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2-1 双曲线复习word有详解答案


双曲线部分讲义
知识要点
1.双曲线定义: ||MF1|-|MF2||=2a<|F1F2| (a>0) 2.双曲线的标准方程和几何性质(略)

k AB ? kOP ? 3.直线与双曲线相交弦中点斜率: 当焦点在 X 轴上时,

b2 a2 k ? k ? ; 当焦点在 Y 轴上时, ; AB OP a2 b

2

4. 焦半径: 焦点在 X 轴上, F 1 , F 2 分别为双曲线的左、 右焦点。 若点 P 在右半支上, 则| PF 1 | = e x 0 + a , | PF 2 | = e x 0 -a;若点 P 在左半支上,则| PF 1 | =-( e x 0 + a) ,| PF 2 | =-( e x 0 -a); 焦点在 Y 轴上,F 1 , F 2 分别为双曲线的下、上焦点。若点 P 在上半支上,则| PF 1 | = e y 0 + a ,| PF 2 | =

e y 0 -a;若点 P 在下半支上,则| PF 1 | =-( e y 0 + a) ,| PF 2 | =-( e y 0 -a);
x2 y2 1 1 5.共轭双曲线: 2- 2=±1 (a>0,b>0)互为共轭双曲线。特点:①实虚轴互换②同焦距③ 2 ? 2 ? 1 a b e1 e2

? b2 ? ? 2b 2 b2 ? ④焦点共圆。6.通径:长 ,端点 ? ? c, ? ? 或 ? ? a , ?c ? a a? ? ? ?
7.弦长公式: AB ? 1 ? k
2

x1 ? x2 ? 1 ? k 2

? x1 ? x2 ?
2 2

2

? 4 x1 x2 ? 1 ?

1 y1 ? y2 k2

8.下列情况双曲线标准方程假设: ①过已知两个点的双曲线方程统一式可设为 Ax ? By ? 1? AB ? 0? ②由渐近线方程 y ? ?

b ? x? ? y? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0? a ?a? ?b?

2

2

x2 y2 x2 y2 ③与双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)有共同渐近线的方程可设为 2- 2=λ (λ≠0). a b a b ④ 与双曲线

x2 y 2 x2 y2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 共焦点 ? 2 ? 2 ? 1? ?b2 ? ? ? a 2 ? 2 a b a ?? b ??

x2 y2 x2 y2 2 2 ⑤与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程为 2 + =1(b <λ <a ). a b a -λ b2-λ
2 2 ⑥等轴双曲线方程可设为 x ? y ? ? ( ? ? 0 ) ;⑦ 与

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 a ? 0, b ? 0 共轭 ? ? ? -1 ? ? a 2 b2 a2 b2

9.直线与双曲线交点情况:直线与双曲线方程联立得到 Dx2+Ex+F=0. ①若 D=0,直线 l 与双曲线的渐近线平行时 1 个交点或重合时 0 个交点; ②若 D?0, 当Δ =0 时,相切 1 个交点;当Δ <0 时,相离 0 个交点; 当Δ >0 时,相交.以焦点在 X 轴上为例,

?? ? 0 ? ①与右支有 2 个交点, ? x1 ? x2 ? 0 ? x ?x ?0 ? 1 2

?? ? 0 ?? ? 0 ? ; ②与左支有 2 个交点, 与左右支各 1 个, ; ? ? x1 ? x2 ? 0 ; ? x1 ? x2 ? 0 ? x ?x ?0 ? 1 2
1

典例精析
1.求双曲线的标准方程 例 1. 根据下列条件,求双曲线的标准方程:

y2 x2 - =1 有共同的渐近线,且过点(-3,2 3 ) ; 9 16 y2 x2 (2)与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(3 2 ,2). 16 4
(1)与双曲线 (3)实轴长为 16,离心率为 e ?

5 (4)经过两点 P (?3,2 7 )Q(?6 2,?7) 4

2.双曲线基本量的运算 例 2.求双曲线 9 y ?16x ? 144 的半实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程、上支上任一点到
2 2

上焦点的最小值.

例 3.讨论 + =1 表示何种曲线? 25-k k-9

x2

y2

3.应用双曲线的定义求动点轨迹方程 例 4. (1)已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,则动圆 圆心 M 的轨迹方程为____________________. (2)在 ?ABC 中, BC ? 2 ,且 sin C ? sin B ?

