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2015届高考调研文科4-5

时间:2014-05-16


高考调研

新课标版 · 高三数学(文)

第 5 课时

三角函数的图像

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授人以渔

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2015?考纲下载

1.理解正弦函数,余弦函数、正切函数的图像. 2. 会 用 “五 点 法 ”画 正 弦 函 数 、 余 弦 函 数 和 函 数 +φ)的 简 图 , 理 解 A、ω、φ 的物理意义. y=An ( i s ωx

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请注意!

本课时是高考热点之一, 主 要 考 查 :

①作 函 数 图 像 , 包 括 用

五点法描图及图形变换作图;②由图像确定解析式;③考查三角 函数图像变换;④图像的轴对称、中心对称.题型多是容易题.

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1.三 角 函 数 图 像 1 ( ) y=n i s x,x∈2 0 π [ ,] 的 图 像 是 .

2 ( ) y=c o s x,x∈2 0 π [ ,]

的 图 像 是

.

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π π 3 ( ) y=a n t x,x∈(-2,2)的图像是

.

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2.y=An ( i s 1 ( ) 五 点 作 图 法 作 y=An ( i s

ωx+φ)的 图 像 (A>0,ω≠0)

ωx+φ)的 图 像 时 , 五 点 坐 标 为

φ (-ω,0) ,
?4π-2φ ? ? ? , 0 ? 2ω ? ? ?

?π-2φ ? ?2π-2φ ? ?3π-2φ ? ? ? ? ? ? ? , A , 0 ,- A ? 2ω ? ? ? ? 2ω ? ? ? , ? 2ω ? ,? ? ,

.

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2 ( ) 变 换 作 图

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【说明】

前一种方法第一步相位变换是 向左(φ>0)或向

右(φ<0) 平移 |φ|个单位 , 而 后 一 种 方 法 第 二 步 相 位 变 换 是 向 |φ| 左(φ>0) 或 向右(φ<0) 移 ω 个 单 位 , 要 严 格 区 分 , 对
Ac o ( s ωx+φ),y=Aa n t ( ωx+φ)同 样 适 用 .

y=

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1. 1 ( ) 把 y=n i s x的 图 像 向 右 平 移

π 单 位 , 得 3个

_ _ _ _ _ _

的 图 像 . 1 2倍(纵

2 ( ) 把 y=n i s x的 图 像 上 所 有 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 坐 标 不 变 )得_ _ _ _ _ _ _ _ 的 图 像 .

3 ( ) 把 y=n ( i s 倍(纵 坐 标 不 变

π 1 x-3)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的2 的 图 像 .

) 得_ _ _ _ _ _ _ _

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4 ( ) 把 y=n 2 i s

π x 的图像向右平移6得________的图像.
π x-3) 2 ( ) y=n 2 i s x 3 ( ) y=n 2 ( i s π x-3) 4 ( ) y

答案 1 ( ) y=n ( i s =n 2 ( i s π x-3)

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2.2 ( 0 1 4 · 把 函 数 y=n 2 i s

沧 州 七 校 联 考 x 的图 像( π 单 位 长 度 4个 π 单 位 长 度 2个

)要 得 到 函 数 )

y =c o 2 s

x的 图 像 , 只 需

A. 向 左 平 移 C. 向 左 平 移

B. 向 右 平 移 D.向 右 平 移

π 单 位 长 度 4个 π 单 位 长 度 2个

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答案

A

解析

由于 y =n 2 i s

x=c o ( s

π o 2 ( s 2 - 2 x) = c

π x-2 )=c o 2 [ s ( π 单 位 长 度 , 就 4个

x-

π 因 此 只 需 把 函 数 4)], 可以得到 y=c o 2 s

y=n 2 i s x的 图 像 .

x的 图 像 向 左 平 移

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3.2 ( 0 1 3 ·

湖北)将 函 数

y= 3c o s x+n i s x(x∈R)的 图 像 向 左 平 y轴 对 称 , 则 m的

移 m(m> 0 ) 个 单 位 长 度 后 , 所 得 到 的 图 像 关 于 最 小 值 是 π A.1 2 π C.3 ( ) π B.6 5 π D. 6

