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高中数学必修1 第一章1.1.1 《集合与函数的概念》经典导学案


高中数学必修 1

第一章
【学习目标】

集合与函数的概念
来表示. 6.元素与集合的关系: 如果 a 是集合 A 的元素, 就说 , 记作 ,读作 . 如 果 a 不 是 集 合 A 的 元 素 , 就 说 ,记作 ,读 作 . 7.常用的数集及其记法: (1)自然数集: ,记作 或 . (2)正整数集: ,记作 .

(3) 整 数 集: , 记作 . (4) 有理数集: ,记作 . (5)实 数 集: ,记作 . 对点练习:2.用符号∈或 ? 填空: (1)1_____N,0____N,-3____N,0.5____N, ; (2)1_____Z,0____Z,-3____Z,0.5____Z, 2 ____Z; (3)1____Q,0____Q,-3____Q,0.5____Q, 2 ____Q; (4)1____R,0____R,-3____R,0.5____R, 2 ____R.

1.1.1 集合的含义(一)

1. 通过实例了解集合的含义 , 体会元素与集合 的 “ 属于 ” 关系 , 能选择集合不同的语言形式描述具 体的问题,提高语言转换和抽象概括能力 ,树立用集 合语言表示数学内容的意识. 2.掌握集合元素的确定性、互异性、无序性,掌 握常用数集及其专用符号 ,并能够用其解决有关问 题,提高学生分析问题和解决问题的能力 ,培养学生 的应用意识.

【新知自学】
知识回顾:
1.素数的概念: . 请举出几个素数的例子. 2. 初 中 学 习 的 “ 自 然 数 的 集 合 ” 、 “不等式 x ? 5 ? 3 集合”的含义是什么? 新知梳理: (观察课本 P2 的 8 个语句, 思考并填写下列空 格) 各语句研究的对象分别是什么? 1.元素:一般地,我们把 统 称为元素. 2.集合:把一些组成元素的 叫做集合 (简称为集). 对点练习:1. 写出下面集合中的元素: (1){大于 3 小于 11 的偶数}; (2){平方等于 1 的数}; (3){15 的正约数}. 3.集合中元素的性质 集合中元素具有 ____ ,即任给一个元素 _____集合 A,要 a ,对于集合 A 来说, a 要么 么 集合 A ,二者必具其一. 集合中元素具有 ___, 即在同一个集合中, 不存在 ______ 的元素,各元素都是互不相同. 集合中元素具有 __ ,即当两个集合中的 元素相同,即便放置顺序完全不同时,它们也表示 同一集合. 4.集合相等:只要构成两个集合 的 , 我们就称这两个集合相等. 5.集合与元素的表示:集合通常用 来表示,它们的元素通常用
-1-

2 ____N

对点练习:3.判断正误:
(1)所有属于 N 的元素都属于 N . (2)所有属于 N 的元素都属于 Z. (3)所有不属于 N 的数都不属于 Z.
* *

( ( (

) ) ) ) )

(4)所有不属于 Q 的实数都属于 R. ( (5)不属于 N 的数不能使方程 4x=8 成立. (

【合作探究】

典例精析
例题 1.下列各组对象不能组成集合的是( A.大于 6 的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被 3 除余 2 的所有整数 D.函数 y= )

1 图象上所有的点 x
第一章 《集合与函数的概念》

高中数学必修 1

变式练习:1.下列条件能形成集合的是(
A.充分小的全体负数 C.中国的富翁

)

变式练习 : 4. 上例中,将“ x 3 ? A ” ,改为
“ x ? A” ,求实数 x 的值.
2

B.爱好足球的人 D.某公司的全体员工 )

例题 2.下列结论中,不正确的是( A.若 a ∈ N ,则 ? a ? N B.若 a ? Z ,则 a ? Z
2

C.若 a ? Q ,则 a ? Q D.若 a ? R ,则 3 a ? R

变式练习:2.判断下面说法是否正确、正确的
在( )内填“√” ,错误的填“×” (1)所有在 N 中的元素都在 N*中( (2)所有在 N 中的元素都在Z中( (3)所有不在 N*中的数都不在 Z 中 ( ) ) )

规律总结:

变式练习 : 3. 设不等式 3 ? 2 x ? 0 的解集为

M ,下列正确地是(

) B. 0 ? M ,2 ? M

【课堂小结】

A. 0 ? M ,2 ? M C. 0 ? M ,2 ? M

【当堂达标】
D. 0 ? M ,2 ? M 1、判断下面说法是否正确、正确的在 ( )内填 “√” ,错误的填“×” (1)所有不在 Q 中的实数都在 R 中( ) (2)由既在 R 中又在 N*中的数组成的集合中一 定包含数 0( ) (3)不在 N 中的数不能使方程 4x=8 成立 ( ) 2、下列各条件能够成集合的是( ). A.美丽的小鸟 B.所有个子高的同学 C.无限接近零的数 D.所有钝角三角形 3 、给出下列叙述 : ①

例题 3. 已知集合 A 中有三个元素 1,0.x ,若

x 3 ? A ,求实数 x 的值.
讨论展示:

1 ? 实数; ② 2 ? Q ;③ 2
)

④ { 所有实数 } .其中正确的有( | ? 3 |? Q ; 个. A.1 B.2 C.3 D.4

4. 若 a, b, c 为集合 S 中的三个元素, 并且它们也是

?ABC 三边长,则 ?ABC 一定不是(
A. 锐角三角形 C.钝角三角形
-2-



B.直角三角形 D.等腰三角形
第一章 《集合与函数的概念》

高中数学必修 1

【课时作业】
1.考察下列每组对象, 能组成一个集合的是 ( ) ①聪明的学生;②直角坐标系中横、纵坐标相 等的点;③不小于 3 的正整数;④ 3 的近似值. A.①② B.③④ C.②③ D.①③ ) D. 7

则实数 a 的取值范围是

2.若 a ? R ,但 a ? Q ,则 a 可以是( A. 3.14 B. ? 5

9.设集合 A 中含有三个元素 3, x , x ? 2 x .
2

3 C. 7

(1)求实数 x 应满足的条件; (2)若 ? 2 ? A ,求实数 x .

3. 已知集合 A 中只有一个元素 2,若 b ? A ,则 实数 b 的值为( ) A. 2 B. ? 2 C. ? 2 D. 0 4. 下列说法正确的是( ) A.由 1,2,2,4 构成集合时, 该集合共有 4 个元素. B.由 1,2,3 和 3,2,1 分别构成的两个集合不是相 等集合. C.若 x ? Q ,则 x ? R . D.若 a ? N , b ? N ,则 a ? b 的最小值为 2. 5.由实数 ? a , a , a , a 2 所组成的集合最多含 有 元素. A. 1 B. 2
2

C. 3

D. 4

10.已知集合 A 中有三个元素 a ? 3,2a ? 1, a 2 ? 4 , 且 ? 3 ? A ,求实数 a 的值.

6.方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集与集合 A 相等,若集 合 A 中的元素是 a , b ,则 a ? b = 7. 下列对象能否组成集合: (1)数组 1、3、5、7; (2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点; (3)满足 3x-2>x+3 的全体实数; (4)所有直角三角形; (5)美国 NBA 的著名篮球明星; (6)所有绝对值等于 6 的数; (7)所有绝对值小于 3 的整数; (8)中国男子足球队中技术很差的队员; (9)参加 2008 年奥运会的中国代表团成员. *8.若集合 A 是不等式 x ? a ? 0 的解集,且 2 ? A ,
-3-

第一章 《集合与函数的概念》

高中数学必修 1

11.已知集合 A 中含有两个元素 x, y ,集合 B 中有 两个元素 0, x 2 ,若 A ? B ,求实数 x, y 的值.

b 13. 若 a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0, ,b}, a 求 b-a 的值.

【延伸探究】 12. 数 集 M 满 足 条 件 : 若 a ? M , 则 1? a ? M ( a ? ?1 且 a ? 0 ).若 3 ? M ,则在 M 1? a
中还有三个元素是什么?

-4-

第一章 《集合与函数的概念》

高中数学必修 1

1.1.1 集合的表示(二)
【学习目标】
1.掌握集合的三种表示方法 ---列举法、描述 法、图示法. 2.能够运用集合的表示方法表示一些简单集合. 体会用数学抽象符号刻画客观事物的优越性(简洁 明了) .逐步培养使用数学符号的自觉性.

典例精析
例题 1:已知集合 A= {x,1} ,求 x 的取值范围.

【新知自学】
知识回顾:
集合中元素的性质? 元素与集合的关系? 新知梳理: 1、列举法 把集合的元素 出来,并用 括起来表示集合的方法叫列举法. 一般地,在 的情况下,宜采用列举 法. 对点练习:1. 用列举法表示下列集合. (1) 不 大 于 6 的 非 负 整 数 组 成 的 集 合 ; (2)自然数中不大于 6 的的质数集;

变式练习 1: 已知

1 ?? 1,0, x?,求实数 x 的值. x

2、描述法 用集合所含元素的 表示集合的 方法称为描述法. 具体方法是:在“ {} ”内先写上这个集合元素 的一般符号及取值(或变化)范围,画一条竖线, 在竖线后写出这个集合中元素 . 对元素 个数 的集合,一般采用描述法表示. 对点练习:2. 用描述法表示下列集合. (1) 由 2 与 3 的 公 倍 数 组 成 的 集 合 ; (2){-3,-1,1,3,5};

例题 2 用适当的方法表示下列集合: (1)正奇数集; (2)大于 3 且小于 10 的整数组成的集合; (3)方程组 ?

?2 x ? 3 y ? 14 的解集; 3 x ? 2 y ? 8 ?

( 4 )抛物线 y ? x 2 上所有点组成的集 合.

讨论展示:

3、图示法 (1)韦恩图:了形象直观,我们常常画一条封闭 曲线,用它的内部来表示一个集合,这种表示集合 的方法称为图示法(如图).