1 sin A ,求点 A 的轨迹. 2

x2 y2 (1)(2014· 天津)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线 a b 的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( x y A. - =1 5 20
2 2

) 3x2 3y2 C. - =1 25 100
2

x y B. - =1 20 5

2

2

3x2 3y2 D. - =1 100 25

5 (2)设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的 13 差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( x y A. 2- 2=1 4 3 4.双曲线的几何性质 x2 2 例 5.(1)如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限 4 的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( A. 2 B. 3 3 C. 2 D. 6 2 ) D.离心率相等 )
2 2

) x2 y2 C. 2- 2=1 3 4 x2 y2 D. 2- 2=1 13 12

x y B. 2- 2=1 13 5

2

2

x2 y2 x2 y2 (2)若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 - =1 与曲线 - =1 的( 25 9-k 25-k 9 A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等

x2 y2 5 (1)(2013· 课标全国Ⅰ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程 a b 2 为( ) 1 B.y=± x 3 1 C.y=± x 2 D.y=± x

1 A.y=± x 4

x2 y2 (2)过双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线, 垂足为点 A, 与另一条渐近线交于点 B, a b → → 若FB=2FA,则此双曲线的离心率为( 5.直线与双曲线的位置关系 例 6.已知双曲线 C:x2-y2=1 及直线 l:y=kx-1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围; (2)若 l 与 C 交于 A,B 两点,O 是坐标原点,且△AOB 的面积为 2,求实数 k 的值. ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5

3

y2 例 7. 已知双曲线 x2- =1,过点 P(1,1)能否作一条直线 l,与双曲线交于 A、B 两点,且点 P 是线段 AB 的 2 中点?

已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 左支交于 A、B 两点,求 k 的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0,m),求 m 的取值范围.

6.双曲线的综合问题 例 8.如图,已知椭圆

x2 y2 2 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 F1 , F2 为 ? ? 1(a>b>0) 的离心率为 2 a2 b2

顶点的三角形的周长为 4( 2 ?1) 。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的 任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D 。 (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k2 ,证明 k1· k2 ? 1 ; (Ⅲ) 是否存在常数 ? , 使得 AB ? CD ? ? AB · CD 恒成立?若存在, 求 ? 的值;若不存在,请说明理由。

4

反馈练习
x2 y2 1.若双曲线 2- 2=1 的离心率为 3,则其渐近线方程为( a b A.y=± 2x B.y=± 2x 1 C.y=± x 2 ) 2 D.y=± x 2 )

π x2 y2 y2 x2 2.已知 0<θ< ,则双曲线 C1: 2 - 2 =1 与 C2: 2 - 2 =1 的( 4 sin θ cos θ cos θ sin θ A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等

D.焦距相等

3.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长 的 2 倍,则 C 的离心率为(
2 2

)

A. 2

B. 3

C.2

D.3

x y 4. 过双曲线 C: 2- 2=1 的右顶点作 x 轴的垂线, 与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、 a b 半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程为( x y A. - =1 4 12
2 2

)
2

x y B. - =1 7 9

2

2

x y C. - =1 8 8

2

2

x y D. - =1 12 4

2

x2 y2 5.已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂直于 x 轴的直线 a b 与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( A.(1,+∞) B.(1,2) C.(1,1+ 2) D.(2,1+ 2) )

x2 y2 6.已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2,若边 MF1 的 a b 中点 P 在双曲线上,则双曲线的离心率是( A.4+2 3 B. 3-1 C. ) 3+1 2 D. 3+1

7.设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O、所成的角为 60° 的直线 A1B1 和 A2B2,使|A1B1| =|A2B2|, 其中 A1、 B1 和 A2、 B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点, 则该双曲线的离心率的取值范围是( A.? 2 3 ? ? 3 ,2? B.? 2 3 ? ? 3 ,2? C .? 2 3 ? ? 3 ,+∞? D.? 2 3 ? ? 3 ,+∞? )

8.设过双曲线 x2-y2=9 左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于点 P,Q,F2 为双曲线的右焦点.若|PQ|=7, 则△F2PQ 的周长为( )
2

A.19

B.26

C.43

D.50

y 9. 设双曲线 C 经过点(2,2), 且与 -x2=1 具有相同渐近线, 则 C 的方程为________; 渐近线方程为________. 4 x2 y2 10.设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点 A,B.若点 P(m,0)满 a b 足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________. x2 y2 11.设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点,若|PF1|+|PF2|=6a 且△PF1F2 a b 的最小内角为 30° ,则双曲线 C 的离心率为________. x2 y2 12.已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点 A(5, 9 16
5

0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. x2 y2 13. 已知双曲线 2- 2=1 (a>0, b>0)的左、 右焦点分别为 F1、 F2, 点 P 在双曲线的右支上, 且|PF1|=4|PF2|, a b 则此双曲线的离心率 e 的最大值为________. 14.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:点 M 在以 F1F2 为直径的圆上; (3)在(2)的条件下求△F1MF2 的面积.

x2 15.已知椭圆 C1 的方程为 +y2=1,双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶点,而 C2 的左、右顶点 4 分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程; → → (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B,且OA· OB>2(其中 O 为原点),求 k 的取值 范围.

