②函数 y ? f ( x) 的图象关于直 x ? 函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, b) 对称 ? f ( x) ? 2b ? f (2a ? x) 7.两个函数图象的对称性: ①函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. ②函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称. 2m

特殊地: y ? f ( x ? a) 与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ③函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称的解析式为 y ? f (2a ? x) ④函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, 0) 对称的解析式为 y ? ? f (2a ? x) ⑤函数 y ? f ( x) 和 y ? f 8.分数指数幂 a
m n

?1

( x) 的图象关于直线 y=x 对称.

? n a m ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).
?

a

?

m n

?

1
m n

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).

a 9. loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
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loga M ? loga N ? loga MN (a ? 0.a ? 1, M ? 0, N ? 0)
M (a ? 0.a ? 1, M ? 0, N ? 0) N n log m N n 10.对数的换底公式 log a N ? .推论 log a m b ? log a b . m log m a log a M ? log a N ? log a
对数恒等式 a 11. an ? ?
log a N

? N ( a ? 0, a ? 1 )

12.等差数列 ?an ? 的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ; 13.等差数列 ?an ? 的变通项公式 an ? am ? (n ? m)d 对于等差数列 ?an ? ,若 n ? m ? p ? q ,(m,n,p,q 为正整数)则 an ? am ? a p ? aq 。 14.若数列 ?an ? 是等差数列,S n 是其前 n 项的和,k ? N , 那么 S k ,S 2 k ? S k ,S 3k ? S 2 k
*

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? s ? s , n ? 2 ? n n?1

? an ).

成等差数列。如下图所示:
S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2 2 15.数列 ?an ? 是等差数列 ? an ? kn ? b ,数列 ?an ? 是等差数列 ? S n = An ? Bn
其前 n 项和公式 sn ? 则有如下性质: 1 前 n 项的和 S n ? S 奇 ? S 偶 ○ 2 当 n 为偶数时, S 偶 ? S奇 ? d ,其中 d 为公差; ○ 2 3 当 ○ n 为 奇 数 时 , 则 S 奇 ? S偶 ? a中 , S奇 ?
n

16.设数列 ?an ? 是等差数列, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是前 n 项的和,

S奇 n ? 1 n ?1 n ?1 ? , a中 , S偶 ? a中 , S偶 n ? 1 2 2

17 .若等差数列 ?an ? 的前 2n ? 1 项的和为 S 2 n?1 ,等差数列 ?bn ? 的前 2n ? 1 项的和为
' S2 n ?1 ,

S ? S偶 Sn ? 奇 ? n (其中 a中 是等差数列的中间一项) 。 S奇 ? S偶 S奇 ? S偶



a n S 2 n ?1 ? ' 。 bn S 2 n ?1
n ?1

18.等比数列 ?an ? 的通项公式 an ? a1q

?

等比数列 ?an ? 的变通项公式 an ? am q n?m

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

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? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? 其前 n 项的和公式 sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ? ? na , q ? 1 ?na1 , q ? 1 ? 1

19. 对于等比数列 ?an ? ,若 n ? m ? u ? v (n,m,u,v 为正整数),则 an ? am ? au ? av
a1?an ????? ?????? a , a , a , ? , a n?2 , a n?1 , a n 2 ?3 ? ?? 。如图所示: 1 ? ? ? ?? ?? ? a2 ?an ?1
*

也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2

20. 数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N ,那么 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 成 等比数列。如下图所示:
S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k
2

S 3k ? S 2 k

21. 同角三角函数的基本关系式 sin ? ? cos ? ? 1 ,
2

tan ? =

sin ? , cos ?

tan ? ? cot? ? 1

. 1 ? tan ? ?
2

1 cos 2 ?

22. 正弦、余弦的诱导公式
n ? 2 ( ? 1) sin ? , n为偶数 n? ? sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s ? , n为奇数 ? n ? n? ?(?1) 2 co s ? , n为偶数 co s( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 sin ? , n为奇数 ?

cos(? ? ) ? ? cos ? ,sin(? ? ) ? sin ? 即:奇变偶不变,符号看象限,如 2 2 sin(? ? ? ) ? sin ? , cos(? ? ? ) ? ? cos ?
23. 和角与差角公式

?