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答案

B

解析 像 向 左 平 移

3 1 y= 3c o s x+n i s x=2 ( 2c o s x+2n i s x)=n 2 ( i s m个 单 位 后 , 得 到 y=n 2 ( i s

π x+3)的图

π x+m+3)的 图 像 , 此 图 像 π m+3)=± 2, 所 以 π =6, 故 选 B. m

关 于 y轴 对 称 , 则

x =0 时 , y=± 2,即 n 2 ( i s m>0, 所 以 mn m i

π π +3=2+kπ,k∈Z, 由 于

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4.( 2 0 1 3 ·

四川)函数 f(x)=n 2 ( i s

π π ωx+φ)(ω>0,-2<φ<2)的部分 )

图像如图所示,则 ω,φ 的值分别是( π A.2,-3 π C.4,-6 π B.2,-6 π D.4,3

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答案 A

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解 析

由 题 中 图 像 可 知

3 5 π π 3 3 π 4T=1 2 -(-3)?4T= 4 ?T=π, 5 π (1 ), 2 ,2 5 π . 6 +φ)=1

2 π 2 π 则 ω= T = π =2 .又 图 像 过 点 5 π 则 f(1 2 ( i s 2 )=2?n

5 π ( i s 6 +φ)=2?n

π π π 5 π 4 π ∵-2<φ<2,∴3<φ+ 6 < 3 . 5 π π π ∴ 6 +φ=2,∴φ= - 3.故 选 A.
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5. 2 ( 0 1 2 · 伸 长 到 原 来 的 再 向 下 平 移 浙江)把 函 数 y=c o 2 s

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x+1 的 图 像 上 所 有 点 的 横 坐 标 ), 然 后 向 左 平 移 ( ) 1个 单 位 长 度 ,

2 倍( 纵 坐 标 不 变

1个 单 位 长 度 , 得 到 的 图 像 是

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答案

A

解析 把函数 y=c o 2 s

x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到

原来的 2 倍(纵坐标不变),得到的图像对应的解析式为 y=c o s x +1,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度, 得到的图像对应的函数解析式为 y=c o ( s x+1), 由 图 像 可 知 选 A.

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x x 例 1 1 ( ) 用“五点法”画出函数 y= 3s n i 2+c o s 2的图像, 并指出这个函数的周期与单调区间.

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x x 【解析】 y= 3s n i 2+c o s 2=n 2 ( i s x π 令 T=2+6,则列表如下:
T x y=n 2 i s T 0 π 2 π 5 π 3 0

x π 2+6),

3 π 2 8 π 3 -2

2 π 1 π 3 0

π 2 π -3 3 0 2

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在 坐 标 系 中 描 出 相 应 的 五 点 , 再 用 平 滑 的 曲 线 连 接 起 来 , 如 右 图 所 示 , 再 向 两 端 伸 展 一 下 . 从 图 像 观 察 : 该 函 数 的 周 期 为 2 π T= 1 =4 π . 2

4 π 2 π [- 3 +4kπ, 3 +4kπ ( ] k∈Z)为 增 区 间 , 2 π 8 π [ 3 +4kπ, 3 +4kπ ( ] k∈Z)为 减 区 间 . 4π 2π 【答案】 T=4π [- 3 +4kπ, 3 +4kπ]为 增 区 间 ,

2π [3+

8π 4kπ, 3 +4kπ]为减区间(k∈Z)
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2 ( ) 用 五 点 法 作 出
【 解 析 】

y=n 2 ( i s

π ? π 2π? x+3)在?-3, 3 ?内的图像. ? ?