4 16.已知离心率为 的椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦 5 距为 2 34. (1)求椭圆及双曲线的方程; (2)设椭圆的左、右顶点分别为 A、B,在第二象限内取双曲线上一点 P,连接 BP 交椭圆于点 M,连接 PA → → 并延长交椭圆于点 N,若BM=MP,求四边形 ANBM 的面积.

6

答案
例 1、 根据下列条件,求双曲线的标准方程:

y2 x2 - =1 有共同的渐近线,且过点(-3,2 3 ) ; 9 16 y2 x2 (2)与双曲线 - =1 有公共焦点,且过点(3 2 ,2). 16 4
(1)与双曲线 (3)实轴长为 16,离心率为 e ?

5 (4)经过两点 P (?3,2 7 )Q(?6 2,?7) 4

剖析:设双曲线方程为

y2 x2 - =1,求双曲线方程,即求 a、b,为此需要关于 a、b 的两个方程,由题意 a2 b2
.

易得关于 a、b 的两个方程

b 4 = , a 3

解法一: (1)设双曲线的方程为

y2 x2 - =1, a2 b2

由题意,得

(?3) 2 (2 3 ) 2 - =1, b2 a2

解得 a2=

y2 9 x2 ,b2=4.所以双曲线的方程为 - =1. 9 4 4 4

(2)设双曲线方程为

y2 (3 2 ) 2 x2 4 5 2 - =1. 由题意易求 c =2 . 又双曲线过点( 3 , 2 ) ,∴ - 2 =1. 2 2 2 b a b a

又∵a2+b2=(2 5 )2,∴a2=12,b2=8.

y2 x2 - =1. 12 8 y2 x2 1 解法二: (1)设所求双曲线方程为 - =λ (λ ≠0) ,将点(-3,2 3 )代入得λ = , 9 16 4
故所求双曲线的方程为 所以双曲线方程为

y x2 1 - = . 9 16 4

2

y2 y2 x2 x2 - =1,将点(3 2 ,2)代入得 k=4,所以双曲线方程为 - =1. 12 8 16 ? k 4?k 评述:求双曲线的方程,关键是求 a、b,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e 及准线)之间的关 系,并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程 ax±by=0,可设双曲线方程为 a2x2-b2y2=λ (λ ≠ 0) .
(2)设双曲线方程为 (3)

x2 y2 y2 x2 - =1. - =1. 64 36 64 36 x2 y2 - =1. 25 75

(4)

7

例 2 求双曲线 9 y 2 ?16x 2 ? 144 的半实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程、上支上任一点到 上焦点的最小值. 解:将双曲线方程化为标准方程得:

y2 x2 ? ?1 16 9
c?5

由此可知, a 2 ? 16, b 2 ? 9 于是双曲线的半实轴长 a ? 4 焦点在

则 c2 ? a2 ? b2 ? 25 半虚轴长 b ? 3

?0,5? 离心率 e ? ? 5?, y 轴上,焦点坐标为 ?0,
a 4 x?? x b 3

c 5 ? a 4

渐近线方程为 y ? ?

PF min ? c ? a ? 1
例 3.讨论 + =1 表示何种曲线? 25-k k-9 分析:根据所给方程,依据 25-k 与 k-9 的符号及大小,确定方程所表示的曲线. 解:由题意可知 k≠25 且 k≠9. 当 k>25 时,有 25-k<0,k-9>0,所给方程表示焦点在 y 轴上的双曲线; 当 k<9 时,有 25-k>0,k-9<0,所给方程表示焦点在 x 轴上的双曲线; 当 9<k<17 时,25-k>0,k-9>0 且 25-k>k-9,所给方程表示焦点在 x 轴上的椭圆; 当 17<k<25 时,25-k>0,k-9>0 且 k-9>25-k,所给方程表示焦点在 y 轴上的椭圆; 当 k=17 时,25-k=k-9=8,所给方程表示以原点为圆心,2 2为半径的圆. 例1 (1) 已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,则动圆

x2

y2

圆心 M 的轨迹方程为____________________. 思维点拨 解(1)时,考虑定义法. (1)如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B. 根据两圆外切的条件, 得|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|, 因为|MA|=|MB|, 所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2, 所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数且小于|C1C2|. 又根据双曲线的定义,得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大,与 C1 的距离小), 其中 a=1,c=3,则 b2=8. y2 故点 M 的轨迹方程为 x2- =1(x≤-1). 8 思维升华 求双曲线标准方程的一般方法:
8

(1)定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出 a 的值,由定点位置确定 c 的值. (2) 在 ?ABC 中, BC ? 2 ,且 sin C ? sin B ?

