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简单分式不等式的解法


简单分式不等式的解法

上海· 格致中学 郑仲义

问题
? 某地铁站上,甲乙两人为了赶地铁,分别
从楼梯和运行中的自动扶梯上楼(楼梯和 自动扶梯的长度相同).如果甲的上楼速度 是乙的2倍,他俩同时上楼,且甲比乙早到 楼上. 问:甲的速度至少是自动扶梯运行速 度的几倍?

2004年10月21日

r />
分析与解
设楼梯的长度为s,甲的速度为v,自动扶梯的 运行速度为 v0 . 于是甲上楼所需的时间为 乙上楼所需的时间为
s , v
s v v0 ? 2 ,

由题意,得

整理可得,
2004年10月21日

s s ? . v v v ? 0 2
v ? 2v0 .

某地铁站上,甲乙两人为了赶 地铁,分别从楼梯和运行中的 自动扶梯上楼(楼梯和自动扶 梯的长度相同).如果甲的上楼 速度是乙的2倍,他俩同时上 楼,且甲比乙早到楼上. 问: 甲的速度至少是自动扶梯运行 速度的几倍?

定义
s s ? . v v v ? 0 2
v是未知数, 且在分母中

? 分子、分母都是整式,并且分母含有未知
数的不等式叫做分式不等式.

2004年10月21日

试解不等式:

x ?1 ? 0. 3x ? 2

分析:当且仅当分子 x ? 1与分母 3x ? 2 同号时, 上述不等式成立.
因此
? x ? 1 ? 0, ?1? ? ?3 x ? 2 ? 0;



? x ? 1 ? 0, ? 2? ? ?3 x ? 2 ? 0.

2 不等式组(1)的解集是 ( , ??) ,不等式组(2)的解集是 (??, ?1) 3

2 所以,原不等式的解集为 (??, ?1) ? ( , ??). 3
2004年10月21日

试解不等式:

x ?1 ? 0. 3x ? 2

分析:当且仅当分子 x ? 1与分母 3x ? 2 同号时, 上述不等式成立,而两个数的商与积同号. 因此,上述不等式可转化为 整式不 等式 ? x ? 1?? 3x ? 2 ? ? 0 所以,原不等式的解集为
2 (??, ?1) ? ( , ??). 3
2004年10月21日

不等式

x ?1 ?0 3x ? 2

解法比较
分类讨论 需要解两个不等式 组,再取这两个不 等式组解集的并集 转化(化归)
通过等价转换,变成 我们熟悉的、已经因 式分解好了整式不等 式C


2004年10月21日



?思考:不等式
解:
?

x ?1 ? 0 的解 3x ? 2

x ?1 ?0 3x ? 2
( x ? 1)(3x ? 2) ? 0

3x ? 2 ? 0

所以,原不等式的解集为
?2 ? ??, ?1? ? ? , ?? ? . ? ?3 ?
2004年10月21日

解法小结1
解分式不等式的方法是 将之等价转化为解整式不等式
ax ? b ? 0 ? (ax ? b)(cx ? d ) ? 0 cx ? d
?(ax ? b)(cx ? d ) ? 0 ax ? b ?0?? cx ? d ?cx ? d ? 0

2004年10月21日

解法小结1
解分式不等式的方法是 将之等价转化为解整式不等式
ax ? b ? 0 ? (ax ? b)(cx ? d ) ? 0 cx ? d
?(ax ? b)(cx ? d ) ? 0 ax ? b ?0?? cx ? d ?cx ? d ? 0

2004年10月21日

试解不等式:

? x ? 1?? x ? 3? ? 0
3x ? 2

解:原不等式可等价转化为

? x ? 1?? 3x ? 2 ?? x ? 3? ? 0
3x ? 2 ? 0

所以原不等式的解集为
2 [?1, ) ? [3, ??). 3
2004年10月21日

?x ?1 ?如何求解: ? ?2 ?3x ? 2
解:
转化为
?x ?1 ? 2 ? 0, ?3x ? 2 ?7 x ? 5 ? 0, ?3x ? 2
(7 x ? 5)(3x ? 2) ? 0,
2? ?5 ? ? ??, ? ? ? , ?? ? ? 3? ?7 ? ?

