nbhkdz.com冰点文库

高中数学分类讨论


高三二轮复习重难点突破(四)
一、课程背景

分类讨论

分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异,分各种不同的情况予以分 析解决.分类讨论题覆盖知识点较多,利于考查学生的知识面、分类思想和技 巧;同时方式多样,具有较高的逻辑性及很强的综合性,树立分类讨论思想, 应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体,明确分

类的标准,分层别类不重复、不遗漏的分析讨论,在高考中常出现在解答题中. 重点:依据,分类必须满足互斥、无漏、最简的原则. 难点:找分界点;分类较多时,运算量大. 二、课程目标 1、了解分类讨论的基本方法和基本思想; 2、正确把握讨论对象,会就讨论问题进行合理分类; 3、掌握分类讨论的严谨性,学会把讨论情况进行归纳。 三、课程内容 1、由数学概念引起的分类讨论; 2、由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论; 3、由数学运算的要求引起的分类讨论; 4、由图形的不确定性引起的分类讨论; 5、由参数的变化引起的分类讨论。 四、课程实施 分类讨论 1.由数学概念引起的分类讨论 例 1.在平面直角坐标系中,已知 A1 (-3,0) 、 A2 (3,0) 、 P( x , y ) 、M ( x2 ? 9 ,0) ,若实数 ? 使向量 A1 P 、 ? OM 、 A2 P 满足 ? 2 ? (OM )2 ? A1P ? A2 P .求 P 点的轨迹方程,并判断 P 点的轨迹是怎样的曲线;
解析:由已知可得 A1 P ? ( x ? 3, y ), A2 p ? ( x ? 3, y ), OM ? ( x 2 ? 9, 0)

? 2 (OM )2 ? A1 P.A2 P,?? 2 ( x2 ? 9) ? x2 ? 9 ? y2 即 P 点的轨迹方程是 (1 ? ? 2 ) x2 ? y 2 ? 9(1 ? ? 2 )
当 1 ? ? 2 ? 0 且 ? ? 0 ,即 ? ? ? ?1,0? ? ? 0,1? 时,有 当 ? ? 0 时,方程为 x2 ? y 2 ? 9, P 的轨迹是圆。

x2 y2 ? ? 1, P 点的轨 迹是椭圆. 9 9(1 ? ? 2 )

x2 y2 当 1 ? ? ? 0 ,即 ? ? (??, ?1) ? (1, ??) 时,方程为 ? ? 1, P 点的轨迹是双曲线. 9 9(? 2 ? 1)
2

当 1 ? ? 2 ? 0 ,即 ? ? ?1 时,方程为 y=0, P 点的轨迹是直线.

练习 1、对任意两实数 a,b 定义运算“*”如下, ?a ?a≤b?, ? a*b=? 则函数 f(x)=log1 (3x-2)*log2x 的值域为() ? b ? a > b ? , ? 2 2 2 A.(-∞,0] B.[log23,0] C.[log23,+∞) D.R

分类讨论 2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论 例 2、对一切实数,不等式 x2+a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围 是( ) A.(-∞,-2) C.[-2,2] B.[-2,+∞) D.[0,+∞)
a x

解析:本题是不等式恒成立问题,可以构造函数,把函数转化为 y=x+ 型,通过求解函数 的最值得到结论.由不等式 x2+a|x|+1≥0 对一切实数恒成立.①当 x=0 时,则 1≥0,显 1 然成立;②当 x≠0 时,可得不等式 a≥-|x|- 对 x≠0 的一切实数成立.令 f(x)=-|x| |x| 1 ? 1 ? - =-?|x|+ ?≤-2.当且仅当|x|=1 时, “=”成立.∴f(x)max=-2,故 a≥f(x)max |x|? |x| ? =-2. 答案:B

练习 2、若 log a 2 <1,则 a 的取值范围是(
3

) D ( 2 ,+∞)
3

A (0,

2) 3

B ( 2 ,1)
3

C (0,

2 )∪ (1,+∞) 3

分类讨论 3.由数学运算的要求引起的分类讨论 例 3、已知角? 的终边上一点 P( ? 3 ,m) ,且 sin ? ?
解析: r ? OP ? 3 ? m2 , sin ? ? 所以 cos ? =-1,或 cos? ? ?
2 m,求 cos ? 。 4

m 3 ? m2

?

2 m ,解得 m ? 0 或 m ? ? 5 。 4

6 。 4

练习 3、已知二次函数 f(x)=ax2+2ax+1 在区间[-3,2]上的最大值为 4,

则 a 等于( A.-3

) 3 B.-8 C.3 3 D.8或-3

分类讨论 4.由图形的不确定性引起的分类讨论 x2 y2 例 4、设 F1,F2 为椭圆 9 + 4 =1 的两个焦点,P 为椭圆上一点.已知 P, |PF1| F1,F2 是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则|PF |的值为________.
2

解析:若∠PF2F1=90°,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2. 14 4 |PF1| 7 ∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5.解得|PF1|= ,|PF2|= .∴ = . 3 3 |PF2| 2 若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2. |PF1| |PF1| 7 解得|PF1|=4,|PF2|=2.∴ =2. 综上, = 或 2. |PF2| |PF2| 2

练习 4、已知线段 AB 在平面 ? 外,A、B 两点到平面 ? 的距离分别为 1 和 3, 则线段 AB 的中点到平面 ? 的距离为 .