?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 tan ? tan ?

sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式); cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .
a sin ? ? b cos ? =

a 2 ? b2 sin(? ? ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 (a, b) 的 象 限 决
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b ). a 24. 二倍角公式 sin 2? ? sin ? cos ? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? .(升幂公式) 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? cos 2 ? ? ,sin 2 ? ? (降幂公式) 2 2 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ? cos 2 ? ? 25.万能公式: sin 2? ? , 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? ? sin ? 1 ? cos ? ? 26.半角公式: tan ? 2 1 ? cos ? sin ?
定, tan ? ? 27. 三函数的周期公式 函数 y ? A sin(? x ? ? ) , x∈R 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , x∈R(A,ω , ? 为常数, 且 A≠0, ω >0)的周期 T ?

2?

?

;若ω 未说明大于 0,则 T ?

2? |? |

? x ? ? ), x ? k? ? 函数 y ? tan(
T?

?
2

, k ? Z (A, ω , ? 为常数,且 A ≠ 0 , ω > 0) 的周期

? . ?
? ?

28. y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?

k ? Z 单调递减区间为

? ? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? k ? Z ,对称轴为 x ? k? ? (k ? Z ) ,对称中心为 ? k? ,0? (k ? Z ) ? 2 2 2? ? 29. y ? cos x 的 单 调 递 增 区 间 为 ?2k? ? ? ,2k? ? k ? Z 单 调 递 减 区 间 为

?2k? ,2k? ? ? ? k ? Z ,
? , 0 ? (k ? Z ) 2 ? k ? ?? ? 30. y ? tan x 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? k ? Z ,对称中心为 ( ? , 0)( k ? Z ) 2 2 2? ? a b c ? ? ? 2R 31. 正弦定理 sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 A ? a2 ? 2ca cos B ; 32. 余 弦 定 理 a ? b ? 2c ? c bo ; cs b ? c c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C . 1 1 1 33.面积定理(1) S ? aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2
对称轴为 x ? k? (k ? Z ) ,对称中心为 ? k? ?
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? ?

?

(2) S ? (3) S ?OAB

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 1 1 ? (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB ) 2 = OA OB tan ? ( ? 为 OA, OB 的夹角) 2 2 C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

34.三角形内角和定理 在△ABC 中,有

A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) ?
35.平面两点间的距离公式

d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
36.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a∥b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

? 是实数, 37.线段的定比分公式 设 P 1 2 的分点, 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , P( x, y) 是线段 PP
且 PP 1 ? ? PP 2 ,则

x ? ? x2 ? x? 1 ? 1 OP ? ? OP2 ? 1? ? t? ). ? OP ? 1 ? OP ? tOP ? 1 ? (1 ? t )OP 2( 1? ? 1? ? ? y ? y1 ? ? y2 ? 1? ? ?
38.若 OA ? xOB ? yOB 则 A,B,C 共线的充要条件是 x+y=1 39. 三 角 形 的 重 心 坐 标公 式 △ ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 ) 、

C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐标是 G (

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3

' ' ? ? ?x ? x ? h ?x ? x ? h ?? 40.点的平移公式 ? ' ? OP' ? OP ? PP' (图形 F 上的任意一点 ' ?y ? y ? k ? ? ?y ? y ? k

P(x,y)在平移后图形 F 上的对应点为 P ( x , y ) ,且 PP 的坐标为 ( h, k ) ). 41.常用不等式: (1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

'

'

'

'

'

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 3 3 3 (3) a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).
(2) a, b ? R ?
?

(4) a ? b ? a ? b ? a ? b 注意等号成立的条件 (5)

1 1 1 ? a b

? ab ?

a?b a 2 ? b2 ? (a ? 0, b ? 0) 2 2

42.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有
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(1)如果积 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ;

1 2 s . 4 2 2 43. 一 元 二 次 不 等 式 a x , ? bx ? c ? 0( 或 ?0 )(a ? 0 ,? ?b ?4 ac ?0 ) 如果 a 与
(2)如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时积 xy 有最大值

ax 2 ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 异号,则其解集在两根
之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.

x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
44.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .
45.无理不等式(1)

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

(2)

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?