1 sin A ,求点 A 的轨迹. 2

分析:要求点 A 的轨迹,需借助其轨迹方程,这就要涉及建立坐标系问题,如何建系呢? 解:以 BC 所在直线为 x 轴,线段 BC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系,则 B?? 1 , 0? , C ?1, 0? . 设 A?x,y ? ,由 sin C ? sin B ?

1 sin A 及正弦定理可得: 2

AB ? AC ?

1 BC ? 1 2

∵ BC ? 2 ∴点 A 在以 B 、 C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为:

x2 y 2 ? ? 1?a ? 0,b ? 0? a 2 b2
∴ 2 a ? 1 , 2c ? 2 ∴a ?

1 ,c ?1 2 3 4
2

2 2 2 ∴b ? c ? a ?

∴所求双曲线方程为 4 x ? ∵ AB ? AC ? 1 ? 0 ∴x?

4 y2 ?1 3

1 2

∴点 A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分

x2 y2 (1)(2014· 天津)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线 a b 的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( x2 y2 A. - =1 5 20 3x2 3y2 C. - =1 25 100 x2 y2 B. - =1 20 5 3x2 3y2 D. - =1 100 25 )

5 (2)设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的 13 差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( x2 y2 A. 2- 2=1 4 3 x2 y2 C. 2- 2=1 3 4 答案 (1)A (2)A
9

)

x2 y2 B. 2- 2=1 13 5 x2 y2 D. 2- 2=1 13 12

解析

b b (1)双曲线的渐近线方程为 y=± x,因为一条渐近线与直线 y=2x+10 平行,所以 =2. a a

又因为双曲线的一个焦点在直线 y=2x+10 上, 所以-2c+10=0.所以 c=5. b 2 ? ? ?a=2, ?a =5, ? 由? 得 2 ?b =20. ? 2 2 ? ?c= a +b =5 x2 y2 故双曲线方程为 - =1. 5 20 (2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0),设曲线 C2 上的一点 P,则||PF1|-|PF2||=8. 由双曲线的定义知:a=4,b=3. x2 y2 故曲线 C2 的标准方程为 2- 2=1. 4 3 题型二 例5 双曲线的几何性质

x2 (1)如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 4 )

C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( A. 2 B. 3 3 6 C. D. 2 2 )

x2 y2 x2 y2 (2)若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 - =1 与曲线 - =1 的( 25 9-k 25-k 9 A.焦距相等 C.虚半轴长相等 思维点拨 B.实半轴长相等 D.离心率相等

(1)依题意可求出 a、c 的值.

(2)分别表示出两方程对应的 a、b、c 的值比较即可. 答案 解析 (1)D (2)A x2 y2 (1)|F1F2|=2 3.设双曲线的方程为 2- 2=1. a b

∵|AF2|+|AF1|=4,|AF2|-|AF1|=2a, ∴|AF2|=2+a,|AF1|=2-a. 在 Rt△F1AF2 中,∠F1AF2=90° , ∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2, 即(2-a)2+(2+a)2=(2 3)2, c 3 6 ∴a= 2,∴e= = = .故选 D. a 2 2 x2 y2 (2)因为 0<k<9,所以两条曲线都表示双曲线.双曲线 - =1 的实半轴长为 5,虚半轴长为 9-k,焦 25 9-k 距为 2 25+?9-k?=2 34-k, 离心率为 34-k x2 y2 .双曲线 - =1 的实半轴长为 25-k, 虚半轴长为 3, 5 25-k 9
10

焦距为 2 ?25-k?+9=2 34-k,离心率为 故两曲线只有焦距相等.故选 A. 思维升华

34-k , 25-k

(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法:一种是直接建立 e 的关系式求 e 或 e 的范围;另

一种是建立 a,b,c 的齐次关系式,将 b 用 a,e 表示,令两边同除以 a 或 a2 化为 e 的关系式,进而求解. x2 y2 x2 y2 a1 a2 (2)方程 - =1 与 - =1,当 a1+b1=a2+b2 时焦距相等.当 = 时渐近线相同. a1 b1 a2 b2 b1 b2 x2 y2 x2 y2 (3)双曲线 2- 2=1 的渐近线为 2- 2=0. a b a b x2 y2 5 (1)(2013· 课标全国Ⅰ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程 a b 2 为( ) 1 B.y=± x 3 D.y=± x