分类讨论 5.由参数的变化引起的分类讨论 例 5.已知函数 f ( x) ?
kx ? 1 ( c ? 0 且 c ? 1 , k ? R )恰有一个极大值点和一个 x2 ? c

极小值点,其中一个是 x ? ?c . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的另一个极值点; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的极大值 M 和极小值 m ,并求 M ? m ≥ 1 时 k 的取值范围.
解析: (Ⅰ) f ?( x) ?

k ( x 2 ? c) ? 2 x(kx ? 1) ?kx 2 ? 2 x ? ck ,由题意知 f ?(?c) ? 0 , ? ( x 2 ? c) 2 ( x 2 ? c) 2

即得 c 2 k ? 2c ? ck ? 0 , (*) c ? 0 ,? k ? 0 . 由 f ?( x) ? 0 得 ?kx 2 ? 2 x ? ck ? 0 ,由韦达定理知另一个极值点为 x ? 1 2 2 (Ⅱ)由(*)式得 k ? ,即 c ? 1 ? . c ?1 k 当 c ? 1 时, k ? 0 ;当 0 ? c ? 1 时, k ? ?2 .

? ?) 内是减函数,在 ( ?c, 1) 内是增函数. ? c) 和 (1, (i)当 k ? 0 时, f ( x) 在 (??,

? M ? f (1) ?

k ?1 k ?kc ? 1 ?k 2 ? ? 0 , m ? f (?c) ? 2 ? ?0, c ?1 2 c ? c 2(k ? 2)

由M ?m ?

k k2 ? ≥1 及 k ? 0 ,解得 k ≥ 2 . 2 2(k ? 2)

? ?) 内 是 增 函 数 , 在 ( ?c, 1) 内 是 减 函 ? c) 和 (1, ( ii ) 当 k ? ?2 时 , f ( x) 在 (??,

数.

k ?k 2 ? M ? f (?c) ? ? 0 , m ? f (1) ? ? 0 2 2(k ? 2)

M ?m ?

?k 2 k (k ? 1)2 ? 1 ? ? 1? ≥1 恒成立. 2(k ? 2) 2 k ?2

综上可知,所求 k 的取值范围为 (??, ? 2) [ 2, ? ?) .

练习 5、已知数列{an}满足:a1=m(m 为正整数),

a ? ? 2n, an =? ? ?3an+1,
+1

当an为偶数时, 当an为奇数时.

若 a6=1,则 m 所有可能的取值为( B.4 或 32 D.4,5 或 32

)

A.4 或 5 C.5 或 32

五、课程评价 (一)课堂展示练习 1--5 (二)当堂检测
达标要求:①学生独立 5 分钟完成,核对答案 ②A 级目标:对 5 个;B 级目标 4 个;C 级目 标 3 个;D 级目标: 3 个以下。

1、集合 A = { x | | x | ≤ 4,x∈R},B = { x | | x ? 3 | ≤a,x∈R}, 若 A ? B,那么 a 的取值范围是 . 2.设常数 a>0,椭圆 x2-a2+a2y2=0 的长轴长是短轴长的 2 倍,则 a=

3. 已知二次函数 f(x)=ax2+2ax+1 在区间[-3,2]上的最大值为 4, 则 a 等于( 3 3 A.-3 B.-8 C.3 D.8或-3 4. 已知二次函数 f(x)=ax2+2ax+1 的区间[-3, 2]上的最大值为 4, 则 a= ( (A)-3 (B) ?
3 8

)



(C)3

(D) 或-3

3 8

5、直线 l 过 P(2,3) ,并且在 x 轴和 y 上的截距相等,则求直线 l 方程 为 (三)课后作业 1.若函数 f(x)=4x+a· 2x+a+1 在(-∞,+∞)上存在零点,则实数 a 的取值范 围为________. 2、已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C:x2+y2=1,动点 M 到圆 C 的切线 长与|MQ|的比等于常数λ (λ >0).求动点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么 曲线. 。

反思:

高三二轮复习重难点突破(三)

分类讨论(答案)

? 1 ? 练习 1、解析:根据题目给出的情境,得 f(x)=log1 (3x-2)*log2x=log2?3x-2?
2

?

?