π π π 2 π π 5 π 2 ( -3)+3= - 3 ,2 ( 3 )+3= 3 ,

π π ∴令 2x+3=0,∴x= - 6. π π π 2x+3=2,∴x=1 2. π π 2x+3=π,∴x=3. π 3 π 7 π 2x+3= 2 ,∴x=1 2 .
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列 表 π 2x+3 x y 描 点 作 图 π -3 π -3 - 3 0 π 2 π π 3

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3 π 2 7 π 1 2

5 π 3 2 π 3

π π -6 1 2 0 2

0 -2 - 3

【答案】


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探 究 1

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用“五 点 法 ”作 正 、 余 弦 型 函 数 图 像 的 步 骤 是 : y=An ( i s ωx+φ)或 y=Ac o ( s ωx+φ)(A>0,

1 ( ) 将 原 函 数 化 为 ω> 0 ) 的 形 式 ; 2 ( ) 确 定 周 期 ;

3 ( ) 确 定 一 个 周 期 内 函 数 图 像 的 最 高 点 和 最 低 点 ; 4 ( ) 选 出 一 个 周 期 内 与 5 ( ) 列 表 ; 6 ( ) 描 点 . x轴 的 三 个 交 点 ;

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思 考 题 正 周 期 为 1 设 函 数 f(x)=c o ( s

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π ωx+φ)(ω>0, -2<φ< 0 ) 的 最 小

π 3 π, 且 f(4)= 2 .

1 ( ) 求ω和φ的 值 ; 2 ( ) 在 给 定 坐 标 系 中 作 出 函 数 f(x)在[0,π ]上 的 图 像 ;

2 3 ( ) 若 f(x)> 2 , 求 x的 取 值 范 围 .

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【 解 析 】 π ∵f(4)=c o 2 ( s

2 π 1 ( ) 周 期 T= ω =π,∴ω=2 . π ×4+φ)=c o ( s π 3 -n i s φ= 2 , 2+φ)=

3 π π ∴n i s φ= - 2 ,∵-2<φ<0,∴φ= - 3.

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2 ( ) ∵f(x)=c o 2 ( s π x-3), 列 表 如 下 : π 2 π 2 3π -1

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π π 2x-3 -3 0 x f ( x) 图 像 如 图 : 0 1 2

3 2π 11 1 2π 0

5 3π π 1 2

π 5 6 1 2π 1 0

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3 c ( o ) 2 ( s π 2 x-3)> 2 ,

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π π π ∴2kπ-4<2x-3<2kπ+4,k∈Z. π 7 ∴2kπ+1 2 <2x<2kπ+1 2 π,k∈Z. π 7 ∴kπ+2 4 <x<kπ+2 4 π,k∈Z. π 7 ∴x 的 范 围 是 {x|kπ+2 4 <x<kπ+2 4 π,k∈Z}. π 【答案】 1 ( ) ω=2,φ=-3 2 ( ) 略

3 { ( )

π 7 x|kπ+24<x<kπ+24π,k∈Z}
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例2 1 ( ) 如 何 由 1 2 ( ) 如何由 y=3n 2 ( i s

y=n i s x 的图像得 y=2 c o ( s

1 π -2x+4)的图像.

π x+4)的图像得 y=n i s x的 图 像 .

【解析】 1 ( ) y=2 c o ( s

1 π 2 ( i s 2x-4)=n

1 π 下 略 . 2x+4)以

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2 ( ) 转 化 为 由 1 把 y=3n 2 ( i s y=n i s x的 图 像 得 1 y=3n 2 ( i s

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π x+3), 再 逆 推 就 是 : 3 倍( 横 坐 π x+3)图 像 上 所 有 π x+3)的 π 3,得

π x+3)图 像 上 各 点 的 纵 坐 标 都 伸 长 到 原 来 的 π x+3)的 图 像 , 再 把 y=n 2 ( i s

标 不 变 )得 y=n 2 ( i s 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 图 像 , 再 把 y=n ( i s

2 倍( 纵 坐 标 不 变

), 得 y=n ( i s

π x+3)的 图 像 上 所 有 点 的 横 坐 标 向 右 平 移

y=n i s x的 图 像 .
【答案】 略
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【讲评】 对于数学概念和方法,必须从本质上理解,防止 死 记 硬 背 , 本 题 2 ( ) 开 拓 了 学 生 的 视 野 . 不 过 , 如 果 学 生 程 度 差 ,

可不讲,以防弄巧成拙.