1 A.y=± x 4 1 C.y=± x 2

x2 y2 (2)过双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线, 垂足为点 A, 与另一条渐近线交于点 B, a b → → 若FB=2FA,则此双曲线的离心率为( A. 2 答案 解析 B. 3 C.2 D. 5 )

(1)C (2)C c 5 (1)由 e= = 知,a=2k,c= 5k(k∈R+), a 2

b 1 由 b2=c2-a2=k2 知 b=k.所以 = . a 2 1 即渐近线方程为 y=± x.故选 C. 2 → → (2)如图,∵FB=2FA, ∴A 为线段 BF 的中点, ∴∠2=∠3. 又∠1=∠2,∴∠2=60° , b ∴ =tan 60° = 3, a b ∴e2=1+( )2=4,∴e=2. a 题型三 直线与双曲线的位置关系

例 6 已知双曲线 C:x2-y2=1 及直线 l:y=kx-1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围; (2)若 l 与 C 交于 A,B 两点,O 是坐标原点,且△AOB 的面积为 2,求实数 k 的值.
11



(1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点,

2 2 ? ?x -y =1, 则方程组? 有两个不同的实数根, ?y=kx-1 ?

整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.
?1-k2≠0, ? ∴? 2 2 ?Δ=4k +8?1-k ?>0, ?

解得- 2<k< 2且 k≠± 1. 双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点时,k 的取值范围是(- 2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2). (2)设交点 A(x1,y1),B(x2,y2), 直线 l 与 y 轴交于点 D(0,-1), 由(1)知,C 与 l 联立的方程为(1-k2)x2+2kx-2=0. -2k ? ?x +x =1-k , ∴? -2 ? ?x x =1-k .
1 2 2 1 2 2

当 A,B 在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时, 1 S△OAB=S△OAD-S△OBD= (|x1|-|x2|) 2 1 = |x1-x2|; 2 当 A,B 在双曲线的两支上且 x1>x2 时, S△OAB=S△ODA+S△OBD 1 1 = (|x1|+|x2|)= |x1-x2|. 2 2 1 ∴S△OAB= |x1-x2|= 2, 2 ∴(x1-x2)2=(2 2)2, -2k 2 8 6 即( )+ =8,解得 k=0 或 k=± . 2 1-k2 1-k2 又∵- 2<k< 2,且 k≠± 1, 6 ∴当 k=0 或 k=± 时,△AOB 的面积为 2. 2 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于 x 或 y

的一元二次方程.当二次项系数等于 0 时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线; 当二次项系数不等于 0 时,用判别式 Δ 来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验. 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程;
12

(2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 左支交于 A、B 两点,求 k 的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0,m),求 m 的取值范围. 解 x2 y2 (1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b

由已知得:a= 3,c=2,再由 a2+b2=c2,得 b2=1, x2 ∴双曲线 C 的方程为 -y2=1. 3 (2)设 A(xA,yA)、B(xB,yB), x2 将 y=kx+ 2代入 -y2=1, 3 得,(1-3k2)x2-6 2kx-9=0.

?Δ=36?1-k ?>0, ? 6 2k 由题意知?x +x = <0, 1-3k -9 ? ?x x =1-3k >0,
2 A B 2 A B 2

1-3k2≠0,

解得 ∴当

3 <k<1. 3 3 <k<1 时,l 与双曲线左支有两个交点. 3

6 2k (3)由(2)得:xA+xB= , 1-3k2 ∴yA+yB=(kxA+ 2)+(kxB+ 2) =k(xA+xB)+2 2= 2 2 . 1-3k2

3 2k 2 ∴AB 的中点 P 的坐标为( , ). 1-3k2 1-3k2 1 设直线 l0 的方程为:y=- x+m, k 4 2 将 P 点坐标代入直线 l0 的方程,得 m= . 1-3k2 ∵ 3 <k<1,∴-2<1-3k2<0. 3

∴m<-2 2.∴m 的取值范围为(-∞,-2 2). 双曲线的综合问题 例 8、如图,已知椭圆

x2 y2 2 ,以该椭圆 ? ? 1(a>b>0) 的离心率为 2 a2 b2

上的点和椭圆的左、右焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2 ?1) 。 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任
13

一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D 。 (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k2 ,证明 k1· k2 ? 1 ; (Ⅲ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB · CD 恒成立?若存在,求 ? 的值;若不存在,请 说明理由。 解析: (Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为

c 2 ,得 a ? 2c ,又 2a ? 2c ? 4( 2 ? 1) , ? a 2

所以可解得 a ? 2 2 , c ? 2 ,所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 , 所以椭圆的标准方程为;

x 2 y2 ? ? 1; 8 4

所以椭圆的焦点坐标为(±2,0) ,因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线 的标准方程为

x 2 y2 ? ?1 4 4
(Ⅱ)设点 P( x 0 , y 0 ),则 k 1 ?

