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2016年全国高中数学联赛湖北省预赛试题(高二年级)(PDF版,含答案)


2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案和评分标准 (高二年级)
说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅, 请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考 本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中

间档次. 一、填空题(本大题共10小题,每小题9分,共90分.) 1 ? f ( x) 1. 已知函数 f ( x) 满足:f (1) ? 2 ,f ( x ? 1) ? 对定义域内任意 x 都成立.那么,f (2016) 1 ? f ( x) 1 = . 3 2 . 从 五 个 正 整 数 a, b, c, d , e中 任 取 四 个 求 和 , 得 到 的 和 值 构 成 集 合 {44, 45, 46, 47} ,则 57 . a? b? c? d ? e ? 3.已知△ ABC 是等边三角形,椭圆 ? 的一个焦点为 A ,另一个焦点 F 在线段 BC 上,如果椭 3 圆 ? 恰好经过 B, C 两点,则它的离心率为 . 3
4.已知实数 x, y 满足

x2 ? y 2 ? 1 ,则 P ?| 2 x ? y ? 4 | ? | 4 ? x ? 2 y | 的取值范围是 [2,14] . 3

5.袋子中有 5 个白球、4 个红球和 3 个黄球,从中任意取出 4 个球,各种颜色的球都有的概率 为

6 11

.
14 . 个.(说明:全等的三角形视

6.以正十三边形的顶点为顶点的形状不同的三角形共有 为形状相同.) 7.已知质数 p, q 满足 q ? 2 p ? 1 ,则 p ? q ?
5 2

14

8.已知四面体的一条棱长为 6,其余棱长均为 5,则这个四面体的外接球的半径为

20 39 39

.

9. 已知 MN 是边长为 2 6 的等边△ ABC 的外接圆的一条动弦, MN =4, P 为△ ABC 的边 上的动点,则 MP ? PN 的最大值为

???? ??? ?

4



10.设 [a ] 表示不大于 a 的最大整数,则方程 [ ] ? [ ] ? 1 的最大正整数解为 二、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分。 )
2

x 7

x 8

104



11.已知 A ? {x | x ? x} , B ? {x | x ? log a x} ,且 B ? A ,求实数 a 的取值范围.
2

解 易知 A ? {x | 0 ? x ? 1} ,显然有 a ? 0 且 a ? 1 . (1)当 0 ? a ? 1 时,若 x ? log a x ,则必有 0 ? x ? 1 ,此时恒有 B ? A .
2

………………………………………(5 分)

log a x ? 0 , (2) 当 a ? 1 时, 对于满足 0 ? x ? 1 的任意 x , 一定有 x ? 0 , 此时必有 x ? log a x ,
2
2

所以, A ? B ? ? .又 B ? A ,所以 B ? ? . 设 f ( x) ? x ? log a x ,则 B ? ? 等价于: f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立.
2

………………………………………(10 分)

1 1 ? 0 ,得 x0 ? ,可知: f ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 , ??) 上 2ln a x ln a 单调递增.所以, f ( x) 的最小值为 f ( x0 ) .
令 f ?( x) ? 2 x ?
2016 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准(高二) 第1页(共 3 页)

要使得 f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,只需 f ( x0 ) ? 0 即可. ………………………………………(15 分)

1 ? log a f ( x0 ) ? 0 ? 2ln a

1 1 ln 1 1 ?0 ? ? 2 2 ln a ? 0 2ln a 2 ln a ln a
1

? 1 ? ln(2ln a) ? 0 ? a ? e 2e .
综合(1) 、 (2)可知:实数 a 的取值范围 (0,1) ? [e , ??) . ………………………………………(20分) 12.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f (1) ?
1 2e

f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) ? f ( x ? y )
(1)求数列 {an } 的通项公式;

10 ,且对任意实数 x, y ,恒有 3


若数列 {an } 满足 an ? 3 f (n) ? f (n ? 1) , n ? N .
*

24an * , n ? N , S n 是数列 {bn } 的前 n 项和,求证: Sn ? 1 . 2 (3an ? 8) 10 解 在①式中令 x ? 1 , y ? 0 ,得 f (1) f (0) ? 2 f (1) ,又 f (1) ? ,所以 f (0) ? 2 . 3 10 在①式中令 x ? n ,y ? 1 , f (n) f (1) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) , 所以 f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ? 1) . 3
(2)令 bn ? ………………………………………(5 分) 所以 an?1 ? 3 f (n ? 1) ? f (n) ? 9 f (n) ? 3 f (n ?1) ? 3[3 f (n) ? f (n ?1)] ? 3an . 又 a1 ? 3 f (1) ? f (0) ? 8 ,所以 an ? 8 ? 3 (2) bn ?
n ?1
n ?1