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探 究 2 变 换 , 先 将 的 横 坐 标 缩 短 关 于 y=An ( i s

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ωx+φ)函 数 图 像 由

y=n i s x的 图 像 的

y=n i s x 的 图 像 向 左

(或 右 )平 移 |φ|个单 位 , 再 将 其 上 1 , 再 将 其 纵 坐 标 ω倍 2 ( ) 题 中 , 是 先 进 行 |φ|个 单 位 , 而 是 1, 同 时 注 意 变 换 的 方 法 不 能 出 φ |ω

(ω> 1 ) 或 伸 长 0 ( < ω< 1 ) 到 原 来 的 A倍 , 但 在

伸 长 ( A> 1 ) 或 缩 短 0 ( < A< 1 ) 到 原 来 的 伸 缩 变 换 , 再 进 行 平 移 变 换 , 此 时 平 移 不 再 是 |个 单 位 , 原 则 是 保 证 错 . x的 系 数 为

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思 考 题 像 . 1 ( ) y=n 2 ( i s 2 ( ) y=c o 2 ( s 3 ( ) y= n 2 i s | 4 ( ) y=n |( i s

2

如 何 由 函 数

y=n i s x 的 图 像 得 到 下 列 函 数 的 图

2 x-3π ) -2; π x-3); x|; π x|+3).

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【 解 析 】 1 纵 坐 标 不 变 , 得 2, 个 单 位 , 得 个 单 位 .

1 ( ) 将 y=n i s x图 像 上 各 点 的 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 y=n 2 i s x图 像 ; 再 将 y=n 2 i s y=n 2 ( i s x图 像 向 右 平 移 2 π x- 3 ) 向 下 平 移 π 3 2

y=n 2 ( i s

2 π x- 3 ) 图 像 ; 再 将

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3 ( ) 将 y=n i s x图 像 上 各 点 的 纵 坐 标 伸 长 到 原 来 的 标 不 变 , 得 的 部 分 沿 y=n 2 i s x轴 翻 折 到 x的 图 像 ; 再 将 x轴 上 方 . π 单 位 , 得 3个 y=n ( i s y=n 2 i s x的 图 像 位 于

2倍 , 横 坐 x轴 下 方

4 ( ) 将 y=n i s x的 图 像 向 左 平 移 像 , 再 将 y=n ( i s π x+3)的 图 像 在

π x+3)的 图 y轴 右

y轴 左 侧 的 部 分 去 掉 , 将

侧 的 图 像 作 关 于
【答案】

y轴 对 称 , 形 成 一 个 偶 函 数 的 图 像 .

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例 3 已知函数 y=An ( i s

ωx+φ), x∈R(其中 A>0, ω> 0 ) 的图 2),

像在 y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为 M2 ( , 与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N0 6 ) ( , , 求 这 个 函 数 的 解 析 式 .

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【思路】 根 据 题 意 , 可 知 点

M、 N 是函数 y=An ( i s

ωx+φ),

x∈R(其中 A>0,ω> 0 ) 图像的五个关键点中的两个,可作出其函 数的大致图像,如图所示.

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【 解 析 】 根 据 题 意 , 可 知

方 法 一

(最 值 点 法

):

T A=2 2,4 =6-2=4 .

2 π π 所 以 T=1 6 . 于 是 ω= T =8, 将 点 M2 ( , 2)代 入 y=2 2s n ( i π 2+φ). 8· π 8 x+φ ) ,

得 2 2=2 2s n ( i

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所以 n ( i s

π π π π 4+φ)=1.所以4+φ=2,即 φ=4.

从而所求函数的解析式是 y=2 2s n ( i π π 8x+4),x∈R.

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方 法 二

(零 点 法 ): π T=1 6 ,A=2 2,ω=8, N是 第 二 个 零 点 , 故 x 3 =6 .

由 方 法 一 可 知 根 据 题 意 知

π 又 由 ωx3+φ=π, 得 φ=4.

