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安徽省蚌埠市固镇一中2015届高三上学期11月段考数学试卷

时间:2015-10-19


2014-2015 学年安徽省蚌埠市固镇一中高三 (上) 11 月段考数学 试卷
一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设全集 U 是实数集 R,M={x|x >1},N={x|0<x<2},则集合 N∩? UM=( A. {x|1<x<2} B. {x|0<x≤1} C. {x|0≤x≤1} D. {x|0<x<1}
x 2 2



2.已知命题 p: “? x∈[0,1],a≥e ” ,命题 q: “? x∈R,x ﹣4x+a=0” ,若命题 p,q 均 是真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A. [4,+∞) B. [1,4] C. [e,4] D. (﹣∞,1] 3.下列命题正确的是( A. 在( B. 函数 C. 函数 )

)内,存在 x,使 的图象的一条对称轴是 的周期为

D. 函数 y=2sinx 的图象可以由函数 到 4.函数 f(x)=Asin(ωx+? ) (其中 A>0,|? |< =sin2x 的图象,则只需将 f(x)的图象( )

的图象向左平移

个单位得

)的图象如图所示,为了得到 g(x)

A. 向右平移 C. 向左平移

个长度单位 B. 向右平移 个长度单位 D. 向左平移

个长度单位 个长度单位

5.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2 +log2(1﹣x)+a(a 为常数) , 则 f(3)=( ) A. B. C. ﹣6 D. 6

x

6.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,边 BC 上的高 AD=BC=1,则 b +c 的最小值为( ) A. 1 B. C. 2 D.

2

2

7. 在直角梯形 ACBD 中, AB∥CD, AD⊥AB, ∠B=45°, AB=2CD=2, M 为腰 BC 的中点, 则 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

=

8.设函数 f(x)=cosωx(ω>0) ,将 y=f(x)的图象向右平移 图象与原图象重合,则ω的最小值等于( A. B. 3 C. 6 D. 9 )

个单位长度后,所得的

9.已知函数 f(x)=(x+1) e ,设 k∈[﹣3,﹣1],对任意 x1,x2∈[k,k+2],则|f(x1) ﹣f(x2)|的最大值为( ) ﹣3 ﹣3 A. 4e B. 4e C. 4e+e D. 4e+1

2 x

10.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x>0 时,f(x)=

,若对任意实数 t∈ )

[ ,2],都有 f(t+a)﹣f(t﹣1)>0 恒成立,则实数 a 的取值范围是(

A. (﹣∞,﹣3)∪(0,+∞) B. (﹣1,0) C. (0,1) D. (﹣∞,1)∪(2, +∞)

二、填空题(本题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 f(x)= ,则满足 f(a)>2 的 a 的取值范围是 .

12.若正数 a,b 满足 a+2b=3,且使不等式 是 .

﹣m>0 恒成立,则实数 m 的取值范围

13. 已知向量

满足| |=1, | |=2, ( +2 ) ( ﹣ ) =﹣6, 则| ﹣2 |=



14.设 m>1,在约束条件

下,目标函数 z=x+5y 的最大值为 4,则 m 的值



. 的四个命题:

15.以下是关于函数 f(x)=

①f(x)的图象关于 y 轴对称; ②f(x)在区间[﹣1,0]∪[1,+∞)上单调递减; ③f(x)在 x=﹣1 处取得极小值,在 x=1 处取得极大值; ④f(x)有最大值,无最小值; ⑤若方程 f(x)﹣k=0 至少有三个不同的实根,则实数 k 的取值范围是(0,2) . 其中为真命题的是 (请填写你认为是真命题的序号) .

三、解答题(本题计 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程) 16.已知函数 f(x)= sin2x+ cos2x+a﹣2,

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)设函数 f(x)在[0, ]上的最小值为﹣ ,求函数 f(x) (x∈R)的值域.