?log2 1 3x-2 *log2x=? ?log2x

?x≥1?,

)由于 y=log2x 的图象定义域上为增函数,可得

?0<x<1?. f(x)的值域为(-∞,0].故选 A. 练习 2、B 练习 3、解析:当 a<0 时,在 x∈[-3,2]上,当 x=-1 时取得最大值,得 a=- 3 3 ; 当 a>0 时 , 在 x ∈ [ - 3,2] 上 , 当 x = 2 时 取 得 最 大 值 , 得 a = 8 . 答案:D 练习 4、2 或 1 a5 练习 5、解析:若 a5 为偶数,则 a6= 2 =1,即 a5=2. a4 若 a4 为偶数,则 a5= 2 =2,∴a4=4; 1 若 a4 为奇数,则有 a4=3(舍). 若 a3 为偶数,则有 a3=8;若 a3 为奇数,则 a3=1. 若 a2 为偶数,则 a2=16 或 2; 7 若 a2 为奇数,则 a2=0(舍)或 a2=3(舍). 若 a1 为偶数,则 a1=32 或 4; 1 若 a1 为奇数,有 a1=5 或 a1=3(舍). 若 a5 为奇数,有 1=3a5+1;所以 a5=0,不成立. 综上可知 a1=4 或 5 或 32. 答案:D 课程评价 (二)当堂检测

(三)课后作业 1、解析:设 2x=t(t>0),则函数可化为 g(t)=t2+at+a+1,t∈(0,+∞), 函数 f(x)在(-∞,+∞)上存在零点,等价于函数 g(t)在(0,+∞)上有零点. (1)当函数 g(t)在(0,+∞)上存在两个零点时,实数 a 应满足

? a ?-2>0, ?g?0?=a+1>0,

Δ=a2-4?a+1?≥0, 解得-1<a≤2-2 2.

(2)当函数 g(t)在(0,+∞)上存在一个零点,另一个零点在(-∞,0)时,实 数 a 应满足 g(0)=a+1<0,解得 a<-1. (3)当函数 g(t)的一个零点是 0 时, g(0)=a+1, a=-1, 此时可求得函数 g(t) 的另一个零点是 1,符合题目要求.综合(1)(2)(3)知 a 的取值范围是 a≤2-2 2. 答案:a≤2-2 2 2、解析:如图,设 MN 切圆 C 于 N,则动点 M 组成的集合是 P={M||MN|=λ|MQ|,λ>0}.
∵ON⊥MN,|ON|=1, ∴|MN|2=|MO|2–|ON|2=|MO|2–1 设动点 M 的坐标为(x,y), 则 x 2 ? y 2 ? 1 ? ? ( x ? 2) 2 ? y 2 即(x2–1)(x2+y2)–4λ2x+(4λ2+1)=0. 经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合 P,故方程为所求的轨迹方程. 5 5 (1)当λ=1 时,方程为 x= ,它是垂直于 x 轴且与 x 轴相交于点( ,0)的直线; 4 4

2?2 2 1 ? 3?2 2 (2)当λ≠1 时,方程化为: ( x ? 2 ) ? y ? 2 ? ?1 (? ? 1) 2
2?2 1 ? 3?2 它是以 ( 2 ,0) 为圆心, 2 为半径的圆. ? ?1 | ? ?1|


分类讨论思想在高中数学中的应用

分类讨论思想的探究前言:高中数学常用的数学思想包括数形结合思想、分类讨论 思想、函数与方程思想以及转化(化归)思想,在此主要探 讨研究分类讨论思想。何为分类讨论...

高中数学分类讨论专题

百度文库 教育专区 高中教育 数学高中数学分类讨论专题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高中数学分类讨论专题_数学_高中教育_教育专区...

高中数学分类讨论归纳总结(二):集合中的分类讨论

高中数学分类讨论归纳总结(二) :集合中的分类讨论 一、参数取值引起的分类讨论 1.已知函数 y=2x,x∈[2,4]的值域为集合 A,y=log2[-x2+(m+3)x-2(m+...

高中数学二次函数分类讨论经典例题

高中数学二次函数分类讨论经典例题_数学_自然科学_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高中数学二次函数分类讨论经典例题_数学_自然科学_专业资料。...

高中数学解题思想之分类讨论思想

高中数学解题思想之分类讨论思想。无分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时, 有时会遇到多种情况, 需要对各种情况加以分类, 并逐类求解, 然后综合得解,这就是分...

高中数学分类讨论

高中数学分类讨论_数学_高中教育_教育专区。高三二轮复习重难点突破(四)一、课程背景 分类讨论 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异,分各种不同的情况予以分 ...

高一数学中的分类讨论问题

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 高一数学中的分类讨论问题 作者:杨必敏 来源:《学校教育研究》2015 年第 05 期 高中数学新课程实施以来,数学思想方法逐步...

高中数学简化分类讨论的九种策略

高中数学简化分类讨论的九种策略 分类讨论既是一种重要的数学思想方法,也是一种重要的解题策略,它可以 把整体化为局部,把复杂的问题化为单一的问题,各个击破.但...

分类讨论在高中数学解题中的作用

分类讨论高中数学解题中的作用_数学_高中教育_教育专区。龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 分类讨论高中数学解题中的作用 作者:邹小锋 来源:《理科考试研...