【答案】 y=2 2s n ( i

π π 8x+4),x∈R

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探 究 3 解 析 式 时 ,

由 f(x)=An ( i s

ωx+φ)(A>0,ω> 0 ) 的 一 段 图 像 , 求 其 ω 和 φ,

A比 较 容 易 由 图 得 出 , 困 难 的 是 求 待 定 系 数

常 用 如 下 两 种 方 法 : 1 ( ) 如 果 图 像 明 确 指 出 了 周 期 2 π 么 由 ω= T 即 可 求 出 图 像 上 升 ω; 确 定 T 的 大 小 和 “零 点 ”坐 标 , 那

φ时 , 若 能 求 出 离 原 点 最 近 的 右 侧 x0 , 则 令 ωx0+φ=0 ( 或 ωx0+φ

(或 下 降 )的 零 点 的 横 坐 标 φ.

=π )即 可 求 出

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2 ( ) 代 入 点 的 坐 标 . 利 用 一 些 已 知 点

(最 高 点 、 最 低 点 或 零 点

)

坐标代入解析式.再结合图形解出 ω 和 φ, 若 对

A,ω 的符号或

对 φ 的范围有所需求,则可用诱导公式变换使其符合要求.

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思考题 3 ω> 0 < ,

已知函数 f(x)=An ( i s

ωx+φ),x∈R(其中 A>0,

π φ<2)的图像与 x 轴 的 交 点 中 , 相 邻 两 个 交 点 之 间 的 距 离 为

π 2π 2,且图像上一个最低点为 M( 3 ,-2). 1 ( ) 求 f(x)的 解 析 式 ; π π 2 ( ) 当 x∈[12,2]时,求 f(x)的值域.

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【 解 析 】

1 ( ) 由 最 低 点 为

2 π M( 3 , -2 ), 得 A=2 . π T π 得 2 =2 , 2,

由x轴 上 相 邻 两 个 交 点 之 间 的 距 离 为 2 π 2 π 即 T=π,∴ω= T = π =2 .

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2π 由点 M( 3 ,-2)在图像上,得 n 2 ( i s 即n ( i s

2π × 3 +φ)=-2,

4π 4π π 3 +φ)=-1,故 3 +φ=2kπ-2(k∈Z).

11π π π ∴φ=2kπ- 6 (k∈Z).又 φ∈(0,2),∴φ=6. 故 f(x)=n 2 ( i s π x+6).

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π π π π 7π 2 ( ) ∵x∈[12,2],∴2x+6∈[3, 6 ]. π π π 当 2x+6=2,即 x=6时,f(x)取 得 最 小 值 π 7π π 当 2x+6= 6 ,即 x=2时,f(x)取 得 最 大 值 - 故 f ( x) 的 值 域 为 [-1,2]. 2; 1,

【答案】 1 ( ) f(x)=n 2 ( i s

π x+6) 2 [ ( )

-2 1 ] ,

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例4 如 图 所 示 , 某 市 准 备 在 道 路 比 赛 道 , 赛 道 的 前 一 部 分 为 曲 线 段 An ( i s 2 π ωx+ 3 )(A>0,ω> 0 ) ,x∈[-0 4 ] , . 赛 道 的 中 间 部 分 为 长

EF 的 一 侧 修 建 一 条 运 动 F B C , 该 曲 线 段 是 函 数 时 的 图 像 , 且 图 像 的 最 高 点 3 千 米 的 直 线 跑 道 O为 圆 心 的 一 段 圆 弧 . CD, 且 y=

为 B(-2 1 ) ,

CD∥EF, 赛 道 的 后 一 部 分 是 以

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1 ( ) 求ω的 值 和 ∠D O E 2 ( ) 若 要 在 圆 弧 赛 道 所 对 应 的 扇 形 草 坪 ”, 矩 形 的 一 边 在 道 路 外 一 个 顶 点 积取 最 大 值 时 P在 圆 弧 上 , 且 θ的 值 .

的 大 小 ; ODE 区 域 内 建 一 个 EF 上 , 一 个 顶 点 在 半 径 “矩 形 OD 上 , 另 ”的 面

∠P O E =θ, 求 当 “矩 形 草 坪

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【 解 析 】

1 ( ) 由 条 件 , 得

T A=2,4 =3 .

2 π π ∵T= ω ,∴ω=6. ∴曲 线 段 FBC 的 解 析 式 为 y=n 2 ( i s π 2 π 6x+ 3 ).