17.已知函数 y=ln(2﹣x)[x﹣(3m+1)]的定义域为集合 A,集合 B={x| (1)当 m=3 时,求 A∩B; (2)求使 B? A 的实数 m 的取值范围. 18.在数列{an}中,已知 a1=﹣1,an+1=2an﹣n+1, (n=1,2,3,…) . (1)证明数列{an﹣n}是等比数列; (2) 为数列{bn}的前 n 项和,求 Sn 的表达式.

<0}

19.已知函数 f(x)=ax ﹣(a+2)x+lnx. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f (1) )处的切线方程; (2)当 a>0 时,若 f(x)在区间[1,e)上的最小值为﹣2,求 a 的取值范围. 20.已知数列{an},a1=a,a2=p(p 为常数且 p>0) ,Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn= (Ⅰ)求 a 的值; .

2

(Ⅱ)试判断数列{an}是不是等差数列?若是,求其通项公式;若不是,请说是理由. (Ⅲ)若记 Pn= + (n∈N ) ,求证:P1+P2+…+Pn<2n+3.
*

21.设函数 f(x)=a ﹣x(a>0,a≠1) (1)若 a=e(e 是自然对数的底数) ,求 f(x)的单调区间和极值; (2)若函数 y=f(|x|)在全体实数 R 上恰有 4 个零点,求实数 a 的取值范围.

x

2014-2015 学年安徽省蚌埠市固镇一中高三(上)11 月 段考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设全集 U 是实数集 R,M={x|x >1},N={x|0<x<2},则集合 N∩? UM=( A. {x|1<x<2} B. {x|0<x≤1} C. {x|0≤x≤1} D. {x|0<x<1} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据补集的定义求得? UM,再根据两个集合的交集的定义求得 N∩? UM. 2 解答: 解:∵M={x|x >1},N={x|0<x<2}, 2 ∴? UM={x|x ≤1}={x|﹣1≤x≤1}, ∴集合 N∩? UM={x|0<x≤1}, 故选:B. 点评: 本题主要考查补集的定义,两个集合的交集的定义和求法,属于基础题. 2.已知命题 p: “? x∈[0,1],a≥e ” ,命题 q: “? x∈R,x ﹣4x+a=0” ,若命题 p,q 均 是真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A. [4,+∞) B. [1,4] C. [e,4] D. (﹣∞,1] 考点: 复合命题的真假. 专题: 规律型. 分析: 分别求出命题 p,q 成立的等价条件,利用 p,q 都是真命题,确定实数 a 的取值范 围. 解答: 解:? x∈[0,1],a≥e ,则∴a≥e,即 p:a≥e. 2 若? x∈R,x ﹣4x+a=0,则判别式△=16﹣4a≥0,解得 a≤4, 即 q:a≤4. ∵p,q 都是真命题, ∴ ,解得 e≤a≤4.即实数 a 的取值范围是[e,4].
x x 2 2



故选 C. 点评: 本题主要考查复合命题的与简单命题真假之间的关系,求出命题 p,q 成立的等价条 件是解决此类问题的关键. 3.下列命题正确的是( A. 在( B. 函数 )

)内,存在 x,使 的图象的一条对称轴是

C. 函数

的周期为

D. 函数 y=2sinx 的图象可以由函数 到

的图象向左平移

个单位得

考点: 命题的真假判断与应用;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;复合三角函数的单调 性. 专题: 综合题. 分析: 根据正弦函数和余弦函数在( )内的值域,可判断 A 的真假;

根据正弦型函数的对称性,可以判断 B 的真假; 利用同角三角函数的基本关系及降次公式化简函数的解析式,进而根据余弦型函数的周期 性,可以判断 C 的真假; 根据正弦型函数的平移变换法则,可以判断 D 的真假. 解答: 解:当( 当 错误; 函数 =cos x= + cos2x,∵ω=2,故 T=π,故 C 错误
2