整理,得 即
故,解集为
2004年10月21日

解法小结2
ax ? b (a ' x ? b ') ?k ? ?0 cx ? d (cx ? d ) ax ? b (a ' x ? b ') ?k ? ?0 cx ? d (cx ? d )

移项、通分、化整式
2004年10月21日

试一试:

x ?1 ? 2. 3x ? 2

2004年10月21日

解:
移项、通分得

x ?1 ?2 3x ? 2 ?5 x ? 5 ? 0. 3x ? 2
?(5 x ? 5)(3 x ? 2) ? 0, ? ?3 x ? 2 ? 0.

所以

解得
2004年10月21日

? 2 ? ? x | ? x ? 1? . ? 3 ?

试解不等式:
解:
约分,得

( x ? 1)( x ? 2) ?0 ( x ? 1)( x ? 3)
x?2 ?0 x?3

x ?1 ? 0

即 所以解集为

?( x ? 2)( x ? 3) ? 0 ? ?x ?1 ? 0

(??, ?3) ? (?2,1) ? (1, ??).
2004年10月21日

改为如下不等式又如何?
( x ? 1)( x ? 2) ?0 ( x ? 1)( x ? 3)

解:
整理后得,
( x ? 2)( x ? 3) ? 0, ( x ? 1)( x ? 3) ? 0.

所以解集为
(??, ?3) ? [?2,1) ? (1, ??).
2004年10月21日

解法小结3

? 对于分子、分母可约分的分式不等
式,先约去公因式,再把它等价转 换成前面讨论过的情形。

2004年10月21日

应用
? 当m为何值时,关于x的方程m(x-1)=3(x+2)
的解是正数?m为何值时,方程的解是负数?
原方程可化为
(m ? 3) x ? m ? 6,

如果m=3,那么原方程无解.

2004年10月21日

应用
? 当m为何值时,关于x的方程m(x-1)=3(x+2)
的解是正数?m为何值时,方程的解是负数?
原方程可化为
(m ? 3) x ? m ? 6,

如果m?3,那么原方程的解是 x ? 方程的解是正数,即
m?6 ? 0, m?3
(??, ?6) ? (3, ??).

m?6 , m?3

得解集
2004年10月21日

应用
? 当m为何值时,关于x的方程m(x-1)=3(x+2)
的解是正数?m为何值时,方程的解是负数?
原方程可化为
(m ? 3) x ? m ? 6,

如果m?3,那么原方程的解是 x ? 方程的解是负数,即
m?6 ? 0, m?3
(?6,3).

m?6 , m?3

得解集
2004年10月21日

解法综述
? 解分式不等式的基本思路是将其转化
为整式不等式。在此过程中,等价性 尤为重要,因此解分式不等式一般不 去分母,而是先将它化归为 f ( x) ? 0 g ( x) 等形式,再实施同解变形.
f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

2004年10月21日

试解不等式
解:

2x ?1 ?1 2 x ? x ?1

? x 2 ? x ? 1 恒大于0
? 2 x ? 1 ? x 2 ? x ? 1,

整理即得

x 2 ? 3x ? 2 ? 0,

所以,原不等式的解集为
(1, 2).
2004年10月21日

思路总结
分式不等式

同解 变形

整式不等式

化 归
未知

等价 变换

已知

2004年10月21日

练习
解:
移项,得 即

x 2 ? 2 x ? 24 ? ?2 2 x ? 7 x ? 12

3x 2 ? 16 x ?0 2 x ? 7 x ? 12

x( x ? 3)( x ? 4)(3x ? 16) ? 0

解集为
2004年10月21日

16 (??, 0) ? (3, 4) ? ( , ??). 3

作业和练习
? 练习册第10页11题 ? 研读《导引》29~34页

下 课!
2004年10月21日


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