(3)

46.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,

a

f ( x)

?a

g ( x)

? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ; log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?
? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ; log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

(2)当 0 ? a ? 1 时,

a

f ( x)

?a

g ( x)

47.斜率公式 k ?

y2 ? y1 x2 ? x1

(P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) )

直线的方向向量 v=(a,b),则直线的斜率为 k = 48.直线方程的五种形式:

b ( a ? 0) a

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(1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y (4)截距式 ? ? 1(a, b分别为x轴y轴上的截距,且a ? 0,b ? 0) a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 49.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ;② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , ① l1 l2 ? A ;② l1 ? l2 ? A ; 1B2 ? A 2B 1 ? 0且AC 1 2 ?A 2C1 ? 0 1 A2 ? B 1B2 ? 0 50.夹角公式 tan ? ?|

k2 ? k1 | 1 ? k2 k1

.( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1)

A1B2 ? A2 B1 ( l1 : A ). 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 A1 A2 ? B1B2 ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 . 2 k ? k1 直线 l1 到 l2 的角是 tan ? ? 2 ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 1 ? k2 k1 tan ? ?
51.点到直线的距离 d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

52.两条平行线的间距离

d?

| C2 ? C1 | A2 ? B 2

(直线 l 1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l2 Ax ? By ? C2 ? 0, C1 ? C2 ) ).

53. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2 2 2 (2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

(3)圆的参数方程 ?

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ?
圆的直径的端点是 (x ? x y ) ( y? 2y )? (0 1 ) ( x? x 2 )? ( y? 1

(4)圆的直径式方程

A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
54.圆中有关重要结论: (1)若 P( x0 , y0 )是圆 x ? y ? r 上的点,则过点 P( x0 , y0 )的切线方程为 xx0 ? yy0 ? r
2 2 2 2 2 2

2

(2) 若 P( x0 , y0 ) 是圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 上的点 , 则过点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为
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( x0 ? a)( x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2
(3) 若 P( x0 , y0 )是圆 x2 ? y 2 ? r 2 外一点,由 P( x0 , y0 )向圆引两条切线, 切点分别为 A,B 则直线 AB 的方程为 xx0 ? yy0 ? r 2 (4) 若 P( x0 , y0 )是圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 外一点, 由 P( x0 , y0 )向圆引两条切线, 切 点分别为 A,B 则直线 AB 的方程为 ( x0 ? a)( x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2 55.椭圆

? x ? a cos? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y ? b sin ?

x2 y 2 a2 a2 ? ? 1( a ? b ? 0) PF ? e ( x ? ) PF ? e ( ? x) . 焦半径公式 , 1 2 a 2 b2 c c x2 y 2 a2 x2 y 2 56. 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的准线方程为 x ? ? , 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b c b a 2 a 的准线方程为 y ? ? c 2 2 x y 2b 2 57.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为 a b a 2 2 x y 58.P 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点,F 1 ,F 2 是它的两个焦点,∠F 1 P F 2 =θ a b ? 2 则△P F 1 F 2 的面积= b tan 2 2 2 x y a2 59.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的准线方程为 x ? ? a b c 2 2 2 x y a 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的准线方程为 y ? ? b a c 2 2 b x y 60. 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程为 y ? ? x a a b 2 2 a x y 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的的渐近线方程为 y ? ? x b b a 2 2 x y 61.P 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点,F 1 ,F 2 是它的两个焦点,∠F 1 P F 2 =θ a b ? 2 则△P F 1 F 2 的面积= b cot 2
56.椭圆

y 2 62. 抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( ? , y? ) 或 P(2 pt ,2 pt)或 P ( x , y ) ,其中 2p
2

2

y2 ? 2 px .
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63. P( x0 , y0 )是抛物线 y 2 ? 2 px 上的一点,F 是它的焦点,则|PF|= x0 + 64. 抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点弦长 l ?

p 2

2p ,其中 ? 是焦点弦与 x 轴的夹角 sin 2 ?

65.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或

AB ?| x1 ? x2 | 1 ? k 2 ?
2

a

?y ? kx ? b 1 ? k 2 (弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由方程 ? ?F( x, y) ? 0 ?y ? kx ? b 消去 x 得到 ay2 ? by? c ? 0 , F ( x , y ) ? 0 ?

消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , k 为直线的斜率). 若(弦端 点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 由方程 ?

? ? 0 , k 为直线的斜率).则 AB ?| y1 ? y2 | 1 ?

1 ? k2 a

1?