)内,cosx<0,故 =0,不等最值,故

,故 A 错误; 不是函数的对称轴,故 B

时,函数

将函数

的图象向左平移 =2sinx 的图象

个单位,可得函数

故选 D 点评: 本题考查的知识点是命题真假判断与应用,三角函数图象和性质的综合应用,熟练 掌握三角函数的值域,对称性,周期性及平移变换法则,是解答本题的关键. 4.函数 f(x)=Asin(ωx+? ) (其中 A>0,|? |< =sin2x 的图象,则只需将 f(x)的图象( )

)的图象如图所示,为了得到 g(x)

A. 向右平移 C. 向左平移

个长度单位 B. 向右平移 个长度单位 D. 向左平移

个长度单位 个长度单位

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 利用函数的图象求出 A,T,求出ω,利用函数的图象经过的特殊点,集合 ? 的范 围,求出 ? 得到函数的解析式,然后推出平移的单位与方向,得到选项. 解答: 解:由图象可知 将 根据|? |< 代入到 f(x)=sin(2x+φ)中得, 得到 ,所以函数 f(x)的解析式为 个长度单即可得到 g(x)=sin2x 的图象. ,从而 , , .

将 f(x)图象右移

故选 A. 点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,函数 y=Asin(ωx+φ)的 图象变换,考查计算能力. 5.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2 +log2(1﹣x)+a(a 为常数) , 则 f(3)=( ) A. B. C. ﹣6 D. 6
x

考点: 专题: 分析: 解答:

函数奇偶性的性质. 函数的性质及应用. 利用 函数的奇偶性,结合解析式求解. 解:∵f(x)为定义在 R 上的奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) ,
0

得 f(0)=0,2 +0=0 即 a=﹣1, x ∵当 x≤0 时,f(x)=2 +log2(1﹣x)+a(a 为常数) , ∴f(3)=﹣f(﹣3)=﹣2 ﹣log2(1+3)+1=﹣ 故选:A 点评: 考查了函数概念和性质,容易题. 6.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,边 BC 上的高 AD=BC=1,则 b +c 的最小值为( ) A. 1 B. C. 2 D.
2 2 ﹣3

考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 由三角形的面积公式可得, 可得 bc=
2

,结合已知 A 的
2

范围可求 sinA 的范围,进而可求 bc 的范围,然后由基本不等式可求 b +c 的最小值 解答: 解:由三角形的面积公式可得,

∴bc= ∵0<A<π ∴0<sinA≤1 ∴
2 2

,即 bc≥1 当 A=

时取等号

∵b +c ≥2bc≥2 当且仅当 b=c= 时取等号

故选 C 点评: 本题主要考查了三角形的面积公式、正弦函数的性质及基本不等式在求解最值中的 综合应用,属于知识的综合应用

7. 在直角梯形 ACBD 中, AB∥CD, AD⊥AB, ∠B=45°, AB=2CD=2, M 为腰 BC 的中点, 则 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

=

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题. 分析: 以直角梯形的两个直角边为坐标轴,写出点的坐标,求出向量的坐标,利用向量数 量积的坐标形式的公式求. 解答: 解:以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,建立直角坐标系. 则:A(0,0) ,B(2,0) ,D(0,1) ,C(1,1) ,M( 因为 AB=2CD=2,∠B=45,所以 AD=DC=1,M 为腰 BC 的中点, 则 M 点到 AD 的距离= (DC+AB)= ,M 点到 AB 的距离= DA= 所以 所以 =9/4﹣1/4=2. , , .

故答案为 B 点评: 本题考查通过建立直角坐标系将几何问题问题转化为代数问题;考查向量的坐标形 式的数量积公式.

8.设函数 f(x)=cosωx(ω>0) ,将 y=f(x)的图象向右平移 图象与原图象重合,则ω的最小值等于( A. B. 3 C. 6 D. 9 )

个单位长度后,所得的

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的求值.

分析: 函数图象平移 期,容易得到结果.

个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明函数平移整数个周

解答: 解:f(x)的周期 T=

,函数图象平移

个单位长度后,所得的图象与原图象重

合,说明函数平移整数个周期,所以

,k∈Z.令 k=1,可得ω=6.