当 x=0 时 , y=OC= 3. π π 又 CD= 3,∴ ∠ COD=4, 即 ∠DOE=4.

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2 ( ) 由1 ( ) , 可 知

OD= 6. P 在 DE 上,故

又易知当“矩形草坪”的 面 积 最 大 时 , 点 OP= 6. “矩形草坪”的面积为 S= 6s n i θ( 6c o s θ- 6s n i θ)=n 6 i s ( θc o s θ-n i s

2

θ)

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1 =6(2n 2 i s =3 2s n 2 ( i

1 θ+2c o 2 s

1 θ-2)

π θ+4)-3.

π ∵0<θ≤4, π π π ∴当 2θ+4=2,即 θ=8时,S 取得最大值.

π π π 【答案】 1 ( ) ω=6,∠DOE=4 2 ( ) θ=8

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探究 4 面对实际问题时,能够迅速地建立数学模型是一项 重要的基本技能.这个过程并不神秘,比如本例题,在读题时把 问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”, 这 个 过 程 就是数学建模的过程.

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思 考 题

4

如 图 为 一 个 缆 车 示 意 图 , 该 缆 车 半 径 为 m 8 0 . 6 0 , 秒 转 动 一 圈 , 图 中

m 8 4 . OA 与 地 面



圆 上 最 低 点 与 地 面 距 离 为 垂 直 , 以 离 是 h.

OA 为 始 边 , 逆 时 针 转 动

θ 角到 OB, 设 B点 与 地 面 距

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1 ( ) 求 h 与 θ 间的函数关系式; 2 ( ) 设从 OA 开 始 转 动 , 经 过 t 秒后到达 OB, 求 h 与 t 之间的

函数关系式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少? 【思路】 1 ( ) 以圆心 O 为 原 点 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 利 用 三角函数的定义求出点 B 的纵坐标,则 h 与 θ 之间的关系可求. 2 ( ) 把 θ 用 t 表示出来代入 h 与 θ 的函数关系式即可.

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【 解 析 】 坐 标 系 ,

(1)以 圆 心

O为 原 点 , 建 立 如 图 所 示 的 平 面 直 角

则 以 Ox 为 始 边 , 故 点 B的 坐 标 为 ∴h=6 5 . +n 8 4 ( i s . c 8 o 4 ( s .

OB 为 终 边 的 角 为 π θ-2),n 8 4 ( i s .

π θ-2, π θ-2)).

π θ-2).

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2 ( ) 点A在 圆 上 转 动 的 角 速 度 是 故t秒 转 过 的 弧 度 数 为 ∴h=6 5 . +n 8 4 ( i s . 到 达 最 高 点 时 , 由n ( i s π 3 0 t. π 3 0,

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π π + ∞) . 3 0 t-2),t∈[0, h=1 m 4 0 ..

π π π π π 得3 0 . 3 0 t-2)=1, 0 t-2=2,∴t=3 3 0 秒 .

∴缆 车 到 达 最 高 点 时 , 用 的 时 间 最 少 为

【答案】 1 ( ) h=6 5 . +n 8 4 ( i s .
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π θ-2) 2 3 ( ) 0
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1.五 点 法 作 函 数 图 像 及 函 数 图 像 变 换 问 题 1 ( ) 当 明 确 了 函 数 图 像 基 本 特 征 后 , 快 捷 方 式 . 运 用 “描 点 法 ”是 作 函 数 图 像 的

“五 点 法 ”作 正 、 余 弦 型 函 数 图 像 时 , 应 取 好 五 个

特 殊 点 , 并 注 意 曲 线 的 凹 凸 方 向 . 2 ( ) 在 进 行 三 角 函 数 图 像 变 换 时 , 提 倡 “先 伸 缩 , 后 平 移 “先 平 移 , 后 伸 缩 ”,但

”也 经 常 出 现 在 题 目 中 , 所 以 也 必 须 熟 练 掌 握 , x而 言 , 即 图 像 变 “角”变 化 多 少 .
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无 论 是 哪 种 变 形 , 切 记 每 一 个 变 换 总 是 对 字 母 换 要 看 “变 量 ”起 多 大 变 化 , 而 不 是
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2.由图像确定函数解析式 由函数 y=An ( i s ωx+φ)的图像确定 A、ω、φ 的 题 型 , 常 常

φ 以“五点法”中的第一零点(-ω,0)作 为 突 破 口 , 要 从 图 像 的 升 降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.