1 k2

66.圆锥曲线 F ( x, y) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 . 67.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b. 68.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足 OP ? xOA ? yOB ? zOC , 则四点 P、A、B、C 是共面 ? x ? y ? z ? 1 . 69. 空间两个向量的夹角公式 cos 〈a, b〉 = b= (b1 , b2 , b3 ) ). 70.直线 AB 与平面所成角 ? ? arc sin

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

(a= (a1 , a2 , a3 ) ,

AB ? m ( m 为平面 ? 的法向量). | AB || m | m? n m? n 或 ? ? arc cos (m , n 为平面 ? , | m || n | | m || n |

71.二面角 ? ? l ? ? 的平面角 ? ? arc cos

? 的法向量).
72.设 AC 是α 内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 ? 1 ,AB 与 AC 所成的角为 ? 2 ,AO 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 . 73.若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 ? 1 , ? 2 ,与二面 角的棱所成的角是θ ,则有 sin2 ? sin2 ? ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? 2sin?1 sin?2 cos? ;

| ?1 ??2 |? ? ? 180 ? (?1 ??2 ) (当且仅当 ? ? 90 时等号成立).
74.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 .
75. 点 Q 到直线 l 距离 h ?

1 (| a || b |)2 ? (a ? b)2 ( 点 P 在直线 l 上,直线 l 的方向向量 |a|
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a= PA ,向量 b= PQ ). 76.异面直线间的距离 d ?

| CD ? n | ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C、D 分别是 |n|

l1 , l2 上任一点, d 为 l1 , l2 间的距离).
77.点 B 到平面 ? 的距离 d ? 线, A ? ? ).
2 78. l 2 ? l12 ? l2 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1

| AB ? n | ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜 |n|

(长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分别为 (立几中长方体对角线长的公式是其特例). ?1、? 2、?3 ) 79. 面积射影定理 S ?

S' cos?
'

(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的为 ? ). 80.球的半径是 R,则其体积是 V ? 81. V锥 ?

4 ? R 3 ,其表面积是 S ? 4? R2 . 3

1 Sh,V柱 ? Sh, 3

82.分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? 83.分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ?
m 84.排列数公式 An = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) =

? mn . ? mn .

n! * .( n , m ∈N ,且 m ? n ). (n ? m)! n m m m m?1 m m?1 An 85.排列恒等式 (1) An ; (2) An ? (3) An ? (n ? m ? 1) An ? nAn ?1 ; ?1 ; (4) n?m n n?1 n m m m?1 . nAn ? An ?1 ? A n ;(5) A n?1 ? A n ? mA n
86.组合数公式 C n =
m

Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! * = = ( n , m ∈N ,且 m ? n ). m 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)! Am

m m n?m m?1 m = Cn ;(2) C n + Cn = Cn Cn ?1 n ? m ? 1 m ?1 n m m m Cn ;(2) Cn ? Cn 88.组合恒等式(1) Cn ? ?1 ; m n?m n m ?1 m k k ?1 (3) Cn ? Cn ?1 ; (4) kCn ? nCn ?1 m

87.组合数的两个性质(1)

(5)

?C
r ?0

n

r n

= 2 ;(5) Cr ? Cr ?1 ? Cr ?2 ? ? ? Cn ? Cn?1 .
n

r

r

r

r

r ?1

89.排列数与组合数的关系是: An ? m ! ? Cn .
m m

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0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n 90.二项式定理 (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ; r n ?r r 二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? Cn 1, 2?,n) . a b (r ? 0,

91.等可能性事件的概率 P ( A) ?

m . n

92.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 93. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 94.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 95.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An).
k k n ?k 96.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 P . n (k ) ? Cn P (1 ? P)

97. 函 数 y ? f ( x) 在 点 x0 处 的 导 数 是 曲 线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率

f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) .
98.导数与函数的单调性的关系 ㈠ f ?( x) ? 0 与 f ( x) 为增函数的关系。

f ?( x) ? 0 能推出 f ( x) 为增函数,但反之不一定。如函数 f ( x) ? x 3 在 (??,??) 上单调
递增,但 f ?( x) ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 是 f ( x) 为增函数的充分不必要条件。 ㈡ f ?( x) ? 0 与 f ( x) 为增函数的关系。

f ( x) 为增函数,一定可以推出 f ?( x) ? 0 ,但反之不一定,因为 f ?( x) ? 0 ,即为 f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 。当函数在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常数,函数不
具有单调性。∴ f ?( x) ? 0 是 f ( x) 为增函数的必要不充分条件。 99.抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型:


f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 正比例函数 f ( x) ? kx(k ? 0) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x) ? a x f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; f (





x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x) ? loga x x2
? xn ) ,



100.n 个数据 x1 , x2 , x3

1 xn ,则它们的平均数为 x ? ( x1 ? x2 ? x3 ? n
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2 方差 s = [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ( x3 ? x) ?
2 2 2

1 n

? ( xn ? x) 2 ]

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