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必修二立体几何测试题


必修二立体几何测试题
命题:董素霞 2013 01 10
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列命题是真命题的是( )

A. 梯形一定是平面图形 C. 一条直线和一个点能确定一个平面
A. 球 B. 三棱锥 C. 正方体

B. 空间中

两两相交的三条直线确定一个平面 D. 空间中不同三点确定一个平面
)

2.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是(

D. 圆柱
)个

3.下列命题中正确的个数是(

①若直线 l 上有无数个公共点不在平面 ? 内,则 l // ? . ②若直线 l 与平面 ? 平行,则直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都平行. ③如果两平行线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行. ④垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
y'

A.0

B.1
' '

C.2
'

D.3
A'

4.如图 Rt ?O A B 是一个平面图形的直观图,斜边 O B ? 2 ,
' '

则该平面图形的面积是(



O'

B'

x'

A.

2 2

B. 1

C. 2

D.2 2
)

5. l1 , l2 , l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是(

A.l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 // l3 C.l1 // l2 // l3 ? l1 , l2 , l3 共面

B.l1 ? l2 , l2 // l3 ? l1 ? l3 D.l1 , l2 , l3共点 ? l1 , l2 , l3 共面

N
D

C

M

6.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:

E
① BM 与 ED 平行.② CN 与 BE 是异面直线. ③ CN 与 AF 垂直.④ DM 与 BN 是异面直线. 以上四个命题中正确的个数是( )

A

B F

A.1 B.2

C.3

D.4
)

7.圆柱的一个底面积为 S ,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的体积是(

A.

S S

?

B.

2S S

?

C.2 S ? S

D.S ? S

第1页

8.已知 a, b, c 为三条不重合的直线, ? , ? , ? 为三个不重合的平面,下列四个命题: ① a // b, b // c ? a // c . ② a // ? , b // ? ? a // b . ③ a // b, b // ? ? a // ? .④ a // ? , a // ? ? ? // ? . 其中正确命题的个数为( )

A.3

B.2

C.1

D.0


9.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为(

A.2? ?

4 3 3

B.4? ? 2 3

C.2? ?

2 3 3

D.4? ?

2 3 3

10.正四棱锥 P ? ABCD 的侧棱和底面边长都等于 2 2 , 则它的外接球的表面积是( )

A.16?

B.64?

C.

16? 3

D.

64? 3


11.已知圆台的上、下底面半径和高的比为 1 ︰4︰4,母线长为 10,则圆台的体积为(

A.672?

B.224?

C.168?

D.56?

12. 一个三棱锥的棱长均为 2,四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个 截面如图,则图中三角形(三棱锥的截面)的面积是 ( )

A.

2 2

B.

3 2

C. 2

D. 3
图1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.在长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, M , N 分别为 AB, A ' D ' 的中点,则直线 MN 与平面 A ' BC ' 的位置 关系是_____________. 14.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的_________ (填入所有可能的几何体前的编号). ①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱. 15.已知两个圆锥有公共底面, 且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上. 若圆锥底面面积是这个球 3 面面积的 ,则这两个圆锥中,体积较小的圆锥与体积较大的圆锥体积之比为________. 16 16.已知三棱锥 S ? ABC 的棱长均相等,E 是 SA 的中点, F 为 ?ABC 的中心, 则异面直线 EF 与 AB 所成 的角为___________.

第2页

三、解答题:本大题共 4 小题,共 46 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 如图是一个几何体的正视图和俯视图. (1)试判断该几何体是什么几何体; (2)画出其侧视图(尺寸不作严格要求),并求该平面图形的面积.

18. (本小题满分 12 分) 如图,左侧的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图, 它的正视图和侧视图如图(单位: cm ). (1)求该多面体的体积; (2)证明:平面 BDC ' ∥平面 EFG .
D' G F B'
4 2

C'
2

6

2

E D A B C
4

正视图

侧视图

第3页

19. (本小题满分 12 分) 如图,在正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, E , F 分别为 AB, AA ' 的中点. 求证: CE , D?F , DA 三条直线交于一点.

20. (本小题满分 12 分) 如图所示,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中. (1)求 A1C1 与 B1C 所成角的大小; (2)若 E , F 分别为 AB, AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大小.

第4页

参考答案 一、选择题 A D A D B B C C C A B D 二、填空题 13.平行 14. ①②③⑤ 15. 1: 27 16. 60
o

三、解答题 17. (1)由该几何体的正视图及俯视图可知几何体是正六棱锥. (2)侧视图(如图)

……4 分

……6 分

其中 AB ? AC , AD ? BC ,且 BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离, 即 BC ? 3a, AD 是棱锥的高, AD ?

3a , 1 3 2 所以侧视图的面积为 S ? ? 3a ? 3a ? a .……10 分 2 2
18.(1)所求多面体的体积 V ? V长方体 ? V正三棱锥 ? 4 ? 4 ? 6 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

1 ?1 3 ?2

? ?

284 ? cm3 ? .……6 分 3

(2)如图,在长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,依题意 E , G 分别为 AA ', A ' D ' 的中点. 连接 BD, B ' D ' ,则四边形 AD ' C ' B 为平行四边形,? AD '// BC ' . ……9 分

? E, G 分别为 AA ', A ' D ' 的中点,

? AD '// EG ,从而 EG ∥ BC ' .
? EG ? 平面 EFG , BC ' ? 平面EFG , ? BC ' ∥平面 EFG .
19.连 A ' B,? ABCD ? A ' B ' C ' D ' 为正方体,? A ' D '// BC, A ' D ' ? BC , ……12 分

?四边形 A ' D ' CB 为平行四边形,
? A ' B // D ' C, A ' B ? D ' C .
又 EF 为 ?AA ' B 的中位线,? EF // A ' B, EF ?

……2 分 ……4 分

1 A' B , 2
……6 分 ……8 分

? EF // D ' C , EF ?

?四边形 EFD ' C 为梯形.

1 D 'C , 2

设 D ' F ? CE ? M , 则 M ? D ' F , M ? EC .

? M ?平面 AA ' D ' D , M ? 平面 ABCD . ?平面 AA ' D ' D ? 平面 ABCD ? AD , ? M ? AD ,
即 CE , D?F , DA 三条直线交于一点.

……10 分 ……12 分

第5页

20.(1)如图,连接 AC , AB1 ,

? ABCD ? A1 B1C1D1 是正方体,? AA1C1C 为平行四边形,

? AC // A1C1 ,
??B1CA 就是 A1C1 与 B1C 所成的角.

……2 分 ……4 分

? AB1 ? B1C ? AC ,??AB1C 为正三角形,
??B1CA ? 60o 即 A1C1 与 B1C 所成角为 60°.
(2)如图,连接 BD , ……6 分

? AA1 // CC1 ,且 AA1 ? CC1 , ? AA1C1C 是平行四边形,? AC // A1C1 ,
∴ AC 与 EF 所成的角就是 A1C1 与 EF 所成的角. ∵ EF 是△ ABD 的中位线,∴ EF // BD . 又∵ AC ? BD,? AC ? EF ,即所求角为 90°. ……12 分 ……8 分 ……10 分

? S EFGH ? xy sin 60o ?

3 x 3 3 ? x ? 6 ? (1 ? ) ? [?( x ? 2) 2 ? 4] ? 3 3 , 2 4 4 ? x ? 2 时,四边形 EFGH 的面积有最大值 3 3 .

第6页


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