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高中数学《3.2.3直线的一般式方程》学案新人教A版必修

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3.2.3 直线的一般式方程学案
一.学习目标:根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的一般式,体 会一般式与直线其它方程形式之间的关系. 二.重点、难点: 重点: 难点: 三.知识要点: x B y ? C ? ? 0 ,注意 A、B 不同时为 0. 直线一般式 1. 一般式(general form) :A A C A 方程 Ax ? By ? C ? 0 ( B ? 0) 化为斜截式方程 y ? ? x ? ,表示斜率为 ? ,y 轴上截距 B B B C 为 ? 的直线. B 2 与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线,可设所求方程为 Ax ? By ? C ' ? 0 ;与直线
Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线,可设所求方程为 Bx ? Ay ? C ' ? 0 . 过点 P( x0 , y0 ) 的直线可写

为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 . 经过点 M 0 ,且平行于直线 l 的直线方程是 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ; 经过点 M 0 ,且垂直于直线 l 的直线方程是 B( x ? x0 ) ? A( y ? y0 ) ? 0 . y ? C 1? 0 ( A1 , B1 不 同 时 为 0 ) 3. 已 知 直 线 l1 , l2 的 方 程 分 别 是 : l1 : A1x ? B 1 , l2 : A B y? ,则两条 直线的位置关系可以如下判别: 2 x ?2 2 C ? 0 ( A2 , B2 不同时为 0) (1) l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; (2) l1 // l2 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0, AC 1 2 ? A2 B 1 ?0; l1 与 l2 重合 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0, AC l1 与 l2 相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 . (3) (4) 1 2 ? A 2B 1 ?0; 如果 A2 B2C2 ? 0 时,则 l1 // l2 ? 交?
A1 B1 ? . A2 B2 A1 B1 C1 A B C ? ? ;l1 与 l2 重合 ? 1 ? 1 ? 1 ;l1 与 l2 相 A2 B2 C2 A2 B2 C2

四.自主探究 例题精讲: 【例 1】已知直线 l1 : x ? my ? 2m ? 2 ? 0 , l2 : mx ? y ? 1 ? m ? 0 ,问 m 为何值时: (1) l1 ? l2 ; (2) l1 // l2 . 解: (1) l1 ? l2 时, A1 A2 ? B1 B2 ? 0 ,则 1 ? m ? m ? 1 ? 0 , 解得 m=0. 1 m ?2m ? 2 (2) l1 // l2 时, ? ? , 解得 m=1. m 1 ?1 ? m 【例 2】 (1)求 经过点 A(3, 2) 且与直线 4 x ? y ? 2 ? 0 平行的直线方程; (2)求经过点 B(3,0) 且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 垂直的直线方程. 解: (1) 由题意得所求平行直线方程 4( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 0 , 化为一般式 4 x ? y ? 14 ? 0 . (2) 由题意得所求垂直直线方程 ( x ? 3) ? 2( y ? 0) ? 0 ,化为一般式 x ? 2 y ? 3 ? 0 . 【例 3】已知直线 l 的方程为 3x+4y-12=0,求 与 直线 l 平行且过点(-1,3)的 直线的方程. 3 分析:由两直线平行,所以斜率相等且为 ? ,再由点斜式求出所求直线的方程. 4 3 解:直线 l:3x+4y-12=0 的斜率为 ? , 4 3 ∵ 所求直线与已知直线平行, ∴所求直线的斜率为 ? , 4
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3 又由于所求直线过点(-1,3) ,所以,所求直线的方程为: y ? 3 ? ? ( x ? 1) ,即 4 3x ? 4 y ? 9 ? 0 . 点评:根据两条直线平行或垂直的关系,得到斜率之间的关系,从而由已知直线的 斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 而直接写出方程,即 3( x ? 1) ? 4( y ? 3) ? 0 ,再化简而得. 【例 4】直线方程 Ax ? By ? C ? 0 的系数 A、B、C 分别满足什么关系时,这条直线分 别有以下性质? (1)与两条坐标轴都相交; (2)只与 x 轴相交; (3)只与 y 轴相交; (4)是 x 轴 所在直线; (5)是 y 轴所在直线. 分析:由直线性质,考察相应图形,从斜率、截距等角度,分析系数的特征. 解: (1)当 A≠0,B≠0,直线与两条坐标轴都相交. (2)当 A≠0,B=0 时,直线只与 x 轴相交. (3)当 A=0,B≠0 时,直线只与 y 轴相交. (4)当 A=0,B≠0,C=0,直线是 x 轴所在直线. (5)当 A≠0,B=0,C=0 时,直线是 y 轴所在直线. 点评:结合图形的几何性质,转化为方程形式所满足的代数形式. 对于直线的一般 式方程,需要特别注意以上几种特殊位置时的方程形式. 五.目标检测 (一)基础达标 1.如果直线 Ax ? By ? C ? 0 的倾斜角为 45 ? ,则有关系式( ). A. A ? B B. A ? B ? 0 C. AB ? 1 D. 以上均不可能 2.若 a ? b ? c ? 0 ,则直线 ax ? by ? c ? 0 必经过一个定点是( ). A. (1,1) B. ( ?1,1) C. (1, ?1) D. (?1, ?1) 3.直线 ax ? by ? 1 (ab ? 0) 与两坐标轴围成的面积是( ). 1 1 1 1 A. ab B. | ab | C. D. 2 | ab | 2 2 2ab

4. (2000 京皖春)直线( 3 ? 2 )x+y=3 和直线 x+( 2 ? 3 )y=2 的位置关系是 ( ). A. 相交不垂直 B. 垂直 C. 平行 D. 重合 1 5.已知直线 mx+ny+1=0 平行于直线 4x+3y+5=0,且在 y 轴上的截距为 ,则 m,n 3 的值分别为( ). A. 4 和 3 B. -4 和 3 C. -4 和-3 D. 4 和-3 6.若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直,则 a= . 7.过两点(5,7)和(1,3)的直线一般式方程为 ;若点 ( a ,12)在此直线上,则 a = . (二)能力提高 8.根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式: 1 (1)斜率是- ,经过点 A(8,-2) ; (2)经过点 B(4,2),平行于 x 轴; 2 3 (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 ,-3; (4)经过两点 P1 (3,-2) 、 P2 (5, 2 -4).

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9 . 已 知 直 线 l1 , l2 的 方 程 分 别 是 : l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ( A1 , B1 不 同 时 为 0 ) , l2 : A B y? ,且 A1 A2 ? B1 B2 ? 0 . 求证 l1 ? l2 . 2 x ?2 2 C ? 0 ( A2 , B2 不同时为 0)

(三)探究创新 10.已知直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 , l2 : (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 ,求 m 的值,使得: (1)l1 和 l2 相交;(2)l1⊥l2;(3)l1//l2 ;(4)l1 和 l2 重合.

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