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1.(课 本 改 编 题

)y=n 2 ( i s

π x-4)的振幅为_ _ _ _ _ _ _ _

, 频 率 和

初相分别为________、________.

1 π 答案 2 π -4

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2. 若 把 函 数 向 下 平 移

y=f(x)的 图 像 沿

x轴 向 左 平 移

π 单 位 , 沿 4个

y轴

1个 单 位 , 然 后 再 把 图 像 上 每 个 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 ), 得 到 函 数 y=n i s x的 图 像 , 则 y=f(x)

的 2 倍( 纵 坐 标 保 持 不 变 的 解 析 式 为 ( )

A.y=n 2 ( i s C.y=n ( i s

π x-4)+1 1 π 2x+4)-1

B.y=n 2 ( i s D.y=n ( i s

π x-2)+1 1 π 2x+2)-1

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答案

B

解 析 (纵 坐 标 保 持 不 变

将 y=n i s x的 图 像 上 每 个 点 的 横 坐 标 变 为 原 来 的 一 半 ),得到 y=n 2 i s y=n 2 i s π 单 位 , 得 到 4个 f(x)=n 2 i s ( x的 图 像 , 再 将 所 得 图 像 向 上 平 y=n 2 i s x+1

移 1 个 单 位 , 得 到 的 图 像 向 右 平 移 数 f(x) 的 图 像 , 所 以 B.

x+1 的 图 像 , 再 把 函 数 y=n 2 i s (

π x-4)+1 的 图 像 , 即 函 π x-2)+1,故选

π x-4)+1=n 2 ( i s

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3. 已 知 函 数 函数的图像(

f(x)=n ( i s )

π ωx+3)(ω> 0 ) 的最小正周期为 π, 则 该

π A.关于点(3,0)对称 π C.关于点(4,0)对称

π B.关于直线 x=4对称 D.关 于 直 线 π x=3对称

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答案

A

2π 解析 由 T=π 知 ω= T =2,∴函数 f(x)=n 2 ( i s f ( x) 的 对 称 轴 满 足 π π 2x+3=2+kπ(k∈Z), 解 得

π x+3). 函 数

π kπ x=12+ 2 (k∈Z);

函数 f(x)的 对 称 中 心 的 横 坐 标 满 足 π kπ 解得 x=-6+ 2 (k∈Z).

π 2x+3=kπ(k∈Z),

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4.2 ( 0 1 3 ·

课 标 全 国

Ⅱ)函数 y=c o 2 ( s

x+φ)(-π≤φ< π ) 的 图 像 π x+3)的图像重合,则 φ=

π 向右平移2个单位后,与函数 y=n 2 ( i s ________.

5π 答案 6

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解析 将 y=c o 2 ( s c o 2 [ s ( =n 2 ( i s

x+φ)的 图 像 向 右 平 移

π 2个单位后得到 y= x+φ), 又 可 变 形 为 y 5π φ= 6

π x-2)+φ]的图像,化简得 y=-c o 2 ( s π x+φ-2). 由 题 意 可 知

π π φ-2=3+2kπ(k∈Z), 所 以

5π +2kπ(k∈Z),结合-π≤φ<π 知 φ= 6 .

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5. 如 图 是 周 期 为 以写成( A.n 1 ( i s B.n ( i s C.n ( i s D.n 1 ( i s ) +x) -1-x) x-1) -x)

2π 的三角函数 y=f(x)的 图 像 , 那 么

f ( x) 可

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答案

D

解析 设 y=n ( i s ∴由 n 1 ( i s =n 1 ( i s -x).

x+φ),点0 1 ) ( ,

为 五 点 法 作 图 的 第 三 点 , x+π-1)

+φ)=0?1+φ=π,φ=π-1,∴y=n ( i s

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