故选 C. 点评: 本题是基础题,考查三角函数的图象的平移,三角函数的周期定义的理解,考查技 术能力,常考题型. 9.已知函数 f(x)=(x+1) e ,设 k∈[﹣3,﹣1],对任意 x1,x2∈[k,k+2],则|f(x1) ﹣f(x2)|的最大值为( ) ﹣3 ﹣3 A. 4e B. 4e C. 4e+e D. 4e+1 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: 求导函数,求得函数的单调区间,进而可求函数的最值,即可求得结论. 解答: 解:求导函数,可得 f′(x)=(x+1) e =(x +4x+3)e , 令 f′(x)>0,可得 x<﹣3 或 x>﹣1;令 f′(x)<0,可得﹣3<x<﹣1 ∴函数的单调增区间为(﹣∞,﹣3) , (﹣1,+∞) ,单调减区间为(﹣3,﹣1) ∵k∈[﹣3,﹣1],x1,x2∈[k,k+2],f(﹣3)=4e ,f(﹣1)=0,f(1)=4e ∴f(x)max=f(1)=4e,f(x)min=f(﹣1)=0 ∴|f(x1)﹣f(x2)|的最大值为 4e, 故选 B. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的最值,求导确定函数的最值是关键.
﹣3 2 x 2 x 2 x

10.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x>0 时,f(x)=

,若对任意实数 t∈ )

[ ,2],都有 f(t+a)﹣f(t﹣1)>0 恒成立,则实数 a 的取值范围是(

A. (﹣∞,﹣3)∪(0,+∞) B. (﹣1,0) C. (0,1) D. (﹣∞,1)∪(2, +∞) 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 当 x>0 时,f(x)= =1﹣ ,可得 f(x)在(0,+∞)单调递增.由于对任

意实数 t∈[ ,2],都有 f(t+a)﹣f(t﹣1)>0 即 f(t+a)>f(t﹣1)恒成立,又 f (x)是定义在 R 上的偶函数,可得|t+a|>|t﹣1|,转化为(2a+2)t+a ﹣1>0,利用一次 函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵当 x>0 时,f(x)= =1﹣ ,∴f(x)在(0,+∞)单调递增.
2

∵对任意实数 t∈[ ,2],都有 f(t+a)﹣f(t﹣1)>0 即 f(t+a)>f(t﹣1)恒成立, 又 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴|t+a|>|t﹣1|, ∴(2a+2)t+a ﹣1>0,
2





解得 a>0 或 a<﹣3 则实数 a 的取值范围是 a>0 或 a<﹣3. 故选:A. 点评: 本题考查了函数的奇偶性、单调性、不等式的解法,考查了转化能力,考查了推理 能力与计算能力,属于难题. 二、填空题(本题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 已知 f (x) = , 则满足 f (a) >2 的 a 的取值范围是 x<﹣1 或 x>4 .

考点: 指、对数不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 本题先对参数 a 进行讨论,确定 f(a)的表达式,再解不等式 f(a)>2,得到 a 的取值范围,即本题结论. 解答: 解:∵f(x)= f(a)>2, ∴当 a≥1 时, 原不等式转化为 log2a>2, 解得:a>4. ∴a>4; 当 a<1 时, 原不等式转化为 a ﹣a>2, 解得:a<﹣1 或 a>2, ∴a<﹣1. 综上,x<﹣1 或 x>4. 故答案为:x<﹣1 或 x>4. 点评: 本题考查的是对数不等式的解法、一元二次不等式的解法,还有分类讨论的数学思 想,本题难度适中,有一定的运算量,属于中档题.
2



12.若正数 a,b 满足 a+2b=3,且使不等式 m .

﹣m>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 分离参数 m,然后利用基本不等式求出 解答: 解:不等式 恒成立, ∵a+2b=3, ∴ 则 当且仅当 ,即 a=b=1 时上式等号成立. . , . ﹣m>0 恒成立,即 的最小值得答案.

