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指数函数


一:实例1 ?

有一种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分 裂成4个,· · · 1个这样的细胞分裂x次会得到多少个 细胞? 一个细胞未分裂时

一:实例1 ?

有一种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分 裂成4个,· · · 1个这样的细胞分裂x次会得到多少个 细胞? 细胞第一次分裂后一个变为二个
<

br />一分为二

一:实例1 ?

有一种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分 裂成4个,· · · 1个这样的细胞分裂x次会得到多少个 细胞? 细胞第二次分裂后一个变为四个

二分为四

一:实例1
?

有一种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂 成4个,· · · 1个这样的细胞分裂x次会得到多少个细 胞? 细胞第三次分裂后一个变为八个

一:实例1 ?

有一种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分 裂成4个,· · · 1个这样的细胞分裂x次会得到多少个 细胞?

第x次分裂后一个变为y个

:你能总结出细胞 ? 个数 y 与细胞分裂次数 x
的关系式吗?

一:实例1
?

有一种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂 成4个,· · · 1个这样的细胞分裂x次会得到多少个细 胞? 解:细胞个数y与细胞 分裂次数x的关系式是

x y=2

x? N*

分裂次数 细胞个数

1 2

2 4

3 8

4 16

… …

x y=?

一:实例2: 庄子曰:一尺之棰,日取其半 , 万世不竭。
解:木棒长度y与经历天数x的关系式是

y

1 x ?( ) 2

x?N

*

一:实例3:
某台机器的价值每年折旧率为6%,写出 经过X年,这台机器的价值Y与X的关系。

经 过 折 旧 6%

第 一 年

第 二 年

第 三 年

第 四 年
x

经过
*

y ? (0.94)
折 旧 6% 折 旧 6%

x?N

X年

设 机 器 的 价 值 为 1

折 旧
6%

机器 价值

Y

(0.94)

1

(0.94)

2

(0.94)

3

(0.94) …...
4

(0.94)X

观察: y ? 2 x,x ? N *
y ? ?0.94? ,x ? N
x

?1? y ? ? ? ,x ? N * ? 2?
*

x

具有什么共同特征?

都是指数形式的,底数是一个大于零的常数。 思考:
这些关系能否构成函数?



像 y ? 2 ,x ? N
x
x

*

?1? y ? ? ? ,x ? N * ? 2?

x

y ? ?0.94? ,x ? N *

这样的函数与我们学过的一次函数、二次函数、 反比例函数一样吗?

这类函数与我们学过的函数有什麽区别? 你能从以上三个解析式中抽象出一个更 具有一般性的函数模型吗?

一、指数函数的概念:

一般地,函数y=a (a>0,a≠1) 叫做指 数函数,其中x是自变量,函数的定 义域是R。

x

定义域为什 么是实数集?

为什么要规定

a>0,a≠1?

Y=ax 中a的范围:

当a=0时,若X>0



a ?0
X

若X≤0 则
X

a 无意义
1 2

X

a 不一定有意义,如( ? 2) 当a<0时,

Y ? 1 ? 1是常量 当a=1时,
X

为了便于研究,规定:a>0 且a≠1

判断下列函数是否是指数函数

y ? 2?3

x

y ?3 3 y?x

x?1

y ? (?4) x y??

x

y?4

x2

y ? ?3

x
x

y?x

x

1 y ? (2a ? 1) (a ? ,且 a ? 1) 2

设问2:我们研究函数的性质,通

常都研究哪几个性质? 函数的三要素:定义域、对应关系 和值域;函数的基本性质:单调性 和奇偶性。
用描点法绘制 y ? 2 的草图:
x

1 x y ? ( ) 的草图: 用描点法绘制 2

1、 用列表描点的方法作出 函数

y ? 2x (x ? R)的图像。
1 2 2 4 3 8
… …

x
y ? 2x

… …

-3

-2

-1

0 1

0.13 0.25 0.5

y

4 3 (1,2) 2

(2,4)

y ? 2x (x ? R)

x
y ? 2x

(-2,0.25)

(-1,0.5) -1

(0,1)

1

y=1
0 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

x

1 x 2、 用列表、 描点的方法作出函数 y ? ( ) (x ? R )的图像。 2

x
y? ( 1 x ) 2

… …

-3

-2

-1

0 1
4 3 2 1 (0,1)

1

2

3

… …

8
(-2,4)

4

2

0.5 0.25 0.13

y

y ?(

1 x ) (x ? R) 2
(-1,2)

(1,0.5) 1 2

(2,0.25)

y=1
4

-4

-3

-2

-1

0 -1

3

x

1 3 、 比较函数 y ? 2 x ( x ? R)与函数 y ? ( ) x图像, 得出指数 2 函数的性质。

两函数图象有 什么共同点, 又有什么不同 特征?

y

4 3 2 (0,1) 1

影响函数图 象特征的主 要因素是什 么?
y ? 2 x (x ? R)