. ………………………………………(10 分)
n

24an 24 ? 8 ? 3 3 . ? ? n 2 n ?1 2 (3an ? 8) (3 ? 8 ? 3 ? 8) (3 ? 1) 2 1 k ?1 * k 容易证明: 3 ? 1 ? (3 ? 1) 对一切 k ? N 恒成立. 4 k 3 4 ? 3k 1 1 从而可得 bk ? k ? ? 2( k ? k ?1 ) , 2 k k ?1 (3 ? 1) (3 ? 1)(3 ? 1) 3 ?1 3 ?1
………………………………………(15 分) 所以

1 1 1 1 1 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ??? ( n ? n?1 )] 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 2 ? 2( 1 ? n?1 ) ? 1 ? n ?1 ? 1. 3 ?1 3 ?1 3 ?1 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2[(
1

………………………………………(20 分) 13.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 外一点 P 向抛物线作两条切线,切点为 M 、 N , F 为抛物线的 焦点.证明:
2

(1) | PF | ?| MF | ? | NF | ;
2

(2) ?PMF ? ?FPN . 证明 设 P( x0 , y0 ) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,易求得切线 PM 的方程为 y1 y ? p( x ? x1 ) ,切线

PN 的方程为 y2 y ? p( x ? x2 ) .
因为点 P 在两条切线上,所以有 y1 y0 ? p( x0 ? x1 ) , y1 y0 ? p( x0 ? x1 ) ,故点 M 、 N 均在直线
2016 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准(高二) 第2页(共 3 页)

y0 y ? p( x ? x0 ) 上,所以直线 MN 的方程为 y0 y ? p( x ? x0 ) .
2 ? y0 y ? p( x ? x0 ), y0 2 2 2 2 联立 ? 2 得 [ p( x ? x0 )] ? 2 pxy0 ,即 x ? 2( x0 ? ) x ? x0 ? 0 . p ? y ? 2 px, y2 2 由韦达定理可知: x1 ? x2 ? 2( 0 ? x0 ) , x1 x2 ? x0 . p

………………………………………(5 分) (1)因为 F (

p p p , 0) ,由抛物线的第二定义可得 | MF |? x1 ? , | NF |? x2 ? ,所以 2 2 2 2 2 y p p p p p p2 2 | MF | ? | NF |? ( x1 ? )( x2 ? ) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ? x0 ? ? [2( 0 ? x0 )] ? 2 2 2 4 2 p 4
2 0 2 0

p2 p 2 ? x ? y ? px0 ? ? ( x0 ? )2 ? y0 ?| PF |2 , 4 2 2 因此 | PF | ?| MF | ? | NF | . ………………………………………(10 分) ??? ? ???? ? ???? p p p (2)因为 FP ? ( x0 ? , y0 ) , FM ? ( x1 ? , y1 ) , FN ? ( x2 ? , y2 ) ,所以 2 2 2 2 ??? ? ???? ? p p p p FP ? FM ? ( x0 ? , y0 ) ? ( x1 ? , y1 ) ? x0 x1 ? ( x0 ? x1 ) ? ? y0 y1 2 2 2 4 p p2 p p2 p p ? x0 x1 ? ( x0 ? x1 ) ? ? p( x0 ? x1 ) ? x0 x1 ? ( x0 ? x1 ) ? ? ( x0 ? )( x1 ? ) , 2 4 2 4 2 2 ? ???? ? p ??? 又 | MF |? x1 ? , FP ? FM ?| FP | ? | MF | cos ?PFM ,所以 2 p p p ??? ? ???? ? ( x0 ? )( x1 ? ) x0 ? FP ? FM 2 2 ? 2 . cos ?PFM ? ? p | FP | ? | MF | | FP | | FP | ?( x1 ? ) 2
………………………………………(15 分)

p 2. 同理可得 cos ?PFN ? | FP | 所以 cos ?PFM ? cos ?PFN ,所以 ?PFM ? ?PFN . 2 结合 | PF | ?| MF | ? | NF | 可得△ MFP ∽△ PFN ,所以 ?PMF ? ?FPN . x0 ?
………………………………………(20 分)

2016 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准(高二)

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