变式练习 2:
(2)数轴法: 6、7、8、9 (1)方程 x ? ax ? b ? 0 的解集用描述法表示;
2

(2)不等式 x ? 1 ? 0 的解集用图示法表示;
2

对点练习:3. (1)大于 3 小于 11 的偶数的集
合用韦恩图可表示为 (2)使不等式 x ? 2 成立的实数 x 的集合用数 轴可表示为 例题 3 式子

a a

?

b b

的所有可能值组成的集合 C. ?? 2,0? D.

【合作探究】
-5-

为( ) A. ?0? B. ?0,2?

?? 2,0,2?

第一章 《集合与函数的概念》

高中数学必修 1

讨论展示:

x 2 ? 5x ? 6 ? 0 的解集.

变式练习 3:式子

a a

?

b b

?

c c

的所有可能值

组成的集合为( ) A. ? 1,3? B. ?3? C. ?? 3,1,3? D.

?? 3,?1,1,3?

【课时作业】
1.下列集合中表示同一集合的是( A、 M ? ??3,2?? , N ? ??2,3?? B、 M ? ?3,2?, N ? ?2,3? C、 M ? ( x, y) x ? y ? 1 , N ? y x ? y ? 1 D、 M ? ? 1,2?; N ? ??1,2?? 2.正整数构成的集合可以用 N 表示,下列表示方
*

).

思考以上两题的解答,你有什么发现吗?

?

?

?

?

变式练习 4:式子

a a

?

b b

?

a2 a2

?

?b ?b

的所

法也正确的是( ). A、 {正整数} B、{全体正实数} C、{正整数集} D、 {N*} )

有可能值组成的集合为( ) A. ?0? B. ?0,2,3? C. ?2,3? D. ?0,2?

3、方程组 ?

?x ? y ? 2 的解集是( ? x ? 2 y ? ?1
B、 ? 1?

A、 ?x ? 1, y ? 1?

【课堂小结】 【当堂达标】
1.下列集合表示法正确的是( ) A.{1,2,2,3} B.{全体实数} C.{有理数} D.不等式 2x-5>0 的 解集为{2x-5>0} 2.用列举法表示下列集合 ① x ? N | x 是 15 的约数 . _______;
*

C、 ?(1,1)?

D、 ?( x, y) | (1,1)?

4. 集 合 x ? N ? 1 ? x ? 4 用 列 举 法 表 示 为 5.有下面六种表示方法: ① ?x ? ?1, y ? 2? ;
.

?

?

② ?( x, y ) ?

? ?

?

? x ? ?1? ?; ?y ? 2 ?

?

③ ?? 1,2? ;④ ?? 1,2? ; ⑤ ??? 1,2?? ; ⑥ x, y x ? ?1或y ? 2



?? x, y ? | x ? ?1, 2?, y ? ?1, 2??;
_
n

?

?
?2 x ? y ? 0 的解集 ?x ? y ? 3 ? 0

__________

____;

③ {x | x ? (?1) , n ? N}________;

其中能正确表示方程组 ? 的是 上.

{ 数字和为 5 的两位数} ④ ________;
3. 用 列 举 法 和 描 述 法 分 别 表 示 方 程

(把所有正确的序号都填在横线

-6-

第一章 《集合与函数的概念》

高中数学必修 1

6.用适当的方法表示下列集合. (1)大于 4 的所有奇数所组成的集合; (2)被 5 除余 3 的所有整数组成的集合; (3)直角坐标平面内,第一象限内的点的集合; (4)直角坐标平面内,坐标轴上的点的集合; (5)方程 x ? 2 ? y ? 2 ? 0 的解的集合; (6)直线 y ? x ? 1 上的点的集合.

? ? ② B ? ?y y ? x ? 1?; ?x, y ? y ? x ? 1?. ③C ? ?
2 ① A ? x y ? x ?1 ; 2 2

(1)它们是不是相同的集合? (2)它们各自的含义是什么?

9.定义集合 A, B 一种运算:

A ? B ? x x ? x1 ? x 2 ,其中x1 ? A, x2 ? B ,
若 A?? 1,2,3?, B ? ? 1,2?,试用列举法表示出集合 7、 设 A ? ?a,

?

?

? b ? ,1?, B ? a 2 , a ? b,0 , 若 A ? B ,求 ? a ?

?

?

A? B.

a 2013 ? b 2014 的值.

8.下列三个集合:
-7-

2 10.集合 A ? x ? R ax ? 3 x ? 1 ? 0, a ? R .

?

?

第一章 《集合与函数的概念》

高中数学必修 1

(1)若 A 中的元素只有一个,求 a 的取值范围; (2)若 A 中的元素至少有一个,求 a 的取值范围.

11.设 A ? x ? N * x ? 4 ,

?

?

B ? (a, b) a ? b 2 ? 1, b ? A ,用列举法表示集合

?

?

B.

【延伸探究】
11.已知集合 A ? ? 1,2,3,4,5?,

?x, y? x ? A, y ? A, x ? y ? A?,则 B 中 B ??
元素的个数为( ) A. 3 B. 6 C. 8 D. 10

-8-

第一章 《集合与函数的概念》


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