∴实数 m 的取值范围是 故答案为: .

点评: 本题考查了恒成立问题,考查了分离变量法,训练了利用基本不等式求最值,是中 档题.

13.已知向量

满足| |=1,| |=2, ( +2 ) ( ﹣ )=﹣6,则| ﹣2 |=



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先根据已知条件求出 解答: 解: ∴ ∴ ; = . ,然后根据 = 求出结果即可. ;

故答案为: . 点评: 考查数量积的运算,以及求向量长度的方法:对向量的平方开方.

14.设 m>1,在约束条件

下,目标函数 z=x+5y 的最大值为 4,则 m 的值为 3 .

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;压轴题;数形结合. 分析: 根据 m>1,我们可以判断直线 y=mx 的倾斜角位于区间( , )上,由此我们不

难判断出满足约束条件

的平面区域的形状,再根据目标函数 z=x+5y 在直线 y=mx

与直线 x+y=1 交点处取得最大值,由此构造出关于 m 的方程,解方程即可求出 m 的取值范 围.

解答: 解:满足约束条件

的平面区域如下图所示:

目标函数 z=x+5y 可看做斜率为﹣ 的动直线,其纵截距越大 z 越大, 由 当 x= 可得 A 点( ,y= 时, ; , )

目标函数 z=x+5y 取最大值为 4,即 解得 m=3. 故答案为:3.

点评: 本题考查的知识点是简单线性规划的应用,其中判断出目标函数 z=x+my 在 点取得最大值,并由此构造出关于 m 的方程是解答本题的关键.

15.以下是关于函数 f(x)=

的四个命题:

①f(x)的图象关于 y 轴对称; ②f(x)在区间[﹣1,0]∪[1,+∞)上单调递减; ③f(x)在 x=﹣1 处取得极小值,在 x=1 处取得极大值; ④f(x)有最大值,无最小值; ⑤若方程 f(x)﹣k=0 至少有三个不同的实根,则实数 k 的取值范围是(0,2) . 其中为真命题的是 ①④⑤ (请填写你认为是真命题的序号) . 考点: 专题: 分析: 解答: 正确; 根的存在性及根的个数判断;函数的图象. 函数的性质及应用. 先求出函数的对称性,单调性,画出函数的草图,从而得出答案. 解:①定义域关于原点对称,f(﹣x)=f(x) ,f(x)的图象关于 y 轴对称,故①

②x>0 时,f(x)= 在[1,+∞)递减, x≤0 时,f(x)=

,f′(x)=

,令 f′(x)≤0,解得:x>1,∴f(x)

,f′(x)=

,令 f′(x)≤0,解得:﹣1≤x≤0,∴

f(x)在[﹣1,0]递减, 画出函数 f(x)的草图:

∴f(x)分别在区间[﹣1,0]和[1,+∞)上单调递减,故②错误; ③f(x)在 x=﹣1 处取得极大值,在 x=1 处取得极大值,故③错误; ④由②中的图象得:④正确; ⑤由②中的图象得:⑤正确; 故答案为:①④⑤. 点评: 本题考查了函数的单调性,函数的极值问题,是一道中档题. 三、解答题(本题计 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程) 16.已知函数 f(x)= sin2x+ cos2x+a﹣2,

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)设函数 f(x)在[0, ]上的最小值为﹣ ,求函数 f(x) (x∈R)的值域.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)直接结合三角恒等变换公式化简,然后,借助于三角函数的单调性求解其单调 区间; (2)结合[0, ],然后,借助于三角函数的单调性确定其值域. sin2x+ cos2x+a﹣2, , . , ,

解答: 解: (1)∵函数 f(x)= ∴ 其单调递增区间为 (2)∵ 则

∴ . ∴函数 f(x) (x∈R)的值域[﹣ , ]. 点评: 本题重点考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识,属于中档题.

