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2010年全国高中数学联赛(江苏赛区复赛)


2010 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛
一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.已知数列{an}、{bn}满足 an=2 是 .
2n+3 5

1 ,bn= log2(a1a2a3…an),n∈N*,则数列{bn}的通项公式 n

n+4 答案:bn= ,n∈N* 5 简解:由 an=2
2n

+3 5

,得 a1a2a3…an=2

2(1+2+…+n)+3n 5

n(n+4)

=2

5

,n∈N*.

1 n(n+4) n+4 所以 bn= × = ,n∈N*. n 5 5 2.已知两点 M(0,2)、N(-3,6)到直线 l 的距离分别为 1 和 4,则满足条件的直线 l 的条数 是 . 答案:3 简解:易得 MN=5,以点 M 为圆心,半径 1 为的圆与以点 N 为圆心,半径为 4 的圆外切,故 满足条件的直线 l 有 3 条. 3.设函数 f(x)=ax2+x.已知 f(3)<f(4),且当 n≥8,n∈N*时,f(n)>f(n+1)恒成立,则实数 a 的取值范围是 . 1 1 答案:(- ,- ) 7 17 简解:(方法一) 因为当 n≥8 时,f(n)>f(n+1)恒成立,所以 a<0,此时 f(n)>f(n+1)恒 1 成立等价于 f(8)>f(9),即 64a+8>81a+9,解得 a<- . 17 1 1 1 因为 f(3)<f(4),所以 9a+3<16a+4,解得 a>- .即 a∈(- ,- ). 7 7 17 (方法二)考察二次函数 f(x)=ax2+x 的对称轴和开口方向. 1 17 1 因为当 n≥8 时,f(n)>f(n+1)恒成立,所以 a<0,且- < ,解得 a<- . 2a 2 17 1 7 1 1 1 因为 f(3)<f(4),所以- > ,解得 a>- .即 a∈(- ,- ). 2a 2 7 7 17 4.已知 ABCD-A1B1C1D1 是边长为 3 的正方体, 点 P、Q、R 分别是棱 AB、AD、AA1 上的 点,AP=AQ=AR=1,则四面体 C1PQR 的 体积为 . 4 答案: 3 简解:因为 C1C⊥面 ABCD,所以 C1C⊥BD. 又因为 AC⊥BD, 所以 BD⊥面 ACC1,所以 AC1⊥BD. 又 PQ∥BD,所以 AC1⊥PQ. C P D A Q (第 4 题) C1 D1 A1 B1

R B

同理 AC1⊥QR.所以 AC1⊥面 PQR. 因为 AP=AQ=AR=1,所以 PQ=QR=RP= 2. 1 1 1 因为 AC1=3 3,且 VA-PQR = · ·12·1= ,所以 3 2 6 1 3 4 VC1-PQR = · ·( 2)2·3 3-VA-PQR = . 3 4 3 5.数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an ?1 ? 答案:-6 1 1 简解:易得:a1=2,a2=-3,a3=- ,a4= ,a1a2 a3a4=1. 2 3 又 a5=2=a1,由归纳法易知 an+4=an,n∈N*. 所以 T2010=T2008×a2009×a2010=a1a2=-6. 6.骰子是一个立方体, 6 个面上分别刻有 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 点. 现有质地均匀的 骰子 10 只. 一次掷 4 只、 3 只骰子,分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为 6 的 概率的比为 .

1 ? an , n?N*.记 Tn=a1a2…an,则 T2010 等于 1 ? an



答案:1:6. 提示:掷 3 只骰子,掷出 6 点的情况为 1,1,4;1,2,3;2,2,2. 共 3+3!+1=10 种, 10 3 概率为 6 . 掷 4 只骰子,掷出 6 点的情况为 1,1,1,3;1,1,2,2. 共 4+ C4 =10 种,概率 为
10 64 .
2

1:6 . 7 7.在△ABC 中,已知 BC=5,AC=4,cos(A-B)= , 8 则 cosC= 11 答案: 16 简解:因 BC ? AC ,故 ?A ? ?B . 如图,作 AD, 使∠BAD=∠B,则∠DAC=∠A-∠B. 设 AD=BD=x,则 DC=5-x.在△ADC 中, 11 由余弦定理得 x=3.再由余弦定理得 cosC= . 16 8.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=2x 的焦点为 F. 设 M 是抛物线上的动点,则 MO 的最大值为 MF . B D (第 7 题) C . A

所以概率的比为

10 10 63 : 64 =

2 3 答案: 3
2 2 4x2+8x 4x-1 MO 2 x +y 简解:设点 M(x,y),则( )= = 2 =1+ 2 . MF 1 4x +4x+1 4x +4x+1 (x+ )2 2