1 x y ?( ) ( x ? R) 2

y=1
2 3 4

-4

-3

-2

-1

0 -1

1

x

0<a<1 图

a>1


定 义 域 值 域 性 质
R

?0,???
过定点(0,1)即X=0时,Y=1 在R上是减函数 在R上是增函数

例题1,已知指数函数 的图像经过 x ?3, ? ? y ? a , (a ? 0,且a ? 1) 求:f(0),f(1)和f(-3)。

例题2,比较下列各题中两个值的大小。
1)1.7 2.5, 1.73
?.1 0.8?0.2 2)0.8 ,

3)1.7 0.3, 0.93.1

小结:

指数函数: f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1)

指数函数的图像和性质:

0<a<1 图

a>1


定 义 域 值 域 性 质
R

?0,???
过定点(0,1)即X=0时,Y=1 在R上是减函数 在R上是增函数

作业:P59

6、7、8题

指数函数图象与性质的应用:
例1、指数函数

y ?a ,y ?b ,y ?c ,y ?d
x x x

x

的图象如下图所示,则底数

aa,b,c,d , b, c, d

与正整数 1

共五个数,从大到小的顺序是 : 0 ? b ? a ? 1 ? d ? c .
y

x x y ? b y ?b xx a yy ?? a

1

yy ?? d

y? ?c c y
x

xx

d

x

x 0

例2 如图,曲线是指数函 y ? a x 的图 1 1 象,已知 a 取 2, ,3, 四个值,则相应于曲
线 C1 , C2 , C3 , C4 的 a 依次为( D )
( A) ( B) (C ) ( D) 1 1 2, ,3, 2 3 1 1 3,2, , 2 3 1 1 , ,2,3 3 2 1 1 2,3, , 3 2
2 3

C4 C3

Y C2 C1

1 O X

:例3:比较下列各组数的大小:
(1)1.7 (3) 3.25
2.5

和1.7

3

(2)0.8

-0.1

和0.8
x

-0.2

-4.3

和1
3

分析:(1)1.7 和1.7 3时的函数值
y

2.5

可以看作函数y=1.7 当x分别为2.5和 x
x
y
(0,1)

Y=1.7

Y=0.8

(0,1)

2.5 3 x

-0.2 -0.1 -0.2

O

x

2.5
1.7 1.7 3

0.8

0.8

-0.1

3.下列不等式中 , 正确的是( D ) ?1? ?1? ?1? ( A) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 3? ? 2? ?1? ?1? ?1? (C ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 2? ? 2?
2 3
2 3 1 3 2 3 2 3 1 3

?1? ?1? ?1? ( B) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2? ? 3?
2 3 2 3

1 3

2 3

2 3

2 3

?1? ?1? ?1? ( D) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 2? ? 2?

1 3

1 1 解: ? y ? x 增函数且 ? 3 2 x 2 1 ?1? ? y ? ? ? 是减函数且 ? 3 3 ?2?
第17张

?1? ?1? ?? ? ? ? ? ? 3? ?2? ?1? ?1? ?? ? ? ? ? ?2? ?2?
2 3

2 3

2 3

1 3

b的大小

4 4。已知 ( ) 7

a

4 ?( ) ,比较a. 7

b

5、已知y=f(x)是指数 函数,且f(2)=4,求 函数y=f(x)的解析式。

6、某种放射性物质不断衰变为其 他物质,每经过一年它剩余的质 量约是原来的84%,画出这种物 质的剩余量随时间变化的图象, 并从图象上求出经过多少年,剩 余量是原来的一半。(结果保留1 位有效数字)

解:设这种物质最初的质量是1, 经过x年,剩余量是y 由题意得: y=0.84x 根据函数列表:
x y 0 1 1 0.84 2 0.71 3 0.59 4 0.50 5 0.42

根据图表数据画出图象

y
1 0.5 0 4 x

由图象可以看出 y=0.5 只需x ? 4 答:大约经过4年剩余量是原来的 1/2

跟踪练习:
x (1)指数函数Y= a

(0< a<1)

( a>1)

过点(1,1.7) ,

1
0

说出a的范围并指出它的奇偶性和单调性。
x

1

练:指数函数y=b 过点(1, 0.3),说出b的范围并指出它的奇偶性和单调性。
答案: 0< b<1,是非奇非偶函数,x在(-∞,+∞) 上Y= b 是减函数
x

(2)指数函数Y=a ,Y=b ,Y=c ,Y=m 的图象如图,试判断底数a、 b、c、m的大小。 分析:显然 0< b<1, 0< m <1,
Y=b
x

x

x

x

x

Y=m x

Y=c

x

Y=a

x

c>1,a>1。只须b和m比大小,c和a 比大小。请看动态图找出结论。

0

点滴收获: 1. 本节课学习了那些知识?

2.如何记忆函数的性质?

点滴收获: 1. 本节课学习了那些知识? 指数函数的定义 指数函数的图象及性质 2.如何记忆函数的性质?

点滴收获: 1. 本节课学习了那些知识? 指数函数的定义 指数函数的图象及性质 2.如何记忆函数的性质? 3.记住两个基本图形:
1

数形结合的方法记忆 y
Y ? 2x
y=1

Y ? (0.5) x

o

x

课后作业: 1.阅读课本有关内容

2.课本练习:略
3.研究题: (1)画出 Y ? 2 及 Y ? (0.5) 的草图
x

x

(2)利用函数 Y=2x 的图像,在同一 -x x Y=-2 坐标系中分别画出Y=-2 , 的草图

再见


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