17.已知函数 y=ln(2﹣x)[x﹣(3m+1)]的定义域为集合 A,集合 B={x| (1)当 m=3 时,求 A∩B; (2)求使 B? A 的实数 m 的取值范围. 考点: 集合关系中的参数取值问题;集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题;集合. 分析: (1)当 m=3 时, (2﹣x) (x﹣10)>0, <0,从而求 A∩B;

<0}

(2)分类讨论,先以 B 是否是空集讨论,再讨论 2 与 3m+1 的大小关系,从而解得. 解答: 解: (1)当 m=3 时, 由(2﹣x) (x﹣10)>0 得,2<x<10,A=(2,10) ; 由 <0 解得,3<x<8,即 B=(3,8) ;

则 A∩B=(3,8) . (2)若 B=? ,则 m ﹣m﹣1=0, 即 m= ± 时,A≠? ,成立;
2

若 3m+1>2,即 m> 时,A=(2,3m+1) ,

则若使 B? A,即

,解得,2≤m≤



若 3m+1<2,即 m< 时,A=(3m+1,2) ,

则若使 B? A,即

,解得,

≤m≤



综上所述,实数 m 的取值范围为

≤m≤

或 2≤m≤

或 m= +



点评: 本题考查了集合的包含关系的应用及分类讨论的数学思想,属于基础题. 18.在数列{an}中,已知 a1=﹣1,an+1=2an﹣n+1, (n=1,2,3,…) . (1)证明数列{an﹣n}是等比数列; (2) 为数列{bn}的前 n 项和,求 Sn 的表达式.

考点: 数列的求和;等比关系的确定. 专题: 计算题;证明题. 分析: (I)此证明题应从结论中找方法,要证明数列{an﹣n}是等比数列,将题设中的条 件 an+1=2an﹣n+1 变形为 an+1﹣(n+1)=2(an﹣n)即可; (II)由(I)结论可求出 bn,由通项公式的形式可以看出,本题宜先用分组求和的技巧, 然后对其一部分用错位减法求和.最后将结果综合起来. 解答: 解:∵an+1=2an﹣n+1,∴an+1﹣(n+1)=2(an﹣n) ∴ =2,a1﹣1=﹣2

∴数列{an﹣n}是以﹣2 为首项,2 为公比的等比数列. (6 分) (2)由(1)得:an﹣n=(﹣2)×2 ∴Sn=b1+b2+… +bn= =
n﹣1

=﹣2 ,∴an=n﹣2 ,bn=

n

n

令 Tn=

,则 Tn=



两式相减得: Tn=

=

∴Tn=

,即 Sn═

﹣n

(12 分)

点评: 本题是一道综合性较强的题,要观察分析,判断,选择合适的方法,如(I)的求解 要从证明的结论中找变形方向; (II)中的求解要边变形边观察,化整为零,分块求解,这 对答题者分析判断的能力要求较高 19.已知函数 f(x)=ax ﹣(a+2)x+lnx. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f (1) )处的切线方程; (2)当 a>0 时,若 f(x)在区间[1,e)上的最小值为﹣2,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先求出 f(1)及 f′(1)的值,然后代入点斜式方程即可得到曲线 y=f(x) 在点(1,f (1) )处的切线方程; (2)确定函数的定义域,求导函数,利用导数的正负,分类讨论,即可求得函数的单调区 间,从而可求出 f(x)在区间[1,e)上的最小值,建立等式可求出所求. 解答: 解: (1)当 a=1 时,f(x)=x ﹣3x+lnx,f′(x)=2x﹣3+ , ∵f′(1)=0,f(1)=﹣2,∴切线方程为:y=﹣2. (2)函数 f(x)=ax ﹣(a+2)x+lnx 的定义域为(0,+∞) . 当 a>0 时,f′(x)=2ax﹣(a+2)+ = (x>0) ,
2 2 2

令 f′(x)=0,即 f′(x)= ∴x= 或 x= , 当

=0,

,即 a≥1 时,f(x)在[1,e]上单调递增,

所以 f(x)在[1,e]上的最小值是 f(1)=﹣2; 当 当 时,f(x)在[1,e]上的最小值是 时,f(x)在[1,e]上单调递减, ,不合题意;