令 4x-1=t, MO 当 t≤0 时,显然 ≤1. MF MO 2 当 t>0 时,则( ) =1+ MF 4 9 t+6+ t 1 4 ≤1+ = ,且当 t=3,即 x=1 时,等号成立. 3 3

MO 2 3 所以 的最大值为 ,此时点 M 的坐标为(1,± 2). MF 3 二、解答题(本题满分 16 分) 如图,点 P 是半圆 C:x2+y2=1(y≥0)上位于 x 轴上方的任意一点,A、B 是直径的两个端 点,以 AB 为一边作正方形 ABCD,PC 交 AB 于 E,PD y 交 AB 于 F,求证:BE,EF,FA 成等比数列. P 证明:设 P(cosα,sinα),C(-1,-2),D(1,-2), E(x1,0),F(x2,0). sinα+2 2 因为点 P、E、C 三点共线,所以 = , cosα+1 x1+1 2(cosα+1) 所以 x1= -1. sinα+2 ………………5 分 C D B O E F A x

sinα+2 2 由点 P、F、D 三点共线,所以 = , cosα-1 x2-1 2(cosα-1) 所以 x2= +1. sinα+2 ………………10 分

2(cosα+1) 2(cosα-1) 2sinα 所以 BE=x1+1= ,EF=x2-x1= ,FA= . sinα+2 sinα+2 sinα+2 2(cosα+1) 2(cosα-1) 4sin2α 所以 BE·FA= × = =EF2. sinα+2 sinα+2 (sinα+2)2 即 BE,EF,FA 成等比数列. 三、解答题(本题满分 20 分) 设实数 a , m 满足 a ? 1 , 0 ? m ? 2 3 ,函数 f ? x ? ? ………………16 分

amx ? mx 2 a ? a ?1 ? a ? m 2
2



x ?? 0, a ? . 若存在 a , m , x ,使 f ? x ? ?

3 ,求所有的实数 x 的值. 2

x ma2 ma2 解答:因为 x ? (0, a) 时, amx ? mx2 ? ?m(a ? )2 ? , ? 2 4 4

当且仅当 x ? 所以

a 时等号成立, 2
a2 m 3 amx ? mx am 4 ? ? ? 2 a ? a(1 ? a)2 m2 a ? a(1 ? a) 2 m 2 4(1 ? (1 ? a) 2 m 2 )
2

……………5 分

?

am m 3 , ? ? 4 4 2

……………15 分

当且仅当 x ? 故 x ?1 .

a 及 a ? 1 与 m ? 2 3 时等号成立. 2

……………20 分

四、解答题(本题满分 20 分) 数列{an}中,已知 a1∈(1,2),an+1=an3-3an2+3an,n∈N*,求证: 1 (a1-a2)( a3-1)+(a2-a3)( a4-1)+…+(an-an+1)( an+2-1)< . 4 证明:(方法一) 由 an+1=an3-3an2+3an,得 an+1-1=(an-1)3. 令 bn=an-1,则 0<b1<1,bn+1=bn3<bn,0<bn<1. 所以 (ak-ak+1)( ak+2-1)=(bk-bk+1)×bk+2 ………………5 分

1 =(bk-bk+1)×bk+13< (bk-bk+1)×(bk3+bk2bk+1+bkbk+12+bk+13) 4 1 < (bk4-bk+14). 4 所以 (a1-a2)(a3-1)+(a2-a3)(a4-1)+…+(an-an+1)(an+2-1) 1 1 1 < (b14-b24)+ (b24-b34)+…+ (bn4-bn+14) 4 4 4 1 1 1 = (b14-bn+14)< b14< . 4 4 4 ………………20 分 ………………15 分

(方法二) 由 an+1=an3-3an2+3an,得 an+1-1=(an-1)3. 令 bn=an-1,则 0<b1<1,bn+1=bn3,0<bn<1. ………………5 分 所以 (a1-a2)( a3-1)+(a2-a3)( a4-1)+…+(an-an+1)( an+2- 1) =(b1-b2) b3+(b2-b3) b4+…+(bn-bn+1) bn+2 =(b1-b2) b23+(b2-b3) b33+…+(bn-bn+1) bn+
3 1

?