y0 y0 y0 y0 ,所以 k 1 ? k 2 ? ,k2 ? ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2

2 2 2 2 x0 y0 y0 y0 2 2 ? ? 1 , 又点 P 在双曲线上, 所以有 , 即 , 所以 ( x , y ) y ? x ? 4 k ? k ? ? 1。 0 0 0 0 1 2 2 2 4 4 x0 ?4 x0 ?4 (Ⅲ)假设存在常数λ ,使得 | AB | ? | CD |? ? | AB | ? | CD | 恒成立,则由(Ⅱ)知 k 1 ? k 2 ? 1 ,所以 1 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,则直线 CD 的方程为 y ? ( x ? 2) , k ?y ? k ( x ? 2) ? 由方程组 ? x 2 y 2 消 y 得: (2k 2 ? 1)x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 8 ? 0 ,设 A(x 1 , y1 ) ,B( x 2 , y 2 ), ?1 ? ? 4 ?8 ? 8k 2 8k 2 ? 8 , x x ? 则由韦达定理得: x 1 ? x 2 ? , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 4 2 (1 ? k 2 ) 所以 | AB |? 1 ? k 2 ? ( x 1 ? x 2 ) 2 ? 4x 1 x 2 ? ,同理可得 2k 2 ? 1 1 4 2 (1 ? 2 ) 2 1 k ? 4 2 (1 ? k ) , ? ? x ?2 ) 2 ? 4x 1 x 2 ? CD ? 1 ? ( ) 2 ? ( x 1 1 k k2 ? 2 2? 2 ?1 k 1 1 2k 2 ? 1 ? ? 又 因 为 | AB | ? | CD |? ? | AB | ? | CD | , 所 以 有 ? ? - | AB | | CD | 4 2 (1 ? k 2 )

?

k2 ? 2 4 2 (1 ? k 2 )
反馈练习

?

3k 2 ? 3 4 2 (1 ? k 2 )

?

3 2 3 2 , 所以存在常数 ? ? , 使得 | AB | ? | CD | = ? | AB | ? | CD | 恒成立。 8 8

x2 y2 1.若双曲线 2- 2=1 的离心率为 3,则其渐近线方程为( a b A.y=± 2x B.y=± 2x

)

14

1 C.y=± x 2 答案 B

2 D.y=± x 2

解析 由 e= 3,知 c= 3a,得 b= 2a. b ∴渐近线方程为 y=± x,y=± 2x. a π x2 y2 y2 x2 2.已知 0<θ< ,则双曲线 C1: 2 - 2 =1 与 C2: 2 - 2 =1 的( 4 sin θ cos θ cos θ sin θ A.实轴长相等 C.离心率相等 答案 D 解析 双曲线 C1、C2 的焦距均为 2 sin2θ+cos2θ=2. 3.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长 的 2 倍,则 C 的离心率为( A. 2 B. 3 C.2 D.3 ) B.虚轴长相等 D.焦距相等 )

答案 B x2 y2 解析 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由于直线 l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直,因此直线 a b x2 y2 c2 b4 b2 2b2 2b2 l 的方程为:x=c 或 x=-c,代入 2- 2=1 得 y2=b2( 2-1)= 2,∴y=± ,故|AB|= ,依题意 =4a, a b a a a a a c2-a2 b2 ∴ 2=2,∴ 2 =e2-1=2,∴e= 3. a a x2 y2 4. 过双曲线 C: 2- 2=1 的右顶点作 x 轴的垂线, 与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、 a b 半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程为( x y A. - =1 4 12 x2 y2 C. - =1 8 8 答案 A x=a, ? ? 解析 由? b ? ?y=-ax,
?x=a, ? 得? ∴A(a,-b). ? ?y=-b,
2 2

)

x y B. - =1 7 9 x2 y2 D. - =1 12 4

2

2

由题意知右焦点到原点的距离为 c=4, ∴ ?a-4?2+?-b?2=4,即(a-4)2+b2=16. 而 a2+b2=16,∴a=2,b=2 3. x2 y2 ∴双曲线 C 的方程为 - =1. 4 12 x2 y2 5.已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂直于 x 轴的直线 a b
15