所以 f(x)在[1,e]上的最小值是 f(e)<f(1)=﹣2,不合题意, 故 a 的取值范围为[1,+∞) . 点评: 本题考查了导数的几何意义,导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜 率, 解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上. 利用导数研究函数在闭区间上的最值, 一般是求出导函数对应方程的根,然后求出跟对应的函数值,区间端点的函数值,然后比较 大小即可得到函数在闭区间上的最值.属于中档题. 20.已知数列{an},a1=a,a2=p(p 为常数且 p>0) ,Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn= .

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)试判断数列{an}是不是等差数列?若是,求其通项公式;若不是,请说是理由. (Ⅲ)若记 Pn= + (n∈N ) ,求证:P1+P2+…+Pn<2n+3.
*

考点: 数列的求和;等差关系的确定. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由 a1=S1 可求 a; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ,则 ,两式相减得(n﹣1)an+1=nan,利用累

乘法可求得 an,由 an 可得结论; (Ⅲ)由(Ⅱ)可得 Pn= +Pn,于是可得结论; 解答: 解: (Ⅰ)依题意 a1=a,又 a1= ∴a=0; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a1=0, ∴ ,则 ,两式相减得(n﹣1)an+1=nan, =0, + = =2+ ,由裂项相消法可求得 P1+P2+…

故有

=(n﹣1)p,n≥2,

又 a1=0 也满足上式,∴an=(n﹣1)p,n∈N+, 故{an}为等差数列,其公差为 p. (Ⅲ)由题意 ,

∴Pn=

+

=

=2+



∴P1+P2+…+Pn=(2+ ﹣ )+(2+ ﹣ )+…+(2+ =2n+3﹣ <2n+3.



点评: 该题考查等差关系的确定、数列求和等知识,裂项相消法、累乘法是解决数列问题 的基本方法,要熟练掌握. 21.设函数 f(x)=a ﹣x(a>0,a≠1) (1)若 a=e(e 是自然对数的底数) ,求 f(x)的单调区间和极值; (2)若函数 y=f(|x|)在全体实数 R 上恰有 4 个零点,求实数 a 的取值范围.
x

考点: 根的存在性及根的个数判断;指数函数综合题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)将 a=e 代入求出函数解析式,可得导函数的解析式,进而求出 f′(x)>0 时和 f′(x)<0 时自变量的范围,得到 f(x)的单调区间,同时根据极值的定义,求出 极值; (2)函数 y=f(|x|)是偶函数,要使它在全体实数 R 上恰有 4 个零点,只须 y=f(x)在(0, +∞)上有 2 个零点,即 在(0,+∞)有 2 解,构造函数 ,利用导数

法,可求出满足条件的实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)f(x)=e ﹣x,则 f′(x)=e ﹣1…(2 分) 当 f′(x)>0 时,解得 x>0,f(x)在[0,+∞)上单调递增, 当 f′(x)<0 时,解得 x<0,f(x)在(﹣∞,0]上单调递减.…(2 分) 所以 x=0 是极小值点,f 极小值=f(0)=1…(2 分) (2)函数 y=f(|x|)是偶函数,要使它在全体实数 R 上恰有 4 个零点,只须 y=f(x)在(0, +∞)上有 2 个零点,…(2 分) 要使方程 a =x 在(0,+∞)有 2 解,则有
x x x

在(0,+∞)有 2 解,…(2 分)



,则

…(1 分)

当 x>e 时,g'(x)<0,g(x)单调递减,且 当 0<x≤e 时,g'(x)>0,g(x)单调递增,且 根据图象可知 , …(4 分)



…(2 分)

点评: 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,指数函数的图象和性质,导数法 求函数的单调区间及最值, 其中熟练掌握利用导数确定函数单调区间和极值的方法步骤是解 答的关键.


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