? x dx ? 4 .
3 0

1

1

………………20 分

2010 年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分标准
加 试

一、 (本题满分 40 分) 圆心为 I 的 ?ABC 的内切圆分别切边 AC、AB 于点 E、F. 设 M 为线段 EF 上一点, 证明: ?MAB 与 ?MAC 面积相等的充分必要条件是 MI ? BC . A A

Q M F I E F

P M E

I

B (第 1 题)

C

B

D

C

证明:过点 M 作 MP ? AC 、 MQ ? AB ,垂足分别为 P、Q. 圆 I 切边 BC 于点 D, 则 ID ? BC , IF ? AB , IE ? AC . 显然 AF=AE, 所以 ?AFM ? ?AEM , 从而推知 Rt?QFM ? Rt?PEM , 得

MQ MF ? . MP ME

1 MQ ? AB S?MAB 2 MQ AB MF AB 又 , 所以 ? ? ? ? ? S?MAC 1 MP ? AC MP AC ME AC 2 AB ME ?MAB 与 ?MAC 面积相等的充要条件是 ? . ① AC MF AB ME ? 由①可知,问题转化为证明: 的充分必要条件是 MI ? BC . ………10 分 AC MF AB ME ? 首先证明:若 MI ? BC ,则 . AC MF 由 MI ? BC 可知点 M 在直线 ID 上. 因为 B、D、I、F 四点共圆,所以 ?MIF ? ?DBF ? ?B , ?MIE ? ?ECD ? ?C .
又 IE=IF,则由正弦定理得

MF FI IE ME ? ? ? , sin ?MIF sin ?IMF sin(? ? ?IMF ) sin ?MIE


ME sin C AB sin C AB ME ? ? ? ,而 . 所以 . MF sin B AC sin B AC MF AB ME ? ,则 MI ? BC . AC MF
'

……………30 分

其次证明:若

设直线 ID 与 EF 交于点 M ,则由上述证明可知

AB M ' E ? ,于是有 AC M ' F
……………40 分

AB M ' E ? ' ,从而 M ? M ' . 故命题成立. AC M F

二、 (本题满分 40 分) 将凸 n 边形 A A2 ? An 的边与对角线染上红、蓝两色之一,使得没有三边均为蓝色的三角 1 形. 对 k=1, 2,…,n,记 bk 是由顶点 Ak 引出的蓝色边的条数,求证:

n2 b1 ? b2 ? ? ? bn ? . 2
证明:不妨设 b ? max{b1 , b2 ,?, bn },并且由点 A 向 A1 , A2 ,?, Ab 引出 b 条蓝色边,则

A1 , A2 ,?, Ab 之间无蓝色边, A1 , A2 ,?, Ab 以外的 n ? b 个点,每点至多引出 b 条蓝

2 ? ( n ? b) ? b ? n 色边,因此蓝色边总数 ? (n ? b)b ? ? ? . ? 2 4 ? ? 2

…………20 分

故 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2 ?

n2 n2 ? . 命题得证. 4 2

……………40 分

三、 (本题满分 50 分)
2 设正整数的无穷数列 ?an ? ( n?N )满足 a4 ? 4 , an ? an?1 an?1 ? 1 ( n ? 2 ) ,
*

求 ?an ? 的通项公式. 解:由已知得

an a ? n?1 . an?1 an an?1 ? 1 ,则 an ? an?1 , an
…………10 分

若有某个 n ,使

从而 an?1 ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ,这显然不可能,因为 {an } (n? N* ) 是正整数的 无穷数列. 故数列 {an } 中的项是严格递增的. 从而由 a4 ? 4 可知, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3 . 于是由 ?an ? 的递推公式及数学归纳法知 an ? n (n ? N* ) . …………20 分 …………30 分 …………40 分

* 显然数列 {n} (n? N ) 满足要求,故所求的正整数无穷数列为 {n} (n ? 1) .

…………50 分 四、 (本题满分 50 分) 设 p 是一个素数, p ? 3 (mod 4) . 设 x , y 是整数,满足 p | x ? xy ?
2

存在整数 u , v ,使得 x ? xy ?
2

p ?1 2 p ?1 2 y ? p(u 2 ? uv ? v ). 4 4
2 2

p ?1 2 y . 求证: 4

证明:由条件可知 p | (2x ? y) ? py ,则 p | (2 x ? y) .
2

因 p 是素数,故有 p | 2 x ? y . 设 2x ? y ? pk ,

…………20 分

则 x ? xy ?
2

p ?1 2 1 y ? ( py 2 ? (2 x ? y ) 2 ) 4 4 1 ? ((2 x ? pk ) 2 p ? p 2 k 2 ) 4 p ? ((2 x ? pk ) 2 ? pk 2 ) …………30 分 4 p ? ((2 x ? pk ? k ? k ) 2 ? pk 2 ) 4 p k ( p ? 1) ? ((2u ? v) 2 ? pv 2 ) (这里 u ? x ? ,v ? k ) 4 2 p ? (4u 2 ? 4uv ? ( p ? 1)v 2 ) 4 p ?1 2 ? p(u 2 ? uv ? v ). 4
…………50 分

命题得证.


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