与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( A.(1,+∞) C.(1,1+ 2) 答案 B b2 b2 解析 由题意易知点 F 的坐标为(-c,0),A(-c, ),B(-c,- ),E(a,0), a a → → ∵△ABE 是锐角三角形,∴EA· EB>0, b2 b2 → → 即EA· EB=(-c-a, )· (-c-a,- )>0, a a 整理得 3e2+2e>e4,∴e(e3-3e-3+1)<0, ∴e(e+1)2(e-2)<0,解得 e∈(0,2),又 e>1, ∴e∈(1,2),故选 B. B.(1,2) D.(2,1+ 2)

)

x2 y2 6.已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2,若边 MF1 的 a b 中点 P 在双曲线上,则双曲线的离心率是( A.4+2 3 C. 3+1 2 B. 3-1 D. 3+1 )

答案 D 解析 因为 MF1 的中点 P 在双曲线上,|PF2|-|PF1|=2a, △MF1F2 为正三角形,边长都是 2c,所以 3c-c=2a, c 2 所以 e= = = 3+1,故选 D. a 3-1 7.设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O、所成的角为 60° 的直线 A1B1 和 A2B2,使|A1B1| =|A2B2|, 其中 A1、 B1 和 A2、 B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点, 则该双曲线的离心率的取值范围是( A.? C.? 2 3 ? ? 3 ,2? B.? 2 3 ? ? 3 ,2? 2 3 ? ? 3 ,+∞? )

2 3 ? ? 3 ,+∞?

D.?

答案 A 解析 由双曲线的对称性知,满足题意的这一对直线也关于 x 轴(或 y 轴)对称.又由题意知有且只有一对这 b 样的直线, 故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于 30° 且小于等于 60° , 即 tan 30° < ≤tan 60° , a 1 b2 c c2 b2 4 ∴ < 2≤3.又 e2=( )2= 2=1+ 2,∴ <e2≤4, 3 a a a a 3 ∴ 2 3 <e≤2,故选 A. 3

8.设过双曲线 x2-y2=9 左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于点 P,Q,F2 为双曲线的右焦点.若|PQ|=7, 则△F2PQ 的周长为( )
16

A.19 C.43 答案 B

B.26 D.50

解析 如图,由双曲线的定义可得
?|PF2|-|PF1|=2a, ? ? ?|QF2|-|QF1|=2a, ?

将两式相加得|PF2|+|QF2|-|PQ|=4a, ∴△F2PQ 的周长为 |PF2|+|QF2|+|PQ| =4a+|PQ|+|PQ|=4×3+2×7=26.

y2 2 9. 设双曲线 C 经过点(2,2), 且与 -x =1 具有相同渐近线, 则 C 的方程为________; 渐近线方程为________. 4 x2 y2 答案 - =1 3 12 y=± 2x

y2 2 解析 设双曲线 C 的方程为 -x =λ (λ≠0), 4 将点(2,2)代入上式,得 λ=-3, x2 y2 ∴C 的方程为 - =1, 3 12 其渐近线方程为 y=± 2x. x2 y2 10.设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点 A,B.若点 P(m,0)满 a b 足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________. 答案 5 2

x2 y2 b 解析 双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x. a b a b ? ?y=ax, am bm 由? 得 A( , ), 3b-a 3b-a ? ?x-3y+m=0 b ? ?y=-ax, -am bm 由? 得 B( , ), a+3b a+3b ?x-3y+m=0 ? a2m 3b2m 所以 AB 的中点 C 的坐标为( 2 ). 2, 2 9b -a 9b -a2 设直线 l:x-3y+m=0(m≠0), 因为|PA|=|PB|,所以 PC⊥l, 所以 kPC=-3,化简得 a2=4b2.
17

在双曲线中,c2=a2+b2=5b2, c 5 所以 e= = . a 2 x2 y2 11.设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点,若|PF1|+|PF2|=6a 且△PF1F2 a b 的最小内角为 30° ,则双曲线 C 的离心率为________. 答案 3

解析 不妨设|PF1|>|PF2|,

则|PF1|-|PF2|=2a, 又∵|PF1|+|PF2|=6a, ∴|PF1|=4a,|PF2|=2a. 又在△PF1F2 中,∠PF1F2=30° , 由正弦定理得,∠PF2F1=90° ,∴|F1F2|=2 3a, 2 3a ∴双曲线 C 的离心率 e= = 3. 2a x2 y2 12.已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点 A(5, 9 16 0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. 答案 44 解析 由双曲线 C 的方程,知 a=3,b=4,c=5, ∴点 A(5,0)是双曲线 C 的右焦点, 且|PQ|=|QA|+|PA|=4b=16, 由双曲线定义,得|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6. ∴|PF|+|QF|=12+|PA|+|QA|=28, 因此△PQF 的周长为 |PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44. x2 y2 13. 已知双曲线 2- 2=1 (a>0, b>0)的左、 右焦点分别为 F1、 F2, 点 P 在双曲线的右支上, 且|PF1|=4|PF2|, a b 则此双曲线的离心率 e 的最大值为________. 答案 5 3

解析 由定义,知|PF1|-|PF2|=2a.

18

8 2 又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|= a,|PF2|= a. 3 3 在△PF1F2 中,由余弦定理, 64 2 4 2 a + a -4c2 9 9 17 9 得 cos∠F1PF2= = - e2. 8 2 8 8 2· a· a 3 3 要求 e 的最大值,即求 cos∠F1PF2 的最小值, 5 ∴当 cos∠F1PF2=-1 时,得 e= , 3 5 即 e 的最大值为 . 3

14.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:点 M 在以 F1F2 为直径的圆上; (3)在(2)的条件下求△F1MF2 的面积. (1)解 ∵离心率 e= 2,∴双曲线为等轴双曲线,

可设其方程为 x2-y2=λ(λ≠0), 则由点(4,- 10)在双曲线上, 可得 λ=42-(- 10)2=6, ∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)证明 ∵点 M(3,m)在双曲线上, ∴32-m2=6,∴m2=3, 又双曲线 x2-y2=6 的焦点为 F1(-2 3,0),F2(2 3,0), → → ∴MF1· MF2=(-2 3-3,-m)· (2 3-3,-m) =(-3)2-(2 3)2+m2=9-12+3=0, ∴MF1⊥MF2,∴点 M 在以 F1F2 为直径的圆上. (3)解 1 S△F1MF2= ×4 3×|m|=6. 2

x2 15.已知椭圆 C1 的方程为 +y2=1,双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶点,而 C2 的左、右顶点 4 分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程;
19

→ → (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B,且OA· OB>2(其中 O 为原点),求 k 的取值 范围. 解 x2 y2 (1)设双曲线 C2 的方程为 2- 2=1 (a>0,b>0), a b

则 a2=3,c2=4,再由 a2+b2=c2,得 b2=1. x2 故 C2 的方程为 -y2=1. 3 x2 (2)将 y=kx+ 2代入 -y2=1, 3 得(1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点,得

?1-3k ≠0, ? ?Δ=?-6 2k?2+36?1-3k2?=36?1-k2?>0,
1 ∴k2≠ 且 k2<1.① 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 6 2k 9 则 x1+x2= . 2,x1x2=- 1-3k 1-3k2 ∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2) =(k2+1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2= 3k2+7 . 3k2-1

2

→ → 又∵OA· OB>2,得 x1x2+y1y2>2, 3k2+7 -3k2+9 1 ∴ 2 >2,即 2 >0,解得 <k2<3.② 3 3k -1 3k -1 1 由①②得 <k2<1, 3 故 k 的取值范围为?-1,-

?

3? ? 3 ? ∪ ,1 . 3? ?3 ?

4 16.已知离心率为 的椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦 5 距为 2 34. (1)求椭圆及双曲线的方程; (2)设椭圆的左、右顶点分别为 A、B,在第二象限内取双曲线上一点 P,连接 BP 交椭圆于点 M,连接 PA → → 并延长交椭圆于点 N,若BM=MP,求四边形 ANBM 的面积. 解 x2 y2 (1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b

x2 y2 则根据题意知双曲线的方程为 2- 2=1, a b

20

a2-b2 4 ? ? = , 5 且满足? a ? ?2 a2+b2=2 34,
2 ? ?a =25, ? 解方程组得 2 ?b =9. ?

x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1,双曲线的方程为 - =1. 25 9 25 9 (2)由(1)得 A(-5,0),B(5,0),|AB|=10, → → 设 M(x0,y0),则由BM=MP得 M 为 BP 的中点, 所以 P 点坐标为(2x0-5,2y0). 将 M、P 坐标代入椭圆和双曲线方程,



? ??2x -5? 4y ? 25 - 9 =1,
0 2 2 0

2 2 x0 y0 + =1, 25 9

2 消去 y0,得 2x0 -5x0-25=0.

5 3 3 解之,得 x0=- 或 x0=5(舍去).∴y0= . 2 2 5 3 3 由此可得 M(- , ),∴P(-10,3 3). 2 2 当 P 为(-10,3 3)时, 3 3 直线 PA 的方程是 y= (x+5), -10+5 3 3 x2 y2 即 y=- (x+5),代入 + =1, 5 25 9 得 2x2+15x+25=0. 5 ∴x=- 或-5(舍去), 2 5 ∴xN=- ,xN=xM,MN⊥x 轴. 2 1 3 3 ∴S 四边形 ANBM=2S△AMB=2× ×10× =15 3. 2 2

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